湖南省新邵县2024届数学九年级上册期末质量检测试题含解析

湖南省新邵县2024届数学九上期末质量检测试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，线段45两个端点的坐标分别为A（6,6）,以8,2）,以原点O为位似中心，在第一象限内将线段A8缩小为

原来的g后得到线段CD,则端点C的坐标为（）

A.⑶3)B.(4.3)C.(3,1)D.(4,1)

3.已知二次函数）=一2（］一〃）2-〃的图象如图所示，则反比例函数y=：与一次函数），=办+力的图象可能是

()

.夺

4.为了迎接春节，某厂10月份生产春联50万幅，计划在12月份生产春联120万幅，设11、12月份平均每月增长率

为无根据题意，可列出方程为（）

A.50(x+l)+50(x+l)'=120B.50+50(x+l)+50(x+l)2=120

C.50(I+1『=120D.50(x+1)=60

5.下列品牌的运动鞋标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A.4、，B,C.D-

6.如图，在。中，4g是。。的直径点。是二）0上一点，点C是弧A力的中点.弦CE1AR千点F,过点£）的切

线交EC的延长线于点G,连接A。,分别交b、8。于点尸、Q,连接AC.给出下列结论:①NB4O=NA3C；

®GP=GD；③点2是-ACQ的外心；@APAD=CQCB,其中正确的是（）

A.①®@B.②③④C.①③④D.①®@®

4

7.对于反比例函数），=-一，下列说法错误的是（

A.它的图象分别位于第二、四象限

B.它的图象关于y=x成轴对称

c.若点4-2,二）,8（—1,%）在该函数图像上，则％＜为

D.）的值随工值的增大而减小

8.二次函数y=-2（x+1）2+3的图象的顶点坐标是（）

A.（1,3）B.（-1,3）C.（1,-3）D.（-1,-3）

9.如图，在AABC中，ZB=90°,AB=6cm,BC=12cm,动点P从点A开始沿边AB向B以lcm/s的速度移动（不与

点B重合），动点Q从点R开始沿边BC向C以2cmA的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、R同时出

发，那么经过（）秒，四边形APQC的面积最小.

C.3

10.如图，要测量小河两岸相对两点A、C宽度，可以在小河边AC的垂线CO上取一点8,则得BC=100m,

Z4BC=50°,则小河的宽AC等于（）

A.100sin50°/nB.I00cos50°/nC.100tan50°/??D.100tan40°/H

11.将点A（2,1）向右平移2个单位长度得到点A，，则点的坐标是（）

A.（0,1）B.（2,-1）C.（4,1）D,（2,3）

12.如青，以A氏C为顶点的三角形与以尸为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（）

A.2：1B.3：1C.4：3D.3：2

二、填空题（每题4分，共24分）

13.一元二次方程（x+l）（x-3）=2x・5根的情况.（表述正确即可）

14.如图，（DO的直径AB垂直于弦CD,垂足为E.如果NB=60。，AC=6,那么CD的长为.

V

15.方程一；-1=1的解是_______

x-1

21.（8分）如图1,正方形A8CZ）的边。。在正方形ECG尸的边CE上，连接8区DG.

（1）的和OG的数量关系是____________,跖和QG的位置关系是；

（2）把正方形ECG"绕点C旋转，如图2,（1）中的结论是否还成立？若成立，写出证明过程，若不成立，请说明

理由;

（3）设正方形A3CO的边长为4,正方形ECGb的边长为3行，正方形ECG尸绕点C旋转过程中，若A、C、E三

点共线，直接写出OG的长.

图1图2

22.（10分）如图，抛物线人与轴交于A（-1,O）、以3,0）两点，与）轴交于点C（0,-3）,设抛物线的顶点为点O.

（1）求该抛物线的解析式与顶点。的坐标.

（2）试判断MC力的形状，并说明理由.

（3）坐标轴上是否存在点尸，使得以P、4C为顶点的三角形与阳CQ相似？若存在，请直接写出点尸的坐标;

若不存在，请说明理由.

23.（10分）学校要在教学楼侧面悬挂中考励志的标语牌，如图所示，为了使标语牌醒目，计划设计标语牌的宽度为

BC,为了测量BC,在距教学楼2。米的升旗台P处利用测角仪测得教学楼AB的顶端点B的仰角为60,点C的仰角

为45°，求标语牌BC的宽度（结果保留根号）

B

24.（10分）今年我县为了创建省级文明县城，全面推行中小学校“社会主义核心价值观”进课堂.某校对全校学生进

行了检测评价，检测结果分为4（优秀）、8（良好）、C（合格）、。（不合格）四个等级.并随机抽取若干名学生的检测结

果作为样本进行数据处理，制作了如下所示不完整的统计表和统计图.

