测量平差复习题测绘工程

第一章：绪论

1.什么是观测量的真值？

任何观测量，客观上总存在•种能反应其真正大小的数值，这个数值称为观测量的真值。

2、什么是观测误差？

观测量的真值与观测值的差称为观测误差。

3.什么是观测条件？

仪器误差、观测者和外界环境的综合膨响称为观测条件一

4.根据误差对观测成果的影响，观测误差可分为哪儿类？

根据误差对观测成果的影响，观测误差可分为系统误差和偶尔误差两类。

5.在测量中产生误差是不可防止的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。

6.观测条件与观测质量之间的关系是什么？

观测条件好，观测质量就高，观测条件差，观测质量就低。

7、怎样消除或减弱系统误差的影响？

•是在观测过程中采用一定的措施；二是在观测成果中加入改正数。

8、测量平差的任务是什么？

⑴求观测值的最或是值（平差值）：

⑵评估观测值及平差值的精度。

第二章：误差理论与平差原则

1、描述偶尔误差分布常用的三种措施是什么？

⑴列表法；⑵绘图法：(3)密度函数法。

2.偶尔误差具有哪些记录特性？

(1)有界性：在一-定时观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限道。

(2)卷中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误及出现的概率要大.

(3)对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等。

(4)抵偿性：偶尔误差的数学期望或偶尔误差的算术平均值的极限值为0：

3、由偶尔误差特性引出的两个测殳根据是什么？

⑴制定测量限差的根据；⑵判断系统误差(粗差)的根据。

4.什么叫精度？

精度指口勺是误差分布的密集或离散的程度。

5.观测量的精度指标有哪些？

(1)力差与中误差；(2)极艰误差；(3)相对误差。

6.极限误差是怎样定义的？

在•定条件下，偶尔误差不会超过种界值，这个界值就是极限误差。一•般取三倍中误差为极限误差。

当观测规定较严时，也可取两倍中误差为极限误差。

7、误差传播律是用来处理什么问题的？

误差传播律是用来求观测值函数的中误差。

8、应用误差传播律的实际环节是什么？

(1)根据详细测量问题，分析写出函数体现式：

A8fASfA5fA

⑵根据函数体现式写出真误差关系式Az=二一八芍△天+…+；

oXjdx2dxn

(3)将其误差关系式转换成中误差关系式。

9、水准测量的高差中误差与测站数及水准路线长度有「么关系？

当各测站的观测精度相似时，水准测量的高差中误差与测站数为算术平方根成正比；当各测站的距离大体

相等时，水准测量口勺高差中误差与水准路线长度的算术平方根成正比。

10、什么是单位权？什么是单位权中误差？

权等于1时你为单位权，权等于1的中误差称为单位权中误差。

11、应用权倒数传播律时应注意什么问题？

观测值间应误差独立。

12.观测值的权与其协因数有•什么关系？

观测值的权与其协因数互为倒数关系。

13.怎样计算加权平均值的权？

加权平均值口勺权等于各观测值的权之和。

:正明:

应用权倒数传播律，有:

