沪教版-九年级数学-暑假同步讲义-第8讲-平面向量的线性运算(解析版)

平面向量的线性运算

内容分析

平面向量的线性运算是九年级数学上学期第一章第四节的内容.在八年级下

学期第三章第四节“平面向量及其加减运算”中，我们学习了平面向量的相关概

念和加减运算的法则，本节的学习需要建立在此义础上.本讲主要讲解实数与向

量相乘，以及向量的线性运算，重点是平面向量的有关概念及线性运算，难点是

在几何图形中对目标向量进行线性表示.

模块一：实数与向量相乘

⑥）知识精讲

1、平面向量的相关概念

（1）向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；

（2）向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）；

（3）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；

（4）相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量；

（5）互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量;

（6）平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量.

步同级年九

2、平面向量的加减法则

(1)几个向量用加的多边形法则；

(2)向量减法的三角形法则；

(3)向量加法的平行四边形法则.

3、实数与向量相乘的运算

设％是一个实数，"是向量，那么左与£相乘所得的积是一个向量，记作《

(I)如果AHO,且〃工6,那么ka的长度卜4=闲・忖；

Aa的方向:当〃>0时hi与a同方向；当―0时一与a反方向.

(2)如果"=0或一=0,那么〃=0.

4、实数与向量相乘的运算律

设〃?、〃为实数，则

(1)矶〃a)=(.钝〃”；

(2)(m+n)a=ma+na；

(3)ni^a+b^=ma+mb.

5、平行向量定理

如果向量B与非零向量Z平行，那么存在唯一的实数小，使B=〃/.

6、单位向量

单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.设"为单位向量，则付=1.

单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它任的方向不同.

对于任意非零向量)，与它同方向的单位向量记作片.

由实数与向量的乘积可知：a=„,ao-

2/18

例题解析

【例1】下列命题中的假命题是（）

（A）向量而与瓦？的长度相等

（B）两个相等向量若起点相同，则终点必相同

（C）只有零向量的长度等于0

（D）平行的单位向量都相等

【答案】D

【解析】D选项，平行的单位向量方向可以相同，此时是相等向量，也可以方向相反，此时

是相反向量.

【总结】此题主要考查向量的相关概念.

【例2】填空:

JB+BC=；JB+BC+CA=

AB+BC+BA=；~AE+~FC^~EF=

7B-AC+BC=；OA+~BC-OC=

【答案】AC；6；BC；AC；6：BA.

【解析】此题主要考查向量的加减法则，另外，加减法则之间可以转换，比如丽-衣=赤

是利用减法法则，筋头指向被减数，同时彳^-配=刀+0=0+您=赤，这样运算复

杂了，但也是一种思路.

【总结】此题主要考查向量的加减运算法则.

【例3】如图，已知平行四边形48CO,对角线4c与8D相交于点O.设刀=£,OB=b,

试用£、办表示下列向量;D._____C

O

AB

步同级年九

0C,0DfAB,沅，CD,DA.

【答案】OC=-a^Ob=^bxAB=b-ax~BC=-b-a^Cb=a-b^~DA=a+b.

【解析】利用平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分的性质来求解以上向

<:<5C=-0A=-a；OD=-OB=-b；AB=0B-O4=b-a；JC=0C-OB=-a-b；

CD=—AB=a—b：DA=—BC=a+b.

【总结】此题主要考查向量的加减运算法则.

【例4】已知非零向量求作-3a.

【答案】略

【解析】工£与Z方向相同，长度是£的1倍：-方方向与Z相反，长度是Z的3倍，作图

55

略.

【总结】此题主要考查如何根据已知向量求作所需的向量.

【例5】如图，在平行四边形力4CQ中，E、F、G、，分别为各边的中点，EG与FH相交

于点。设而=3,~AD=b,试用向量£或坂表示向量朝、OF,并写出图中与南相等

的向量.

【答案】OE=--a;dF=--b,与。3相等的向量有AED

22

Ed.AFxFBxDHxHC.

【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，E、F、G、卜囱别是各区中点，所位利用平行

四边形的判定定理可知图中的四个小四边形都是平行四边形，所以

OE==--AB=--a,OF=--AD=--b,与花相等的向量有的；万；丽；丽；玩五个.

2222

【例6】计算：（-3）x5）=：

7(0£+E)—4,叫+31

；(叫-扣-3)=

【答案】-\5ai6a+\ib+—b,

66

【解析】(1)(-3)x5a=-15a；

(2)7(a+b)—4(a-b)+3a=7a+7Z)-4a+4Z)+3a=64+11Z)；

(3)—(a+8)—(a—8)=-a4—b—a4—b=-u—b.

2V13、,223366

【总结】此题主要考查实数与向量相乘的运算定律，以及去括号法则.

