平面向量的概念及线性运算

5.1平面向量的概念及线性运算

课标要求精细考点素养达成

1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的通过平面向量概念的学习，培

平面向量的概念

实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含养数学抽象的核心素养

义，了解平面向量的几何表示和基本要素通过平面向量的线性运算,能

平面向量的线性运算

2.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加够培养数学运算的核心素养

减运算及运算规则,理解其几何意义

3.借助实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规平面向量共线定理及通过共线定理的应用，培养逻

则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义.其应用辑推理、数学运算的核心素养

了解平而向量的线性运算性质及其几何意义

知识-结构梳理

定义

平

面

向

量

的

概

念

相反模长相等且方向相反

规定：零向量的相反向量仍是零向量

向量的向量称为相反向量

夯实基础

1.（概念辨析）下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是（）.

①汪一向量与它的相反向量都不相等;②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量;③平行且模相等的两个向

量是相等向量;④若a#b,则a|Wb|;⑤若两个向量相等,则它们的起点与终点相同.

A.OB.1C.2D.3

2.（对接教材）如图，设0是正六边形ABCDEF的中心,则与而不相等的向量为（）.

DE

A.OCB.FOC.EDD.正

3.（对接教材）已知向量el,e2不共线,a=el+3e2,b=2el+Xe2,若a〃b,则实数X=

4.1易错自纠）下列说法错误的是（）.

A.向量崩与向量嬴长度相同B.单位向量并不全相等

C.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小D.与向量a共线的向量,均可以用入a表示,其中XGR

5.（模拟演练）（2023•江苏通州中学月考）如图,BC,DE是半径为1的圆0的两条直径，而=2而,EFC=XFD»-uFE,

贝IJ…等于（）.

B.2C.3D.4

⑥）能力・模西瓯:

平面向量的概念

典例1判断下列命题是否正确,请说明理由：

（1）若向量a与b同向，且|a|>|b|,则a>b;

⑵若|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反;

⑶若|a|二|b|,a与b的方向相同，则a=b;

（4;由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；

⑸若向量a与b平行，则向量a与b方向相同或相反.

1.相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性,零向量与任意向量共线.

2.共线向量即平行向量，它们均与起点无关.

3.向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的移动混为一谈.

训练1下列命题中，假命题的个数是().

①两个相等向量,若它们的起点相同，则终点也相同;

②若|a|=|b5ija=b;

③若I而|=|玩I,则四边形ABCD是平行四边形；

④若m=n,n=k,则m=k;

⑤若a〃b,b〃c,则a/7c;

⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段；

⑦任何一个非零向量都可以平行移动.

A.2B.3C.4D.5

考点平面向量的线性运算

典例2在△ABC中，若AC=b.

⑴若P,Q是线段BC的三等分点,求证:而+而=a+b.

⑵若P,Q,S是线段BC的四等分点,求证:而+而+丽=|(a+b).

⑶如果Al,A2,A3,-,Anl是线段BC的n(n》3)等分点，你能得到什么结论?不必证明.

向量的线性运算的解题策略

(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形

法则，求首尾相连向量的和用三角形法则.

(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.

(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③

运用法则找关系;④化简结果.

训练2(2023•江苏常州中学调研)已知平面上不共线的四点。，儿B,C,若醇而+3痔。，贝嚅等于().

A1

43

考点

3向量共线定理及其应用

典到3如图，在AOAB中,阮芸丽丽丹丽,AD与BC交十点M,设砺=a,而=b,在线段AC上取一点E,在线段BD

42

上取一点F,使EF过点M,设而二pUX,OF=qOB,求证W是7.

pq

0AMl/

向量共线定理的应用

（1）证明三点共线问题,可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且

有公共点时，才能得出三点共线.|

（2）向量a,b共线是指存在不全为零的实数人”人2,使人d+X力=0成立;若X,a+X2b=0,当且仅当A■产入2=0时

成立，则向量a,b不共线.

（3）已知0在直线BC外,*A满足苏=XOB+uOC（X2y为实数），A,B,C二息共线的充要条件为X+p=l.

训练3（2023•江苏如东中学月考）在△ABC中,AD=2DB,靠=2前,P为线段DE上的动点，若而=入通+口而，X,

H三R,贝IJN+U等于（）.

A.1B.-C.-D.2

32

藏素,:能力提升）

分点恒等式

（1）已知丽而为不共线的两个向量,则对于向量而，必存在x,y,使得而=xA5+y谶,则B,C,D三点共线=

x+y=l.

若0<x+y<l,则D与A位于BC同侧,且D位于A与BC之间;

当xy<0时,D在线段BC的延长线上或反向延长线上.

⑵已知D在线段BC上，且BD：CD=m：n,则而丽U-近.

m+nm+n

典例在△ABC中,D为边BC的中点,H为AD的中点,过点H作一直线MN分别交AB,AC于点M.N,若

AM=xAB,AN=yAC,则x+4y的最小值是（）.

A.-B.2C.V3I).]

AB=xA目+yA£中X,y的确定方法

（1）在几何图形中，若D,B,C三点共线，则可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定x,y;

（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程而=xA5+y而,可考虑两边对同一向量作数量积运算,

从而得到关于x,y的方程,再进行求解；

（3）若所给图形比较特殊（矩形,特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化,从而得到关于x,y的方程,再进

行求解.

训冻如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为BC,CD上的点,且丽=觉,CN=1CD,连接AM,BN交于点P,若而=

人丽丽=口丽则N+U=（）.

一、单选题

1.有关向量a和向量b的下列四个说法:①若|a|=0,则a=0;②若量|=|b|,则a=b或a=b;③若a〃b,则|a=|b|;

④若a=0,则a=0.其中的正确的有（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.下列选项中的式子，结果为零向量的是（）.

A.AB+BCCAB.AB+MB*BO+OMC.OA+OB+BO+COD.ABAC+BDCD

3.（2023•江苏启东中学月考）已知AABC是正三角形，则下列等式不成立的是（）.

A.AB+BC|=|BC+CA|B.|AC+CB|=BA+BC|C.|AB+AC|=ICA+CB|D.IAB+BC+CAI=|CB+BA+AC|

4.（2023•江苏东海中学期中）如图,在△ABC中,丽前,P是BN上的一点,若而=（m+崩干瓦，则实数m的

值为（）.

A.：B.gC.1D.3

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二、多选题

5.已知A,B,C是三个不同的点,OA=ab,OB=2a3b,OC=3a5b,则下列结论正确的是（）.

A.AC=2ABB.AB=BCC.AC=3BCD.A,B,C三点共线

6.（2024•河北邯郸第一次调研）设a,b是两个非零向量，且Ia+b|<|a|+|b|,则下列结论正确的是（）.

A.ab隆|a|+1b|B.|ab<|a+b|

C.a,b的夹角为钝角D.若实数工使得a=Xb成立，则人为负数

三、填空题

7.（2023•江苏靖江中学质检）设向量a,b不共线,若向量ta+b与a+3b共线，则实数t的值为.

8.（2023•河北张家口调研）在中，点P满足而+而=4而,则aABP与△ABC的面积比为.

四、解答题

9.设e',e。是两个不共线的向量,如果靠=3e*,BC=4el+e\CD=8e'9e2.

⑴求证:A,B,D三点共线.

⑵试确定X的值，使2Xe'+e2和e'+人（共线.

⑶若e'+X/与XS+F不共线，试求X的取值范围.

10.如图所示,AD