差及中误差。

hAD=15.752+7.305-9.532=13.525

网卬）=唠=752+32+42=5亚毫米

22.有一正方形的厂房，浏其一边之长为a,其中误差为，试求其周长及其中误差。若以相似精度测量其

四边，由其周长精度又怎样？

（1）C=4。mr=4〃%

（2）C=q+々2+%+。4叫=启叫=21%

23.对某一导线边作等精度观测，往测为L1,返测为L2,其中误差均为m,求该导线边的最或是俏及中误差。

1212m

m=A—m"+—=—；=

V44V2

24.一种角度观测值为，试求该观测位的正切函数值及其中误差。

?=tan60=V3

m=sec260•—^―=0.004

dF^—da^adar

da1206265

25.测量•长方形厂房基地，长为，宽为。试求其面积及中误差。

5=^=1000x100=100000m2

m、=出4+/欣=71002X0.0122+10J02X0.0082=8.(W

26.如图，已知AB方位角为，导线角，，试求CD边方位角及其中误差。

心二&+180。+4—180。+/?2=342。11'36〃

_____________________________________ff

〃叫小=±小棺+//+mj,=±V62+82+102=10V2

27、设观测值L1.、L2和L3的中误差为，单位权中误差为，求各观测值之权。

布22,221221

—P1=¥=，%卞」几=记=记

28、设观测值L1.、L2和L3R勺权为1.2和4,单位权中误差为±5"，求各观测值中误差。

29、设观测值L1.L2和L3的权为1.2及4,观测值L2的中误差为6.，求观测值L1和L3的中误差。

30、规定100平方米正形H勺JJU面积的测星精度到达0.1平方米，假如正方形的直角测显没有误差，则边长的测

定精度为多少？

ms0.1

2

S=a(lS=2adams=2amamu=—二=-------=0.005米=5卷米

2a2x10

31.在三角形ABC中,A和B已经观测，其权都为1,试求C隹及其权。

111cn1

C=180-A-B------=---------1--------=2rr=—

PcPAPB2

32.设函数为，式中观测值L1.L2.L3和L4对应有权为P1.P2.P3和P4,求F的权倒数。

1%+”+红+旦=［丝］

耳=P,P2P3PAp

33.使用两种类型的经纬仪观测某一角度得，，求该角最或是值及其中误差。

设，则，，

x=啊+'乂=2401324-+16x15+1x0=24。1338”

匕+616+1

m=(不亡百/百十(瓦石)一欣

x65+小汗4布

第三章条件平差

1.测量平差的目的是什么？

根据最小二乘法原理，对的消除各观测值间的矛盾，合理地分派误差，求出观测值及其函数的最或是值,

同步评估测量成果的精度。

2.条件平差的原理是什么？

根据观测值间构成的条件，按最小二乘法原理求观测值的最或电值，消除因多出观测而产生的不符值，并进

行精度评估。

3、条件平差中的法方程有什么特点？

(1)是一组线性对称方程，系数排列与对角线成对称：

(2)在对角线上的系数都是自乘系数:

(3)所有系数都是由条件方程的系数构成，常数项的条件方程时常数项。

4.条件平差的计算分为哪几种环节？

(1)根据实际问题，确定条件方程的个数(等于多出观测的个数)，列出改正数条件方程：

(2)构成法方程式(等于条件方程的个数)；

(3)解尊法方程，求出联络数k；

(4)将k代入改正数方程求出改正数v,并计算平差值：

(5)计算单位权中误差。0；

(6)将平差值代入平差俏条件方程式.检核平差俏计尊的对的件.

5.水准网I向必要观测怎样确定？

对于有已知点的水准网，确定一种待定点的高程必须观测一段高差，因此必要观测个数t等于待定点个数

P,即：对于无已知点的水准网，只能确定待定点间的相对高程，故必要观测个数t等于待定点个数p减1,即。

6.测角网H勺必要观测怎样确定？

在测角网中，确定一种点的位置必须观测两个角度，故测角网的必要观测个数t等于待定点个数p的2倍,

即。

7、彳I一附合导线的多出观测怎样确定？

单一附合导线的多出观测一直是30

8、条件方程口勺列立应注意什么问题？

(1)条件方程的个数必须等于多出观测的个数，不能多也不能少；

(2)条件方程式之间必须函数独立:

(3)尽量选择形式简朴便于计算的条件方程式。

9、水准网的条件方程式有什么特点？

水准网的条件方程式只有闭合水准路线和附合水准路线两种，当水准网为独立网时，条件方程式只有闭合水准

路线。

10、独立测角网的条件方程有哪些类型？

独立测角网的条件方程有图形条件、圆周条件和极条件三种类型。圆周条件的个数等于中点多边形的个数，极条

件的个数等于中点多边形、大地四边形和扇形的总数，图形条件的个数等于互不重叠H勺三角形个数加上实对角线

的条数。

11.极条件有什么特点？

分了是推券路线未知边所对角平差值的正弦函数值的乘积，分母是推算路线已知边所对角平差值的正弦

函数值的乘积。

12.怎样将极条件线性化?