请根据统计表和统计图提供的信息，解答下列问题:

（1）本次随机抽取的样本容量为；

（2）统计表中。=,b=.

（3）若该校共有学生51）00人，请你估算该校学生在本次检测中达到"A（优秀广等级的学生人数.

25.（12分）如图，在R/2MBe中，点。在斜边上，以。为圆心，OB为半径作圆，分别与BC、相交于点。、

E,连接AO,已知NC4D=/B.

(1)求证；4。是。的切线；

(2)若/8=30。，AC=6求劣弧8。与弦8。所围阴影图形的面积;

(3)若AC=4,BD=6,求AE的长.

26.如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1,2,L

(1)小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为；

(2)小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转

动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是1的倍数的概率(用画树状图或列表等方法求解).

参考答案

一、选择题(每题4分，共48分)

1、A

【分析】利用位似图形的性质和两图形的位似比，并结合点A的坐标即可得出C点坐标.

【详解】解：•・•线段AB的两个端点坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心，在第一象限内将线段

AB缩小为原来的；后得到线段CD,

・•・端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，

，端点C的坐标为：(3,3).

故选A.

【点睛】

本题主要考查位似变换、坐标与图形性质，解题的关键是结合位似比和点A的坐标.

2、B

【分析】本题可先由反比例函数》=--图象得到字母a的正负，再与一次函数y=ax^l的图象相比较看是否一致即可

x

解决问题.

【详解】解：A、由函数），=-巴的图象可知。＞0,由y=or+l（。工0）的图象可知。V0故选项A错误.

x

由函数），=-0的图象可知。＞0,由），=or+l（a#0）的图象可知。＞0,且交于），轴于正半轴，故选项B正确.

X

C、），=〃工+1（〃#0）的图象应该交于了轴于正半轴，故选项C错误.

。、由函数）=-9的图象可知。V0,由J，=〃x+1（aHO）的图象可知〃＞0,故选项O错误.

X

故选：B.

【点睛】

本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型.

3、B

【分析】观察二次函数图象，找出。＞。，/?＞0,再结合反比例函数、一次函数图象与系数的关系，即可得出结论.

【详解】观察二次函数图象，发现：

抛物线），二一2（工一。）2-〃的顶点坐标（％-〃）在第四象限，即。＞0,—bvO,

Atz＞0fb＞0.

•・•反比例函数y=妙中＞0,

x

，反比例函数图象在第一、三象限；

•・•一次函数）=办+。，〃＞0,

・•・一次函数丁=办+〃的图象过第一、二、三象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据二次函数的图象找出。＞0,

b＞0.解决该题型题目时，熟记各函数图象的性质是解题的关键.

4、C

【分析】根据“当月的生产量=上月的生产量x（1+增长率）”即可得.

【详解】由题意得：11月份的生产量为50Q+1）万幅

12月份的生产量为50(x+l)(x+1)=50(1+1)2万幅

贝IJ50(X+1)2=120

故选：C.

【点睛】

本题考查了列一元二次方程，读懂题意，正确求出12月份的生产量是解题关键.

5、D

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可得出答案.

【详解】A是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意.

故选D.

【点睛】

本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称

轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

6、B

【分析】①由于AC与30不一定相等，根据圆周角定理可判断①；

②连接OD,利用切线的性质，可得出/GPD=NGDP,利用等角对等边可得出GP=GD,可判断②；

③先由垂径定理得到A为的中点，再由C为A。的中点，得到=AE，根据等弧所对的圆周角相等可得出

ZCAP=ZACP,利用等角对等边可得出AP=CP,又AB为直径得到NACQ为直角，由等角的余角相等可得出

ZPCQ=ZPQC,得出CP=PQ,即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，可判断③；

④正确.证明△APFs/XABD,可得APxAD=AFxAB,证明△ACFS^ABC,可得AC2=AFxAB,证明△CAQs/\CBA,

可得AC'CQxCB,由此即可判断④；

【详解】解：①错误，假设=则BD=AC，

AC=CD^

•-AC=CD=BD»显然不可能，故①错误・

②正确.连接3>.

•「GD是切线，

:.DG10Df

：.ZGDP+ZADO=9Q°r

•/OA=OD,

ZADO=ZOAD9

NAP产+NOW=90。，/GPD=ZAPF,

:"GPD=NGDP,

:.GD=GP,故②正确.

