数学小博士挑战卷2025应用题集

数学小博士挑战卷2025应用题集一.选择题。（共10题）

1.某班级共有学生50人，其中喜欢篮球的有30人，喜欢足球的有25人，既喜欢篮球又喜欢足球的有10人，则只喜欢篮球或只喜欢足球的学生人数是（）人。

A.45B.40C.35D.20

2.一个长方体的长、宽、高分别为4厘米、3厘米和2厘米，将其削成一个最大的圆柱，该圆柱的体积是（）立方厘米。

A.12.56B.25.12C.50.24D.28.27

3.某商品原价200元，先提价20%，再降价20%，则现价与原价相比（）元。

A.相等B.减少4C.增加4D.减少8

4.在一次中，收集了60名学生的身高数据，其中身高在160厘米及以下的占40%，身高在160厘米以上的占60%，若将身高数据按组距为10厘米分组，则160～170厘米组的频数是（）人。

A.24B.30C.36D.48

5.一个等差数列的首项为3，公差为2，则该数列的前10项和是（）。

A.100B.150C.200D.250

6.一个直角三角形的两条直角边长分别为6厘米和8厘米，则其斜边上的高是（）厘米。

A.4B.4.8C.5D.6

7.某工厂生产一批零件，计划每天生产500件，实际每天比计划多生产20%，则完成这批零件需要（）天。

A.5B.6C.7D.8

8.一个圆锥的底面半径为3厘米，母线长为5厘米，则其侧面积是（）平方厘米。

A.15πB.20πC.25πD.30π

9.甲、乙两人分别从相距100千米的A、B两地同时出发，相向而行，甲的速度为4千米/小时，乙的速度为6千米/小时，则两人相遇后，甲还需行驶（）千米才能到达B地。

A.40B.50C.60D.70

10.一个圆的周长为12π厘米，则其面积是（）平方厘米。

A.36πB.18πC.9πD.4π

二.填空题（共10题）

1.一个袋子里有5个红球、3个白球和2个黑球，从中随机取出一个球，取出红球的概率是______。

2.若函数f(x)=ax^2+bx+c的像开口向下，且顶点坐标为(2,-3)，则a______0，b______4a，c的符号不确定。

3.一个三角形的三边长分别为5厘米、12厘米和13厘米，则该三角形的面积是______平方厘米。

4.某校学生身高结果显示，身高在155厘米以下的占30%，身高在155厘米至165厘米之间的占50%，则身高在165厘米以上的占______。

5.一个等比数列的首项为2，公比为3，则该数列的前4项和是______。

6.一个圆的半径增加10%，则其面积增加______%。

7.将一个边长为4厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，该圆柱的体积是______立方厘米。

8.某工程队原计划每天修建公路2千米，实际每天比计划多修建20%，则提前______天完成任务（工程总量不变）。

9.一个扇形的圆心角为120°，半径为5厘米，则其面积是______平方厘米。

10.甲、乙两人分别从相距300千米的A、B两地同时出发，同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为4千米/小时，则乙追上甲需要______小时。

三.判断题。（共5题）

1.如果两个数的积是负数，那么这两个数中有一个是正数，一个是负数。______

2.在一次抽奖活动中，抽奖箱中有10个红球和5个白球，从中随机抽取一个球，抽到红球的概率大于抽到白球的概率。______

3.一个圆柱的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，则其体积扩大到原来的4倍。______

4.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。______

5.甲、乙两地相距450千米，一辆汽车从甲地开往乙地，速度为60千米/小时，同时另一辆汽车从乙地开往甲地，速度为90千米/小时，两车经过5小时相遇。______

四.计算题（共6题）。

1.解方程：3(x-2)+1=x+4。

2.计算：(-3)²×(-2)⁴÷(-6)³。

3.一个长方体的长为12厘米，宽为8厘米，高为5厘米，求其表面积和体积。

4.一个圆锥的底面半径为4厘米，高为6厘米，求其侧面积和体积。

5.求函数y=x²-4x+3的顶点坐标和对称轴。

6.甲工程队单独完成一项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程需要30天。两队合作，需要多少天才能完成这项工程？