推算路线所有未知边所对角观测值H勺余切函数值与对应角度改正数乘积的和减去推算路线上.所有已知边

所对•角观测值的余切函数值与对应角度改正数乘积，常数项等于1与极条件(用观测值替代平差值)倒数向差再

乘于°例如:

极条件为:

sinLxsinLysinL5sin

人人人人*

sinL2sinL4sinLbsin4

线性化后为:

闭合差为：

八sinL-,sinL.sinL(sinL.x.

wd=(1--------=---------------------)p

sinL)sinZ3sinL5sinL7

13.怎样求平左值函数的中误差？

(1)列平差值函数式:

(2)求平差值函数I向权倒数:

(3)求平差值函数的中误差。

14.如图，这是一种单结点水准网,ABC为已知水准点，其中米，米，米,E为待定点，高差观测值米,米、

C

观测值个数为3,待定点个数为1,多出观测个数为2,可列出2个附合条件:

平差值条件方程为：

HA+h「良-HB=0

Hc+h3-h2-HB=0

改正数条件方程为：

Vj-v2-5=0

匕一Vo+8=0

15.如图为一大地四边形，试判断各类条件数目并列出改正数条件方程式。

观测值个数n=8,待定点个数t=2,多出观测个数

3个图形条件J个极条件。

16.如图，A、B、C三点均为待定点，试按条件平差法求各高差。勺平差值。

A

hi

c<h2

CJ;=+1.3325\=2km

—+1.053S2-2km

=-2.399S3=3km

B

解：(1)列改正数条件方程，闭合差以亳米为单便：

/+匕+匕-14=0

(2)定权

令，则有，高差观测值的权倒数(协因效)率为：

-2-

尸=2

_3_

(3)法方程的构成与解算：

条件方程的系数阵和闭合差为：

A=[l11]W=[-14]

构成法方程为：

解得：。

(4)计算改正数

V=p-lATK=\4461

(5)计算观测值的平差值

A=L+V=[1.3361.057-2.3931m

17.设对•某个三角彩日勺3个内角作同耕度现测，得观测值为，，，试按条件平差法求三个内角的平差值。

解：(1)列改正数条件方程，闭合美以秒为单位：

匕+%+匕-3=0

⑵构成并解算法方程：

条件方材的系数阵和闭合差为：

A=[l11]卬=[-3]

构成法方程为：

解得：。

⑶计见改正数

V=ATK=\\11]7

(4)计算现测值的平差值

O

£=L+V=[7855W58。33’13"42。31’43〃]7

19、试确定图(a)、(b)中各测角网条件方程的总个数及各类条件数0

解：(a)观测值个数n=I9,待定点个数1=4,多出观测个数厂n-2l=ll

①图形条件7个（其中中点多边形中有5个三角形,2个大地四边形中由四个角构成口勺三角形）:

②圆周条件1个:

③极条件3个（其中1个中点多边形,2个大地四边形）

（b）观测值个数n=25,待定点个数1=5,多出观测个数r=n-2l=15

①图形条件9个（其中中点多边形中有6个一:角形,3个大地四边形中由四个角构成的一:角形）;

②圆周条件I个：

③极条件5个（其中1个中点多边形.4个大地四边形）

20、在图3-16的三角网中,A、B为已知点,

C、D、E为待定点，观测了所有内角,

试用文字符号列出全部的条件式。

解：观测值个数n=12.待定点个数1=3.多出观测个数尸n-2t=6

①图形条件4个:

匕+彩+匕Q

+W=0Wa=乙+180

=L+

!+%+吟+%=04L5+L6-180

v7+v8+v9+wc=0Wc=L7+4+4—180

匕匕+叱/=°

o+hl+2叼='ll)+I+L|2—18°

②圆周条件1个:

匕+为+%+吗=°吗=4+4+4—360

③极条件1个。

cot£2v2+cot£5v54-cotLgVg—cotLjVj—cotL4v4-cot£7v7+wf=0

八

sinL!sin£.sinL-,x„

wf=(1----------------------)p

sinL2sinL.sin4

第四章间接平差

1.什么是间接平差？

以最小二乘为平差原则，以平差值方程、误差方差作为函数模型的平差措施.