【例7】用单位向量工表示下列向量：

（1）［与工方向相同，且长度为9；

（2）B与工方向相反，且长度为5；

（3）c与e方向相反，且长度为

【答案】a=9e；b=-5e：c=--e.

5

【解析】此题主要考查用单位向量）来表示已知向量，a=9e；b=-5e；c=~e.

【例8】已知非零向量求作（1）2a+^a；（2）^a-2a.

【答案】略

【解析】2£+4=号£方向与£相同，氏度是£的日倍：=-3；方向与£相反，长

33355

度是3的9倍，作图略.

5

【例9】如图，已知点。、£分别在A48C的边力8、上，DE//BC,AD=4,BD=7,试

用向量胫表示向量方元.

__4__

【答案】DE=—BC.

11

An4

【解析】・・・力。=4,80=7,J—

ABn

.DE_AD

XVDEHBC,

：,DE=—~BC.

11

步同级年九

【总结】此题主要是将向量与三角形一边平行线的性质结合起来，在用已知向最表示未知向

量时一定要注意方向是否相同.

【例10】下列说法中，正确的是（）

A.一个向量与零相乘，乘积为零

B.向量不能与无理数相乘

C.非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短

D.非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反

【答案】D

【解析】/选项向量与零相乘，结果是零向量；〃选项向量可以与任何实数相乘；C选项非

零向量乘以一个负数，方向与原向量相反，长度不确定.

【总结】此题主要考查实数与向量相乘的法则.

【例11]如图,在平行四边形中,E/分别是.48、力。的中点，且赤="，AE=b,

用。、6表示DB»其结果是___________.D际、---------------------f

【答案]DB=2ft-2a.[

【解析】丽=刀+方=2万+2次=2左一2万二2刃一21.AEB

【总结】此题主要考查向量相乘的加减法运算法则.

【例12】如果网=S,|得=3,那么网的取值范围是.

【答案】2T函48.

【解析】羽=馋-得，当0/4三点共线时，馋-西分别取最大值与最小值，OA,OB

同向时取最小值2,方向相反时取最大值8,所以2m而|48.

【总结】此题主要考查向量的模的概念.

【例13]计算：

3-

—a

2

6/18

(2)3(2工+5方)-2(3£叫；

(3)婢+1一3()一3呆

【答案】(1)--a--b；(2)17万；(3)a-b+-c.

222

【解析](1)[a-—b\--a=a-—b--a=-—a-—b；

2222

(2)3(2a+5b)-2(3a-b)=6a+\5b-6a+2b=\7b；

1/c-TJl/一)一173-37--73-

(3)—(2«+/?-3c)-3-b-c=a+-b—c—b-¥3c=a-b+-c.

2Vf)2222

【总结】此题主要考查向量与实数相乘，以及“合并同类项”.

【例14】设a、B是已知向量，解关于向量c的方程2c+3"盆=。.

7

【答案】c=-b--a.

72

【解析】解：V2c+3a--b=0»/.2c=-b-3a,c=—b-—a.

7772

【总结】此题主要是利用“解方程”的思想去用已知向量表示未知向量.

【例15】已知向量3、B满足土3—幺上=1(3。+2可，求证：向量［和B平行.

525

【答案】略

【解析】a+3ba-b

52

去分母：2(a+3b)-5(a-b)=2(3a+2b)

去括号：2a+6b-5a+5b=6a+4b

移项合并得：76=9a

系数化1：b=-a

所以，向量。和B平行.

【总结】此题主要是利用平行向后的概念来判定两个向最平行.

步同级年九

【例16】已知3i+2B=4L2a-b=5c,其中2工0,那么向量[与B是否平行？

【答案】平行.

,—•—•—•'-*―♦

【解析】联立方程组：竺解得：=[,所以，向量Z与8平行.

2a—b=5cb——c

【总结】此题主要是利用平行向量的概念来判定两个向量平行.

模块二：向量的线性运算

④)知识精讲

1、向量的线性运算

向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.

如23+5办、a-3b.2(3+35)、—(5)等，都是向量的线性运算.

一般来说，如果G、否是两个不平行的向量，"是平面内的一个向量，那么"可以

用£、坂表示，并且通常将其表达式整理成Z=+4的形式，其中x、y是实数.

2、向量的合成与分解

如果a、5是两个不平行的向量,c=ma+nb3〃、〃是实数)，那么向量c就是向

8/18

量抗。与病的合成；也可以说向量C分解为7M4、显两个向量，这时，向量〃?4与!"是

向量）分别在4、坂方向上的分向量，/〃£+〃'是向量"关于。、坂的分解式.

平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解.

例题解析

【例17]如图，已知非零向量工、E,以点O为起点，求作向量-2）+3B.