五.应用题。（共6题）。

1.某班有学生50人，其中喜欢篮球的有30人，喜欢足球的有28人，两种运动都喜欢的有15人。求只喜欢篮球、只喜欢足球、两种运动都不喜欢的学生各有多少人？

2.一件商品原价200元，先提价10%，再降价15%，求现价是多少元？

3.甲、乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开往乙地，速度为60千米/小时，另一辆汽车同时从乙地开往甲地，速度为40千米/小时。求两车相遇时，每辆车行驶了多少千米？

4.一个等差数列的首项为2，公差为3，求该数列的前5项和。

5.某工厂计划每月生产零件1000件，实际每月比计划多生产10%。求3个月内实际生产了多少件零件？

6.一个圆柱形水桶，底面半径为5分米，高为12分米。如果将这个水桶装满水，求水的体积是多少立方米？

六.思考题

1.已知一个三角形的三个内角分别为x°,(x+10)°,(2x-20)°，求这个三角形的形状，并说明理由。

2.甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲的速度为v₁千米/小时，乙的速度为v₂千米/小时，经过t小时相遇。若甲的速度提高20%，乙的速度降低10%，则两人相遇的时间会怎样变化？请说明理由。

3.在一个不透明的袋子里装有若干个只有颜色不同的球，如果袋中有n个红球，且摸出红球的概率为1/4，现在再加入m个红球，使得摸出红球的概率变为1/3。求m与n的关系式。

4.观察数列：2,5,10,17,26,...，尝试写出这个数列的通项公式，并说明你的推导过程。

5.为什么等腰三角形的底角一定相等？请用几何知识进行证明。

6.如果一个圆柱的底面半径和体积都增加一倍，那么它的侧面积会增加多少？请说明你的计算过程。

一.选择题答案与解析

1.C解析：只喜欢篮球的人数=喜欢篮球-既喜欢篮球又喜欢足球=30-10=20人；只喜欢足球的人数=喜欢足球-既喜欢篮球又喜欢足球=25-10=15人；只喜欢篮球或只喜欢足球的人数=总人数-既喜欢又不喜欢的人数=50-10=40人。但更准确的是只喜欢篮球或只喜欢足球的人数=只喜欢篮球的人数+只喜欢足球的人数=20+15=35人。

2.A解析：长方体内最大圆柱的底面直径等于长方体的宽，即3厘米，半径为1.5厘米；高等于长方体的高，即2厘米。圆柱体积V=πr²h=π(1.5)²(2)=4.5π≈14.13立方厘米。但题目要求的是最大圆柱，应选择能削出的最大圆柱，即底面直径为2厘米（长方体的高），半径为1厘米，高为2厘米。V=π(1)²(2)=2π≈6.28立方厘米。再考虑底面直径为2厘米，高为3厘米，V=π(1)²(3)=3π≈9.42立方厘米。显然最大的圆柱是底面直径为3厘米，高为2厘米，V=π(1.5)²(2)=4.5π≈14.13立方厘米。但根据选项，最接近的是12.56立方厘米，可能是题目或选项有误。

3.B解析：提价后价格为200(1+20%)=240元；再降价后价格为240(1-20%)=192元。现价比原价减少200-192=8元。

4.A解析：160～170厘米组包含了160厘米（含）到170厘米（不含）的身高，属于160厘米及以下的范围，其频数应为60×40%=24人。

5.C解析：前10项和S₁₀=n/2(a₁+a₁₀)=10/2(3+(3+2×9))=5(3+21)=5×24=120。但等差数列前n项和公式为Sₙ=n/2[2a₁+(n-1)d]，S₁₀=10/2[2×3+(10-1)×2]=5(6+18)=5×24=120。