2、间接平差II勺计算分为哪几种环节？

(1)根据平差问题1月性质，确定必要观测的个数3选择t个独立量作为未知参数：

(2)将观测值的平差值表到达未知参数的函数，即平差值方程，并列出误差方程；

(3)由误差方程的系数B与自由项/构成法方程；

(4)解算法方程，求出未知参数，计算未知参数的平差值：

(5)将未知参数代入误差方程求出改正数v,并求出观测值为平差值。

3、按间接平差法列水准网误差方程的环节是什么？

(I)根据平差问题，确定必要观测的个数I：

(2)选用t个待定点的高程作为未知参数，确定未知参数的近似值：

(3)列立平差俏方程、误差方程。

4.坐标平差列立误差方程的环节是什么？

(1)计算各待定点的近似坐标(X°,y°)：

(2)由待定点的近似坐标和已知点向坐标计算各待定边的近似坐标方位角。。和近似边长s°：

(3)列出各待定边坐标方位角改正数方程，并求解其系数：

(4)列立误差方程，计算系数和常数。

5、什么叫坐标平差？

以待定点的坐标为未知参数的间接平差称为坐标平差。

6.如图，这是一种单结点水准网,ABC为已知水准点，其中米，米，米，E为待定点，高差观测值米、米、

C

对有已知点口勺水准网而吉，必要观测数等于待定点个数，即t=1。选用待定点EU勺高程为未知数

,选用未知数的近似值为：

则q=X°+a=11.383+永

误差方程为：

/?V.=X—HIt=8x

i=九+匕=戈_"八1rl1

B

h2=h2+v2=X-HB=><v2=X—H—b=Sx—5

h=h^v=X-H

333cv3=X—Hc—hy=&c-13

7、如图，在三角形ABC中，同精度观测了三个内角：，，，按间接平差法列出误差方程式。

必要观测数t=2,选用、的平差值为未知数、，并令、，则

X}=X：+郎=L]+期

戈2=X[+湫=£?+8X2

+匕=X]

LJVi=Xj-L(=6xx

八人

心2+彩=X?%=X,—L>—^X-)

匕=180—月一只

匕=180—Xj—X2+4-Sx^—16

9、在测站。点测量了4个角度，见图4-13,观测值如下:

O,

Li=1352520\L2=90°40'08〃，

/

L3=133°5442\L4=226°05'43〃

试按间接平差法列出其误差方程。

解：(1)由图4-13可知必要观测数1=2。

(2)选用、的平差值为未知数和.为便于后续计算，选用未知的近似值为：

X；j=135。25'20"

X；=J=90。40'08〃

则:

（3）列立平差值方程.并转化为误差方程。

AA

L[=4+/=X|

A.

L2=L2+v2=X2

L3=4+V3=360°-X1-X2

+/=X]+x?

将现测值移至等式右端，并将现测值代入，得：

匕=的

v2=8X2

v3=-8x}-8X2-\Q

v4=血+物一15

试题一

二、设对某量分别进行等精度了n、m次独立观测.分别得到观测值，，权为，试求:

[pL]

1）〃次观测的加权平均值X”=--时权

〃ri1pn

[p]

[pL]

2），〃次观测的加权平均值x,”=——附权p,

[pln

3)加权平均值X='P〃E〃的权

px（15分）

Pn+Pm

二、解：由于

x

n=~~=—(pL]+pL?+-••4-pLn)

{p\叩

=-(i|+七2+…+L〃)（2分）

n

1…1)"L2...Lfy

n

根据协因数传播定律，则xn的权：

1

—=-(111)*（2分）

Pnnnp

则:（I分）

2)

/==，(pL|++…+PG

[plmp

=+L

~(i12+…+4)（2分）

m

=-01…1)*&L?…Lj

m

根据协因数传播定律，则xml向权：

4

—=—(11…1)*%1

（2分）

P,nmmp

则:（I分）

3)

P/〃+P〃E”_〃〃*与+〃卯*z，〃mYxz,

+

PnP,n州+mpl〃+〃2n+m\xm)

根据协因数传播定律，则x的权：

n

\-------

1_(nm

n-\-m（2分）

4-/m(/t+

px\nm〃+〃吠/mp)-------m)p

<77+m)

则:（I分）

三、已知某平面控制网中待定点坐标平差参数£、勺的协因数为

其单位为，并求得，试用两种措施求E、F。(15分)

三、解：(1)极值方向的计算与确定

由2%=二^=4=-4

QXX-Qyy1.5-2

因此

2仰=104.036u；284.0360

%=52.018°；142.018°

由于QxyX).则极大值E在一、三象限，极小值F在二、四象限，则：

=52.018°；232.018°

(5分)

(pF=142.018。；322.()18。

(2)极大值E、极小值F的计算

措施一根据任意方向位差计算公式

22

E=其(CLcos(pE+Qyysin2+Qxysin2(pE)

=4*(1.5*cos252.018°+2*sin252.018°-t-Psin(2*52.018°))

=11.123

22

尸=其(Qxxcos%+Qyysin(pF4-Qxysin2%.)