③正确.AB±CEf

AE=AC，

AC=C。，

CD=AE，

:.ZCAD=ZACEf

:.PC=PA,

QA8是直径，

ZACQ=90°,

.-.ZACP+ZeCP=90°,NC4P+NCQP=90。，

/PCQ=/PQC,

:.PC=PQ=PA,

ZACQ=90°,

点户是A4CQ的外心.故③正确.

④正确.连接

ZAFP=ZADB=900tZPAF=ABADf

^APF^MBD,

APAF

：.一=一,

ABAD

.-.APAD=AFABf

•/ZCAF=ZBACtZAFC=ZACB=^0f

/.zMCF^AA^C,

可得AC2=AF^AB,

-ZACQ=ZACHfZCAQ=ZABCf

2

△CAQsACBA,可得AC=CQCBt

APAD-CQCB,故④正确,

故选：B.

本题考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确现在在相似三角

形解决问题，属于中考选择题中的压轴题.

7、I）

【分析】根据反比例函数的性质对各选项逐一分析即可.

4

【详解】解：反比例函数y=——,k一一4<0,图像在二、四象限，故A正确.

X

反比例函数y=A,当Z>0时，图像关于y=-x对称；

当kvO时，图像关于y=x对称，故B正确

当XV。时，y的值随入值的增大而增大，-2<-1,则乂<必，故c正确

在第二象限或者第四象限，y的值随式值的增大而增大，故D错误

故选D

【点睛】

本题主要考查了反比例函数的性质.

8、B

【解析】分析：据二次函数的顶点式，可直接得出其顶点坐标；

解：•・•二次函数的解析式为：y=-（X-1）2+3,

二其图象的顶点坐标是：（1,3）；

故选A.

9、C

【分析】根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积•三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值.

【详解】解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts,四边形APQC的面积为Sen?,则有：

S=SAABC*SAPRQ

=­xl2x6--（6-t）x2t

22

=t2-6t+36

=（t-3）2+l.

，当t=3s时，S取得最小值.

故选C.

【点睛】

本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法，解题的关键是根据题意列出函数关系式，并根据二次函数的性质求出

最值.

10、C

【分析】利用NABC的正切函数求解即可.

【详解】解：VAC±CD,BC=100/n,ZABC=50°,

，小河宽AC=BCtanZABC=100tan500（in）.

故选C.

【点睛】

本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数

学问题.

11、C

【分析】把点（2,1）的横坐标加2,纵坐标不变即可得到对应点的坐标.

【详解】解：•・•将点（2,1）向右平移2个单位长度，

，得到的点的坐标是（2+2,1）,

即：（4,1）,

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.

12、A

【分析】通过观察图形可知NC和NF是对应角，所以AB和DE是对应边；BC和EF是对应边，即可得出结论.

【详解】解：观察图形可知NC和NF是对应角，所以AB和DE是定应边；BC和EF是对应边，YBC=12,EF=6,

,BC、，

••-----=2:1.

EF

故选A.

【点睛】

此题重点考察学生对相似三角形性质的理解，掌握相似三角形性质是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、有两个正根

【分析】将原方程这里为一元二次方程的一般形式直接解方程或者求判别式与0的关系都可解题.

【详解】解：（x+l）（x-3）=2x-5

整理得：X2-2x-3=2x-5»

即X2-4X+2=0，

配方得：（工一=2,

解得：x=2+>/2>x2=2->/2>0,

，该一元二次方程根的情况是有两个正跟；

故答案为：有两个正根.

【点睛】

此题考查解一元二次方程，或者求判别式与根的个数的关系.

14、6

【分析】由AB是。O的直径，根据由垂径定理得出AD=AC,进而利用等边三角形的判定和性质求得答案.

【详解】解：连接AD,

的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,

AAD=AC,

VZB=60°,

AAACD是等边三角形，

VAC=6,

ACD=AC=6.

故答案为：6.

【点睛】

此题考查了垂径定理以及等边三角形数的判定与性质.注意由垂径定理得出AD=AC是关键.

15、x=2.

【分析】方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验得到分式方程的解.

【详解】去分母得：x=2（x-l）,

解得：x=2,

经检验是x=2的根，

所以，原方程的解是：x=2.

故答案是为：x=2

【点睛】

本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解,解分式方程一定

注意要验根.

16>1+73

PD

【分析】作PD_LAB,设PD=x,根据NCBP=NBPD=45。知BD=PD=x、AD=AB+BD=2+x,由sinNPAD=——歹U出关

AD

于x的方程，解之可得答案.