2

【答案】略’

【解析】作法（作图过程略）：以。为起点，作方=-2人/%

O•

以力为起点，作通=3坂，联结08.

2----»

___3_

则O8=-2a+±b,为所求作图形.b

2

【总结】本题主要是通过向量的线性运算表示出向量之后，再利用向量的加减运算法则来作

图.

【例18】计算：(1)坂］一5(2)+，坂］;(2)+

U2JI4)(33八62J

【答案】(1)--a--b；(2)-La-lb.

3426

【解析】(1)2(—a+—b—5(2a+—=-a+b-\Oa--b=--a--b：

U2JV4J3434

(33八62八36226

【总结】此题主要考查向量与实数相乘，以及“合并同类项”.

【例19】己知向量a、坂不平行，x、y是实数，xa+yb=3ya-（1+,求x、y的

值.

3

x=——

.Jx=3y解得：4

【答案】Vxa+yb=3ya-(1+,'L=_(l+x)

y=-4

【总结】本题主要考查相等向量的概念以及解二元一次方程组的方法.

步同级年九

【例20]如图，已知向量6i、砺和2、b,求作:

(1)向量Z分别在次、砺方向上的分向量;

(2)向量B分别在刀、砺方向上的分向量.

【答案】略/

【解析】作法(作图略)：//

(1)以Z的起点，分别作OB、0A的平行线OC、OD,饮♦的终点分物作OC、。。的平

行线，交于E、F两点，则砺，而是£在万，方方向上的分向量.

(2)作法同(1).

【总结】本题主要考杳求一个向量的分向量的方法.

【例21]若2(++=其中3、h、)为已知向量，求未知向量上

【答案】x=±a-U+^c.

2177

【解析】:？(.》一]〃-—(Z>+c-3xj+/)=0,/.2x+-x=—a-—b+—c.

[3,22322

【总结】本题考查解向量方程，思想类比普通方程的解法：去分母一去括号一移项-合并化

简一系数化I.

AD1

【例22]已知。为A48C内一点，点O、E分别在边N8和4C上，且^一=、DEHBC.设

DB2

OB=h»OC=c，试用B、c表示DE.

【答案】瓦=一*1

【解析】VBC=BO+OC=-b+c,

AT)1

又YDEHBC,—=-

DB2

BC

10/18

即瓦,而.

BC33

一1一1一

・•・DE=--b+-c.

33

【总结】本题主要是将向量与几何图形结合,借助三角形一边平行线的性质定理求解.向量.

【例23]如图，在平行四边形力8。中,“、义分别为。。、8c的中点，已知前7=而，

AN=n，试用m>n表示AB和AD.

D________M________r

—4r2-

AB=­n——m

【答案】33

——4一2一

AD=­m——n

33

B

AB+^-AD=n

_.„,._r3——AB+BN=AN

【解析r】由题意得，_—_，即2

AD+DM=AMADH—AB=m

2

解方程组，得33.

AD=-m--n

33

【总结】本题主要是将向量与几何图形结合,借助平行四边形的性质以及向量的加减法则来

表示向量.

【例24]如图，在A/18C中，。是48边的中点,E是8C延长线上一点，且8E=28C.

A

(1)用瓦L比表示向量力三；护y5c

(2)用■、而表示向量丽.

【答案】(1)~DE=--BA+2BC;(2)75B=-CB-

22

【解析】(1)\'DE=DB+BE,。是边的中点,且BE=2BCB.____!\

/.DE=--BA+2BC.

2

(2)t：DB=-AB,：.DB=-(AC+CB)=-(m5

222

【总结】平面向量的分解，关键点是将已知向量用向量的加减法则改写成分解式，再乘以相

关的系数来完成各个方向的分解.

步同级年九

【例25]如图，平行四边形48CQ中，点M、N是边OC、8c的中点，设万=£,AD=b,

分别求向量丽、丽关于)、B的分解式.

__1_1____1一

【答案】MN=-a--h-,BN=-b.

222

【解析】•・•四边形片是平行四边形,

;・而=反,而=灰.

乂•・•〃、N是边DC、4C的中点，/.W=MC+CW=-J5+(-l^D).

22

----]-1--1——1一

B|JW=-a--Z>,BN=-BC=-b.

2222

【总结】本题一方面考查向量在某个方向上的分向量的概念，另一方面与几何图形结合，利

用相关性质完成求解过程.

【例26】已知平行四边形"CO的对角线力C与〃。相交于点O,设方=2,OB=b,

分别求向最反、而、刀、而关于3、坂的分解式.

【答案】OC=-a；0D=-b；AB=-a+b：BC=-b-a.

【解析】本题考查平面向量的分解，结合平行四边形性质应用.

随堂检测

【习题I】以非零向量。为参照，分别说出向量3a、-2。、-5卜a)的方向和长度.