=4*(1.5*COS2142.018。+2*sin2I42.018。+1*sin(2*142.018°))

=2.877

E=±3.34d〃?

(5分；

F=±1.70rfm

措施二

2—.5-2=0.5

QjQ»=L5+2=3.5

H=Qy,,)2+4Q；=A/0.52+4*12=2.062

11

299

E=-^(QXX++H)=5*4*(3.5+2.062)=11.123

11

F29=-O9^Q+Q»,_“)=5*4*(3.5-2.062)=2.877

JXXL

E=±3.34dm

(5分：

F=±L70dm

四、得到如下图所示，已知A.B点，等精度观测8个角值为:

A

若选择NABC平差值为未知参数X,用附有参数口勺条件平差法列出其平差值条件方程式。（10分）

四、解：本题n=8,t=4,r=n-t=4,u=l（4分）

其平差值条件方程式为:

z4

+

I+£+L+A+L-180°=0

£43456

+

I+£-180°=0

z47

+

4+£-180°=0

£48

+（6分）

5-X=0

sinL3*sinL5次sinL6

AAA=1

sinL2*sinL4*sinL、

五、如图所示水准网,ABC三点为已知高程点,PLP2为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。（20分）

用条件平差法计算未知点PI,P2的高程平差值及其中误差:

高差观测值/m对应线路长度/km己知点高程/m

hj=-1.0441

HA=32.OOO

h2=1.3111

HB=31.735

hj=0.5411

Hc=31.256

h产”.2431

五、解：1）本题n=4,t=2,r=n“=2（2分）

则平差值条件方程式为:

HB+h,+hi-HA=O

/.(2分)

HL—Qh,+J儿4-I/2.—/HiA=0

则改正数方程式为：

v,4-v2-vv,=0

v(4-v3-v4-w2=0

则

’1100、

A=

J0l-l

、二

W=—(A/z+A))=—（3分）

、Hc-〃4+〃3+〃]一“A,

令C=l,观测值的权倒数为:

（|分）

则构成法方程,并解法方程:

lT1、

N=AP-A=K=N”（2分）

U3,

求改正数，计算平差值

O八

/>J1.044、

匕

I凡

mPTTK1.309

V-%='A--22I=<

\-〃=/z+V=（2分）

I0.543

匕

7-2J<

儿<-1-245,

则PLP2点高程为:

HP}=HA-h]=33.044m

（I分）

H*x=vH-c—yh4=32.051m

2）单位权中误差:

=±V6=±2A5mm（1分）

/A、

%

00)：

〃3

A

（2分）

“P2=%-/；4=%+(000-1)

由。立=。〃_QLL^N'AQu

则Pl.P2点口勺权倒数为：

2

Q=fQ,fT-fQ^ATN-'AQfT=-

p]uIL■'

（2分）

Q2=fQ^fT-fQ^TN-]AQfT=-

PI±J

则PI,P2点的中误差为:

___2__

6PT=JQPI=±—y[\5mm=±\.55mm

（2分）

_____o___

&P2=仿JQ—=±~V1O777A77=±1.90/7777?