【详解】如图所示，过点尸作POJL4B,交48延长线于点O,

VNPBD=ZBPD=45°,

1・BD=PD=x,

又・・・AB=2,

：.AD=AB+BD=2+xt

口PD

・.・NP4Q=30°,且sinN7MZ)=——，

AD

・xx/3

••-------=-----9

2+x3

解得：x=l+6,

即船尸离海岸线/的距离为（1+G）km,

故答案为1+6

【点睛】

本题主要考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是根据题意构建合适的直角三角形及三角函数的定义及其

应用.

17、1.

【分析】先利用圆周角定理的推论判断点C、D在同一个圆上，再根据圆周角定理得到NACD=27°,然后利用互余

计算NBCD的度数.

【详解】解：VZC=90n,

，点C在量角器所在的圆上

丁点。对应的刻度读数是54°,即44。。=54°,

/.ZACD=-ZAOD=21°,

2

/.ZBCZ）=90°-27°=1°.

故答案为1.

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.

18>m<2

【分析】根据反比例函数的性质可知，y随x的增大而增大则k知小于0,即m・2V0,解得m的范围即可.

【详解】•・•反比例函数y随x的增大而增大

Am-2<0

则m<2

【点睛】

本题考查了反比例函数>=七的性质，函数值y随x的增大而增大则k小于0,函数值y随x的增大而减小则k大于

x

0.

三、解答题（共78分）

19、（1）详见解析；（2）,

【分析】（1）分别用树状图和列表法表示所有可能的情况；

（2）既是中心对称图形，算式也正确的有C、D,然后根据（1）中的树状图或列表得出概率.

【详解】解：（1）树状图：图中共有12种不同结果.

ABCD

小/N/N小

BCDACDABDABC

列表：表中共有12种不同结果

(2)V在四张纸牌中，图形是中心对称图形且算式正确的只有C,。两张

21

・•・所求的概率为2=不二一.

126

【点睛】

本题考查求解概率，列表法和树状图法是常考的两种方法，需要熟练掌握.

20、(1)2;(2>-2.

【分析】(1)因为AB_LDE,求得CE的长，因为DE平分AO,求得CO的长，根据勾股定理求得。O的半径

(2)连结OF,根据S阴影=S度形-SAEOF•求得

【详解】解：(1)・・•直径AB_LDE

：.CE=-DE=>/3

2

TDE平分AO

：.CO=-AO=-OE

22

又・・・/OCE=90°

AZC£：O=30°

在RtACOE中，OE=2

，G)O的半径为2

(2)连结OF

E

在RtADCP中,

VZZ)PC=45°

•••ND=90,-45°=45°

，NEO=2/0=90”

,:S扇形ow"2z二n

**S阴影=乃—2

【点睛】

本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.也考查了扇形的面积公式、圆周角定理

和含30度的直角三角形三边的关系.

21、(1)BE=DGBE±DG；(2)成立，见解析；(3)厢和屈

【分析】(1)由题意通过证明ADCGNMCE,得到。用二力G,再通过等量代换，得到AEJL/X7：

(2)由题意利用全等三角形的判定证明ADCG=ABCE,得到BE=DG,再通过等量代换进而得到BEJ.OG；

(3)根据题意分E在线段AC上以及E在线段AC的延长线上两种情况进行分类讨论.

【详解】解：(1)•・•四边形ABCO和四边形£CGb都是正方形，

:.BC=CD,EC=CG,/BCD=4GCE=90°

AADCG^ABCE(SAS),

：.BE=DG；

又VA£)CG=ABCE；

:./BCD+/ECG=gx(900+90)=90;

:.BE上DG；

(2)如图：

图2

成立,

CD=CE

证明：\/DCG=/ECBnADCG"BCE(SAS),

CG=CB

・・・N1=N2,

，Zl+Z3=90%

又・.・N3-N4,Z2+Z4=90()

AZAOfi=90°,

即BELDG

(3)①如图，E在线段AC上，

•：DG=BE

AOE=EC-OC=3V2一-A/42+42=72»OB=-5D=-A/42+42=272，由勾股定理可知DG=BE=J16；

②如图，E在线段AC的延长线上，

•:DG=BE

工BD=AC=4垃，

；・OB=2应

；・0E=0C+CE=5O

在RtMiOE中

VBE=JOB2^OE2=屈

:,DG=BE=5.

故答案为：痴和A.

【点睛】

本题考查正方形的性质以及全等三角形，熟练掌握正方形的性质以及全等三角形的判定与性质是解题的关键.

2

22、（1）y=x-2x-3tD（l,-4）；（2）是直角三角形，理由见解析；（3）存在，（9,0）.

