海淀区初三数学期末试卷及答案

初三第一学期期末学业水平调研

数学

2019.()1

学校姓名准考证号

1.本调研卷共8页，满分100分，考试时间120分。

注

2.在调研卷和答题纸上准确填写学校名称，姓名和准考证号。

意

3.调研卷答案一律填涂或书写在答题纸上，在调研卷上作答无效。

事

4.在答题卡上，优择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

项

5.调研结束，请将本调研卷和答题纸一并交回c

一、选择题(本题共16分，每小题2分)

1.抛物线y=(x-1>+3的顶点坐标为

A.(1,3)B.(-1,3)C.(-1,-3)D.(3,1)

2.如图，在平面直角坐标系.r0v中，点P(4,3),OP与x轴正半轴的夹

角为1，则tana的值为

34

A.B.

55

34

C.D.

43

3.方程f-x+3=0的根的情况是

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

4.如图，一块含30。角的直角三角板ABC绕点C顺时

针旋转到△A牧C,当8,C,AC在一条直线上时,

三角板ABC的旋转角度为

A.150°B.120°

C.60°D.30°

2

5.如图，在平面直角坐标系，中，8是反比例函数y=*(x>0)的图

x

象上的一点，则矩形04BC的面积为

A.1B.2

C.3D.4

6.如图，在AABC中，DE//BC,且OE分别交A8,AC于点。，E,

若/V):/W=2:3,则△4)E和△A5C的面积之比等于

D.F

B

A.2:3B.4:9C.4:5D.06

7.图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2,它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与3

之间的距离为105,双翼的边缘AC=BD=54cm,且与闸机侧立面夹角

NPC4=NBOQ=30。.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为

图I图2

A.(54\/3+10)cmB.(54>/2+10)cm

C.64cmD.54cm

8.在平面直角坐标系上Q中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于I

的是

A.yxB.)，2

C.月D.y』

二、填空题(本题共16分，每小题2分)

9.方程人2—3人=。的不艮为.

10.半径为2且圆心角为90。的扇形面积为.

11.已知抛物线的对称轴是x=〃，若该抛物线与x轴交于(1,0),(3,0)两点，则〃的值为.

12.在同一平面直角坐标系也\，中，若函数)，=/与y=4代=0)的图象有两个交点，则k的

A

取值范围是.

13.如图，在平面直角坐标系My中，有两点A(2,4),/4,0),

以原点。为位似中心，把△043缩小得到物.若B'的坐

标为(2,0),则点H的坐标为.

14.已知Gl,y),(2,约)是反比例函数图象上两个点的坐标，

且)：>必，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式.y\

15.如图，在平面直角坐标系宜万中，点A(3,0),判断在'小，一

M,N,P,。四点中，满足到点。和点八的距离都小于2的二2，45：

T「N

点是______.2・

16.如图，在平面直角坐标系xQy中，尸是直线);2上的一个1Q

动点，。户的半径为1,直线0。切。P于点Q,则线段0。

的最小值为.

三、解答题(本题共68分，第17〜22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28

题，每小题7分)

17.计算：cos450-2sin3O°+(-2)°.

18.如图，AD与BC交干0点、,?A?C,AO=4,CO=2,8=3,求AB的长.

19.已知x=〃是关于x的一元二次方程皿2・4x・5=0的一个根,若-4〃+〃Z=6,求

m的值.

20.近视镜镜片的焦距），（单位：米）是镜片的度数x1单位：度）的函数，下表记录了一

组数据：

x（单位：度）

），（段位：米）

<1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是

1319

D.y-

40000-800

（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为米.

21.下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.

已知：如图，G>O及3O上一点P.

求作：过点P的。。的切线.

作法：如图，/、

①作射线OP；屋、\d（

②在直线OP（O------------M------------------------------夕卜\

任取一点

以点A为圆

AP为半径作。A,与射线O尸交于另一点8：

③连接并延长HA与。A交于点C:

④作直线PC:

则直线PC即为所求.

根据小元设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

证明：•・•是。A的直径，

工NBPC=90。（）（填推理的依据）.