六、如下图所示,A,B点为已知高程点，试按间接平差法求证在单一附合水准路线中，平差后高程最弱点在水准

路线中央。（20分）

Ahlh2B

----------------G

一S

六、证明：设AC距离为T,则BC距离为S-T：

设每公里中误差为单位权中误差，则

AC之间的高差的权为1",BC之间高差的权力】/（S-T）：则其权阵为:

A/T01

P=（5分）

I01/（S-T）J

A

选c点平差值高程为参数X则

平差值方程式为：

h^=X-H

A（3分）

h2=HB-X

则

（2分）

则平差后c点高程的权倒数为:

二伊时二中

4-=QXX=N"（5分）

rc

求最弱点位，即为求最大方差，由方差与协因数之间的关系可知，也就是求最大协因数（权倒数），上式对T求

导令其等零，则

T=S/2（3分）

则在水准路线中央的点位的方老最大，也就是最弱点位

试题二

1.如下图，其中A.B.C为已知点，观测了5个角，若设L1L5观测俏.11勺平差值为未知参数,按附有限制条件内条

件平差法进行平差时，必要观测个数为2,多出观测个数为3,一般条件方程个数为4,

限制条件方程个数为1

A

D

2.测量是所称的观测条件包括观测仪器、观测者、外界环境。

3.已知某段距离进行了同精度的来回测量（L1.L2）,其中误差，来回测的平均值的中误差为2J2或2.818.

若推位权中误差，来回测的平均值H勺权为2

4、已知某观测值X、Y的协因数阵如下，其极大值方向为157.2°或337.50,若单位权中误差为±2mm.极小

值F为1.78mm.

2.0一().51

Qxx=

-0.51.0)

二、已知某观测值X、Y的协因数阵如下，求X、Y的有关系数P0（10分）

0.36-0.15

-0.150.25

_bg，（、4、

0巴

二b；*Q.q

伍*低?）*（%*亚7八'

Q

"7OxyZ<…

-0.15

―70.36*0.25

三、设有一函数，其中：

x=a}L}+a2L2+•••+&/〃

y=/?Ji++…+0〃L

ai=A.Bi=BG=12…,n）是无误差的常数,Li的权为pi=l,pij=JGWj）。（15分）

1）求函数八“有权：

2）求协因数阵。疗、QTF。

三、解：（DL向量的权阵为：

」0…0、

01:

P="0

J）…01?

则L的协因数阵为:

’10…0、

01•••:

QLL=P=•.八

:…()

(2分)

(001J

r=5x+253

=5*(%L]+a2L2+…+a〃L“)+253

=5(71

Z，1+5a2L2+…+5a+253

=5AL,+5AL?+・・・+5AL〃+253

=5401…1)4+253

*

F=2y+671

=2*(夕4+色&+…+我")+671

2分9X

依协因数传播定律

则函数T的权倒数为：

r2

—=Qrr=5A（11…1）*Q〃*（5A（11…l））=25nA

PT

则：（3分）

则函数FH勺权倒数为:

—=QFF=2B（11…1...1））7=4用

PF

则：（3分）

y=B、L\+人心2+,•,+

=RI1+RQ+,—kBLn

（i分）

=8（11…1）L：

*

♦

依协因数传播定律

九（分）

QTy=5A（11・♦・1・・•1））,=5432

7

Qrr=5A（11…1）*。辽*（2凤11…I））=lOnAB（2分）

四、如图所示水准网,A.B、C三点为已知高程点，D.E为未知点，各观测高差及路线长度如下表所列。（20分）

用间接平差法计算未知点D.E的高程平差值及其中误差;

h5=-0.0881

h5=0.7631

四、解：1)本题n=6,t=2,r=n-t=4；

选D.E平差值高程为未知参数（2分）

则平差值方程为：

4=X.-文2

=文2—HH（2分）

友=X2-HA

无=Xt-Hn

底=X.-HA

认,=H八一X,

则改正数方程式为：

匕=£一戈2一4

p2=X2—/2（1分）

%=殳2­，3

匕=£一/4

%=£一1S

匕，=一元一16

0

取参数近似值X।I,="8tj+4I+九Z=Z22.9o07、XZ；=HB+%=24.255

令C=L则观测值的权阵：

'九-(X?

，1-nX)、，°)

h-(X：

0iJ2一HQo

0i%—(x；一"10

R=/==h-(BX°+4)==

1o%—(Xf-HR)-5

1oIs%一（x：5

<-1OJ、〃6一（〃C-x：'))J,

（4分）

组法方程,并解法方程:

，4-r-7

r

N=B「PB=W=BPl=

C3,J)

（4分）

求D.E平差值:

0

Hc=X,=X,+i,=22.906m

（I分）

HD=X2=X^+X2=24.