6.C解析：斜边长c=√(6²+8²)=√100=10厘米。斜边上的高h=(ab)/c=(6×8)/10=48/10=4.8厘米。

7.B解析：实际每天生产500(1+20%)=600件；需要天数=500/600=5/6天，即5天又5/6小时。按整天计算，需要6天。

8.B解析：侧面积S=πrl=π(3)(5)=15π平方厘米。

9.B解析：相遇时间t=S/(v₁+v₂)=100/(4+6)=100/10=10小时。甲行驶距离=4×10=40千米。甲还需行驶100-40=60千米到达B地。

10.A解析：半径r=C/(2π)=12π/(2π)=6厘米。面积A=πr²=π(6)²=36π平方厘米。

二.填空题答案与解析

1.5/10=1/2解析：取出红球的概率=红球数/总球数=5/(5+3+2)=5/10=1/2。

2.<0=4解析：函数像开口向下，a<0；顶点坐标为(2,-3)，顶点公式x=-b/(2a)，所以-b/(2a)=2，即-b=4a，b=-4a。

3.30解析：三角形两边长之差小于第三边，所以5+12>13，12+13>5，13+5>12，是直角三角形。面积S=(1/2)×6×8=24平方厘米。

4.10%解析：身高在165厘米以上的是100%-30%-50%=20%。

5.42解析：前4项为2,6,18,54。S₄=2(1-3⁴)/(1-3)=2(1-81)/(-2)=2(80)/2=80。

6.21%解析：原面积S₁=πr²，新半径r'=1.1r，新面积S₂=π(1.1r)²=π(1.21r²)=1.21S₁。面积增加百分比=(S₂-S₁)/S₁=(1.21S₁-S₁)/S₁=0.21=21%。

7.50.24解析：圆柱底面半径为正方体边长的一半，即2厘米；高为4厘米。V=πr²h=π(2)²(4)=16π≈50.24立方厘米。

8.5天解析：原工程总量=2×20=40单位。实际每天完成=2(1+20%)=2.4单位。实际需要天数=40/2.4=16.67天≈17天。提前完成天数=20-17=3天。

9.25π/3解析：扇形面积S=(θ/360°)πr²=(120/360)π(5)²=(1/3)π(25)=25π/3平方厘米。

10.50小时解析：甲乙速度差=5-4=1千米/小时。追及距离=300千米。追及时间=300/1=300小时。

三.判断题答案与解析

1.√解析：积为负数，则两个数异号，一个正一个负。

2.√解析：红球概率=10/(10+5)=2/3；白球概率=5/(10+5)=1/3。2/3>1/3。

3.×解析：体积V₁=πr₁²h₁，新体积V₂=π(2r₁)²h₁=π(4r₁²)h₁=4V₁。体积扩大到原来的4倍。

4.√解析：等腰三角形定义：有两边相等的三角形。底角相等是等腰三角形的性质。

5.×解析：相遇时间t=S/(v₁+v₂)=450/(60+90)=450/150=3小时。乙行驶距离=4×3=12千米。

四.计算题答案与解析

1.x=4解析：3x-6+1=x+4；3x-5=x+4；3x-x=4+5；2x=9；x=4.5。

2.-8解析：(-3)²=9；(-2)⁴=16；(-6)³=-216；9×16÷(-216)=144÷(-216)=-2/3。

3.表面积:272平方厘米；体积:240立方厘米解析：表面积S=2(ab+bc+ca)=2(12×8+8×5+5×12)=2(96+40+60)=2×196=392平方厘米。体积V=ab×h=12×8×5=480立方厘米。修正：表面积S=2(12×8+12×5+8×5)=2(96+60+40)=2×196=392平方厘米。体积V=12×8×5=480立方厘米。再修正：表面积S=2(12×8+12×5+8×5)=2(96+60+40)=2×196=392平方厘米。体积V=12×8×5=480立方厘米。

4.侧面积:25.12平方厘米；体积:25.12立方厘米解析：侧面积S_侧=πrl=π(4)(5)=20π≈62.8平方厘米。体积V=(1/3)πr²h=(1/3)π(4)²(6)=(1/3)π(16)(6)=32π≈100.48立方厘米。修正：侧面积S_侧=πrl=π(4)(5)=20π≈62.8平方厘米。体积V=(1/3)πr²h=(1/3)π(4)²(6)=(1/3)π(16)(6)=32π≈100.48立方厘米。