:.0Plpc.

又・・・。?是。。的半径，

・・・PC是。O的切线（）（填推理的依据）.

22.2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大

桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人

工岛上的A点和东人工岛上的4点间的距离约为5.6千米，点C是与西人工岛相连的

大桥上的一点，A,B,C在一条直线上.如图，一艘观光船沿与大桥AC段垂直的方向

航行，到达P点时观测两个人工岛，分别测得m与观光船航向PD的夹角N

。以=18°,NDPB=53°,求此时观光船到大桥AC段的距离PD的长.

参考数据：sin18°«0.31,cosl8°。0.95,tanl8°^0.33,

sin530%0.80,cos53°«0.60,tan530«1.33.

i

23.在平面直角坐标系xO），中，己知直线），二人不与双曲线），二k人的一个文点是A（2,a）.

2x

（1）求攵的值；

（2）设点P（〃?，〃）是双曲线v二人上不同于4的一点，直线Q4与x轴交于点A（Z?,O）.

x

①若加=1,求Z）的值;

②若结合图象，直接写出〃的值.

24.如图，A,B,C为。0上的定点.连接人8,AC,M为AB上的一个动点，连接CM,

将射线MC绕点M川页时针旋转90，交。。于点。，连接80.若AB=6cm,AC=2cm,

记A,M两点间距离为xcm,B,。两点间的距离为ycm.

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小东探究的过程，请补充完整：

（1）通过取点、画图、测量，得到了x与），的几组值，如下表：

x/cm00.250.47123456

y/cm1.430.6601.312.592.761.660

（2）在平面直角坐标系x0），中，描出补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数

的图象；

（3）结合画出的函数图象，解决问题：当8&AC时，AM的长度约为cm.

25.如图，A8是。O的弦，半径OEAAB,P为AB的延长线上一点，PC与。O相切于点

C,CE与AB交于点F.

（I）求证：PC=PF；

3

（2）连接。8,BC,若OBHPC,BC=30,tanP=-,求F8的长.

26.在平面直角坐标系xOy中，己知抛物线G：y=4f-8办+4/-4,A（—1,0）,N（〃,0）.

（1）当。=1时，

①求抛物线G与x轴的交点坐标；

②若抛物线G与线段/W只有一个交点，求〃的取值范围：

（2）若存在实数。，使得抛物线G与线段4V有两人交点，结合图象，直接写出〃的取

值范围.

V

5

4

3

2

1

-5-4-3-2-1012345x

-2

-3

-4

-5

27.已知在△A8C中，AB=AC,NBAC=a,直线/经过点A（不经过点8或点C）,点。关

于直线/的对称点为点。，连接8。，CD.

（1）如图1,

①求证：点氏C,£＞在以点A为圆心，"为半径的圆匕

②直接写出N8DC的度数（用含。的式子表示）为.

（2）如图2,当a=60。时，过点D作8。的垂线与直线/交于点E,求证：AE=BD；

（3）如图3,当即90。时，记直线/与CD的交点为广，连接将直线/绕点A旋

转，当线段8尸的长取得最大值时，直接写出lan/mC的值.

图1图2图3

28.在平面直角坐标系X0），中，已知点40,幻和点8（〃,0）,给出如下定义：以4;为边，

按照逆时针方向排列A,B,C,。四个顶点，作正方形ABCQ,则称正方形他。为

点A,8的逆序正方形.例如，当〃=-4,〃=3时，点A,8的逆序正方形如图1所

示.

图1图2

（1）图I中点。的竺标为；

（2）改变图1中的点4的位置，其余条件不变，则点。的电标不变（填“横”或“纵

它的值为；

（3）已知正方形ABC。为点A,8的逆序正方形.

①判断：结论“点。落在x轴上，则点。落在第一象限内（填“正确”

或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例;

②。7的圆心为了。,。），半径为1.若4=4,b>0,且点。恰好落在07上，直

5

4

3

2

1

-5-4-3-22345x

接写出f的取值范闱.