【分析】（1）已知了抛物线图象上的二点坐标.可用待定系数法求出该抛物线的解析式.进而可用配方法或公式法求

得顶点D的坐标.

（2）根据B、C、D的坐标，可求得4BCD三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可.

（3）假设存在符合条件的P点；首先连接AC,根据A、C的坐标及（2）题所得ABDC三边的比例关系，即可判断

出点O符合P点的要求，因此以P、A、C为顶点的三角形也必与ACOA相似，那么分别过A、C作线段AC的垂线,

这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP的长，也就得到了

点P的坐标.

【详解】（D设抛物线的解析式为），=ax1+bx+c.

由抛物线与y轴交于点。（0,-3）,可知c、=—3

即抛物线的解析式为y=ar2+bx-3

把A（—/,0）、8（3,0）代入

a-b-3=0

19。+3力-3=0

解得。=1,6=-2

，抛物线的解析式为y=V-2x-3

，顶点D的坐标为（1,Y）

（2）MCD是直角三角形.

过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F

在RfLBOC中,。8=3,。。=3

ABC2=OB2+OC2=18

在Rf,CDF中,DF=\,CF=OF-OC=4-3=\

ACD2=DF2+CF2=2

在RzBDE中，DE=4,BE=OB-OE=3—1=2

・•・BD2=DE2+BE2=20

:.BC2CD1=BD2

・・・ABC。是直角三角形.

⑶连接AC,根据两点的距离公式可得：CD=6,BC=3&BD=2瓜则有。。2+圆2=也＞,可得

QCOASQBCD,得符合条件的点为0（0,0）.

（1、

过A作期JLAC交y轴正半轴于《，可知RfACARsRfAcOAsRfABCD,求得符合条件的点为＜0,-

\3）

过C作C鸟_LAC交x轴正半轴于巴，可知R△鸟CAsRl△COAsRf△BCD,求得符合条件的点为鸟（9,0）

・,•符合条件的点有三个：£（0,0）,6（0,；）,8（9,0）.

【点睛】

本题考查了抛物线的综合问题，掌握抛物线的性质以及解法是解题的关键.

23、BC=(2()73-20)m

【分析】根据正切的定义求出根据等腰直角三角形的性质求出CD,结合图形计算，得到答案.

【详解】解：由题意知，PD=20,ZBPD=60°fZCPD=45°

BD

在RtAPBD中，tanZ.BPD=——,

PD

则BD=PD.tan/BPD=2()75，

在RlAPCD中，ZCPD=45°t

..CD=PD=20t

/.BC=BD-CD=2()73-20，

故答案为：(2()6-20)m.

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.

24、(1)100；(2)30,0.3；(3)1500人

【分析】(D用B组的人数除以B组的频率可以求得本次的样本容量；

(2)用样本容量XA组的频率可求出a的值，用C组的频数除以样本容量可求出b的值；

(3)用5000XA组的频率可求出在本次检测中达到“A(优秀广等级的学生人数.

【详解】解：(1)本次随机抽取的样本容量为：354-0.35=100,

故答案为：100;

(2)a=100x0.3=30,

b=304-100=0.3,

故答案为：30,0.3；

(3)5000x0.3=1500(人)，

答：达到“A(优秀)”等级的学生人数是1500人.

【点睛】

本题考查条形统计图、统计表、样本容量、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件,

利用数形结合的思想解答.

25、(1)见解析；(2)㊁"―立；(3)逐

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【分析】(1)连接OD,利用圆的半径相等及已知条件证明N1=N3,再根据直角三角形两锐角互余得到N1+N2=9O。,

再根据平角定义即可得到结论；

(2)连接。D,作OFLBD于F,根据NA=3O。及直角三角形的性质求出BD=2,根据垂径定理及三角函数求出,

OF,再根据30。角所对的直角边等于斜边的一半求出OB,即可利用扇形面积减去三角形的面积求出阴影部分的面积;

（3）先证明&4CZ>cA5c4求出AB,再根据勾股定理求出半径，即可求得AE的长.

【详解】（1）证明：连接。。，如图1所示：

•；OB=OD,

AZ3=ZB,

VZB=Zb

r.zi=Z3,

在以AACD中，Zl+Z2=90°,

:.Z4=180°-(Z2+Z3)=90°,

：.ODlADt

则AO为.。的切线;

(2)连接8,作。F_L8。于/，如图2所示：

•：OB=OD.N8=30。，・・・N3=NB=3O。，

：.ZDOB=\20°f

VZC=90°