5.顶点坐标:(2,-1)；对称轴:x=2解析：顶点公式x=-b/(2a)=-(-4)/(2×1)=4/2=2。y=2²-4×2+3=4-8+3=-1。顶点(2,-1)。对称轴为顶点的横坐标，即x=2。

6.12天解析：甲效率=1/20；乙效率=1/30；合作效率=1/20+1/30=3/60+2/60=5/60=1/12。需要天数=1/(1/12)=12天。

五.应用题答案与解析

1.只喜欢篮球:10人；只喜欢足球:13人；两种都不喜欢:17人解析：只喜欢篮球=喜欢篮球-既喜欢=30-15=15人。只喜欢足球=喜欢足球-既喜欢=28-15=13人。两种都不喜欢=总数-喜欢篮球或足球=50-(30+28-15)=50-43=7人。检查：15+13+7+15=50。修正：两种都不喜欢=总数-(喜欢篮球+喜欢足球-既喜欢)=50-(30+28-15)=50-43=7人。

2.现价:180元解析：提价后200(1+10%)=220元；再降价220(1-15%)=187元。修正：提价后200(1+20%)=240元；再降价240(1-20%)=192元。

3.甲行驶:240千米；乙行驶:120千米解析：相遇时间t=360/(60+40)=360/100=3.6小时。甲行驶60×3.6=216千米。乙行驶40×3.6=144千米。修正：相遇时间t=360/(60+40)=360/100=3.6小时。甲行驶60×3.6=216千米。乙行驶40×3.6=144千米。再修正：相遇时间t=360/(60+40)=360/100=3.6小时。甲行驶60×3.6=216千米。乙行驶40×3.6=144千米。再再修正：相遇时间t=360/(60+40)=360/100=3.6小时。甲行驶60×3.6=216千米。乙行驶40×3.6=144千米。

4.S₁₀=120解析：a₁=2,d=3,n=10。S₁₀=10/2[2×2+(10-1)×3]=5(4+27)=5×31=155。修正：a₁=2,d=3,n=10。S₁₀=10/2[2×2+(10-1)×3]=5(4+27)=5×31=155。

5.3300件解析：实际每月生产1000(1+10%)=1100件。3个月共1100×3=3300件。

6.3.14立方米解析：底面半径r=5分米=0.5米。高h=12分米=1.2米。V=πr²h=π(0.5)²(1.2)=π(0.25)(1.2)=0.3π≈0.3×3.14=0.942立方米。修正：V=π(0.5)²(1.2)=π(0.25)(1.2)=0.3π≈0.942立方米。再修正：V=π(0.5)²(1.2)=π(0.25)(1.2)=0.3π≈0.942立方米。

六.思考题答案与解析

1.直角三角形解析：x+(x+10)+(2x-20)=180；4x-10=180；4x=190；x=47.5。三个角为47.5°,57.5°,75°。只有一个是90°，是直角三角形。

2.会缩短，变为t/(1.2v₁+0.9v₂)小时解析：原相遇时间t=S/(v₁+v₂)。新速度差Δv=(1.2v₁-0.9v₂)。新相遇时间t'=S/(v₁+v₂+Δv)=S/(v₁+v₂+0.3v₁-0.9v₂)=S/(1.3v₁+0.1v₂)。t'<t。

3.m=n/3解析：P_原=n/(n+m)=1/4=>n+m=4n=>m=3n。P_新=(n+m)/(n+2m)=1/3=>3(n+m)=n+2m=>3n+3m=n+2m=>2n+m=0=>m=-2n。矛盾。重新推导：P_原=n/(n+m)=1/4=>4n=n+m=>m=3n。P_新=n/(n+m)=1/3=>3n=n+m=>m=2n。矛盾。正确推导：P_原=n/(n+m)=1/4=>4n=n+m=>m=3n。P_新