备用图

初三第一学期期末学业水平调研

数学试卷答案及评分参考

2019.01

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

题号12345678

答案ACCABBCA

第8题：二次函数a的绝对值的大小决定图像开口的大小，|a|越大，开口越小，显然

ai<a2=a3<a4..可知a［最小。

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.z=0,x2=310.n_11._2_12.Z>013.(1.2)

14.答案不唯一，如：y=—15.M,N16.右

x-------

第16题：OQ2=OP2|,OP最小时，OQ最小，OPmin=2,，0Qmin=6

三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28

题，每小题7分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程.

17.（本小题满分5分）

解：原式=亚—2x^+1...........................................................................................3分

22

=—..............................................................................................................5分

2

18.（本小题满分5分）

证明：VZA=ZC,ZAOB=NCOD,

・•・/XAOB^ACOD..........................................................................................3分

.AOAB

…CO=CD'

VAO=4,CO=2fCD=3,

AAB=6............................................................................................................5分

19.（本小题满分5分）

解：依题意，得〃加2・4〃—5=0.................................................................................3分

mn2-4n=5.

:-4〃+m=6，

5+〃2=6.w=l...............................................................5分

20.（本小题满分5分）

解：（1）B......................................................................................................................3分

（2）0.50................................................................................................................5分

21.（本小题满分5分）

（1）补全的图形如图所示：

3分

（2）直径所对的圆周角是直角；............................................4分

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线..................5分

22.（本小题满分5分）

解：在Rt△。州中，

An

VtanZDPA=—，

PD

/.AD=PD'tanZDPA........................................................................................2分

在中，

VtanZDPB=—,

PD

・\BD=PD・tan/DPR.......................................................................................4分

AAB=BD-AD=PD\tanNDPB-tanZDPX).

VAB=5.6,ZDPB=53。,ZD~4=18°,

・•・PD=5.6...........................................................5分

答：此时观光船到大桥AC段的距离。。的长为5.6千米.

23.（本小题满分6分）

解：（1）•・•直线y=经过点A（2,a）,

.,.<7=1...........................................................1分

A（2,l）

又•・•双曲线）二与经过点A,

x

/.k=2...........................................................2分

（2）①当m=1时，点P的坐标为（1,2）.

:.直线PA的解析式为y=-x+3...................................3分

•・•直线Q4与工轴交于点8（40）,

.*./?=3.......4分

②或3……6分

24.（本小题满分6分）

解：本题答案不唯一，如:

(1)

x/cm00.250.47123456

y/cm1.430.6601.312.592.762.411.660

..........................................................................I分

(2)

..........................................................................4分

(3)1.38或4.62...................................................6分

说明：允许（1）的数值误差范国±0.05;（3）的数值误差范困±0.2

25.（本小题满分6分）

（1）证明：如图，连接OC.

•:OELAB，

AZEGF=90°.

•••PC与。。相切于点C,

AZOCP=90°...............1分

AZE+Z£FG=Z(7CF+ZPCF=90°.

•：OE=OC,

:,ZE=/OCF.2分

・•・4EFG=4PCF.

又•：4EFG=4PFC,

・•・ZPCF=ZPFC.

・•・PC=PF.3分

(2)方法一:

解：如图，过点〃作3〃_1_尸。于点

'：OB//PC,/OCP=90。，

・•・ZBOC=90°.

♦：OB=OC,

：,/OBC=/OCB=45°.

；・/BCH=/OBC=45°.

在RlZ\8"C中，8C=3拉，

可得BH=BCsin45°=3,CH=BCcos45°=3.........................4分

3

在RtZ\3HP中，tanP=-,

4

可得尸H=-^-=4..................................................................................5分

tanP

・•・BP7PH2+BH?=5.

JPC=PH+CH=7.

・•・PF=PC.

JkB=Pk—PB=PC-PB=2................................................................6夕)

方法二:

解：如图，过点C作C"J_A尸于点H.

•：OB//PC,NOCP=90。，

：./BOC=90’.

，：OB=OC,

：,/OBC=NOCB=45；

在RtZXOBC中，BC=34i,

可得08=3Csin45°=3.4分

OE—OB=3.

3

丁Z.GBO=Z.P,tanP=—>

4

3

/.tanZ.GB0--.

4

在RtAG^f)中，tanZ.GBO=O/?=3.

GB

9I?

AOG=~,GB=—.........................................................................5分

55

EG=OE-OG=-.

5

在RtZ\C，P中，tanP=—,CH2+PH2=PC2.

PH

设C7/=3x,则PH=4x,PC=5x.

•・,PC=PF,

・•・FH=PF-PH=x.

•・,NEFG=』CFH,ZEGF=NCHF=90,

:.AEGFs/\CHF

.FG_FH

**EG-CA7-3，

JFG=-EG=~.

35

・•・FB=GB-FG=2.......................................................................6分

方法三：

解：如图，过点C作C”_LAP于点”，连接AC.

•：OB//PC,N(XP=90。，

・•・NBOC=90。.

工/A=，4OC=45。.........................4分

2

CH3

在RtZ\C”P中，tanP=—=-,

PH4

设CH=3x,则PH=4x,PC=5x.

在RtAA”C中，ZA=45°,CH=3x,

/.AH=CH=3x,AC=3>/2x.

••・PA=AH+PH=lx......................................................................5分

VZP=ZP,ZPCB=ZA=45°,

・•・APCBs/XPAC.

.PBPC_BC

'~PC=~PA=~AC

BC=3后,

7

••.x=—,PC=1,PB=5.

5

•・,PF=PC,

PF=7.

:.FB=PF-PB=2...........................................................................6分

方法四：解：如图，延长CO交A尸于点M.

VOB//PC.ZOCP=90°,

・•・ZBOC=90°.

在RtZXOBC中，BC=3y[2,OB=OC,

可得03=3............................................4分

3

•：ZMBO=/P,tanP=-,

4

3

/.tanZA/5Q=.

4

在RtZ\MBO中，lcinZMBO=^-=~,

OB4

gis

可得BM=—..................................5分

44

=—・

3

在RtAPCAf中，tanP=-----=—，

PC4

35

可得PC=7,PM=—.

4

PB=PM-BM=5,PF=PC=1.

JFB=PF-PB=2..............................................6分

26.（本小题满分6分）

解：（1）①当a=l时，y=4x2-Sx............................1分

当y=0时，4X2-8.V=0,

解得X1=0,x2=2.

・•・抛物线G与x轴的交点坐标为（0,0）,（2,0）.

.......................................................................................................2分

②当〃=0时，抛物线G与线段AN有一个交点.

当〃=2时，抛物线G与线段AN有两个交点.

结合图象可得0£〃<2........................................4分

（2）n<-3^n>[.........................................................................................................6分

（2）解析:

y=4x28ax+4a24,y=2（xa）24,

.•・顶点（3,4）,Xi=a+1,x2=al

若抛物线与x轴交于E、F两点，则EF=Ixix2I=2

AN=IxAxNI=In+1I

AN2EF时，线段AN与抛物线G有两个交点,即nW3或n21c

27.(本小题满分7分)

D

(I)①证明：连接A。，如图I.

•・•点C与点。关于直线/对称，

・•・AC=AD....................................1分

•・,AB=AC,

图1

・•・AB=AC=AD.

1点B,C,。在以A为圆心，为半径的圆上............................2分

②口.............................................3分

2

(2)证法一：

证明：连接CE,如图2.

a=60。，

••・ZBDC=-a=30°.

2图2

DE-LBD,

?.ZCDF=90°一/BDC=60°.

•・•点C与点力关于直线/对称，

・•・EC=ED.

・•・△(7/)£是等边三角形.

...............................................................................................................................4分

:・CD=CE,ZDCE=60°.

VAB=AC,Zfi4C=60y,

二.△48C是等边三角形.

：,CA=CB,ZACB=60。.

VZACE=^DCE+ZACDfZBCD=ZACB+ZACD,

・•・NACE=4BCD.

・•・^ACE^/\BCD.

・•・AE=BD.........................5分

证法二：

证明：连接40,如图2.