3

【答案】3a与。方向相同，长度是。的3倍；-ga与。方向相反，长度是。的1-5(-a)=5a

方向与。相同，长度是a的5倍.

【解析】本题主要考直共线向量的方向和大小问题.

12/18

【习题2】己知非零向量Z,a=-2k,b=5k,用Z表示其结果是.

【答案】b=--a.

2

_---|目5

［解析】a=-2k,b=5k,rzr=—.

Id2

又：筠4方向相反，b=--a.

2

【总结】本题一方面考查向显的线性运算，一方面考查了相反向量的概念，注意两个向量互

为相反向量时的符号关系.

【习题3】已知小平行的两个向量2、b,求作向量-23+5.

【答案】略

【解析】作法：以O为起点，作次=B，以。为起点，作砺=2）,则况-丽=BA=b-2a.

所以而为所求作图形.

【总结】本题主要考查如何根据已知向量求作未知向量.

【习题4】下列命题中，错误的个数是（）

①若£、b都是单位向量，则£=坂；

②若/〃=0或a=0,则〃?a=0；

③设〃1、n为实数，则（〃?+n）a=ma+na；

④任意非零向量与。同方向的单位向量是R，则。=4o.

（A）l个（B）2个（C）3个（D）4个

【答案】C

【解析】选项①：单位向量的方向是任意的；选项②：零与向量相乘的结果是零向量，而不

是零；选项④：只能判断方向，大小不确定，所以错误的个数有3个.

步同级年九

【总结】本题主要是考查与向量有关的概念，解题时要注意认真辨析.

【习题5】已知，在四边形中，AB=DC,且|刀卜口回，那么四边形45CD是

【答案】菱形.

【解析】•・•方=反，

,AB}\CD^AB=CD.

・•・四边形48CO是平行四边形.

乂•・［词=］砌，

：・AB=AD.

・•・四边形/8C。是菱形.

【总结】本题主要是根据向量之间的关系判断出向量所对应的线段的位置及数量关系，从而

得到几何图形的具体特征.

【习题6】设。、1、，,是向量，〃?、〃是实数，化简：

(1)m^na+b-c^-n(tna+b-c^+(n-m)(b-c^；

(2)2^mna+mb-/?<?)—m(2na+2h^+2nc.

【答案】(1)6：(2)0.

【解析】(1)去括号：=mna+mb-me-mna-nb+nc+(〃-〃?»+(in-n上

化简合并：Oa+0^=0；

(2)方法同上.

【总结】本题考查向量的化简合并，在去括号时要注意变号问题.

【习题7】M、N是A48C的一边8c上的两个三等分点，若丽=3,AC=b,用"，b

表示加.

【答案】当M点靠近4点时，砺=；5-；九当例点靠近C点时，丽=；3-；尻

【解析】本题考查向量的分解，此题容易漏解,M、N是A48C的一边8c上的两个三等分点,

有两种位置关系，当M点靠近8点时，而=U-L；当M点靠近C点时，MN=-a--b.

3333

【习题8】已知A48。的边8c的中点为。，设况=5,OB=b,分别求向量而、AC.

旅关于£、5的分解式.

【答案】方=1；%=-力辰=-血

【解析】AB=OB-OA=b-a；因为。为边5c的中点，所以方=-面，

\^~AC=OC-OA=-b-a；~BC=-2h.

【总结】本题主要考查向量分向量的相关作图及概念.

步同级年九

课后作业

【作业1】已知，向量石的方向是东南方向，且同=5,那么向量-29的方向是

____________：卜2矶=___________

【答案】西北方向；10.

【解析】本题考查共线向量的方向和大小.

【作业2】如图，在平行四边形48co中，E、F、G、〃分别为各边的中点.设M=

CH=h,试用3、B表示向量反、而和前.

【答案】反=一涕；丽=-22：而=2坂一2Z.

【解析】•・•，是CO中点，：,DC=-2CH=-2b.

,:E、F、G、”分别为平行四边形各边的中点,

・•・利用平行四边形的性质，可得：

EH=-2CG=-2a：lb=CD-CB=2b-2a.

【总结】本题主要是在平行四边形的背景下，利用平行四边形的相关性质用口知向量来表示

未知向量.

【作业3】下列说法正确的有（）个

（1）零向量是没有方向的向量；（2）零向量的方向是任意的；

（3）零向量与任意向量共线；（4）零向量只能与零向量共线.

（A）1（B）2（C）3（D）以上都不对

【答案】B

【解析】本题考查零向量到概念，零向量的方向是任意的，与任何向量共线.

【作业4】已知不平行的两个向量3、b,求作向量+2^j——

【答案】化简结果得年+汐作图略.

【解析】本题考查向量的合成，利用三角形法则或者平行四边形法则完成作图即可.

【作业5】下列结论中，正确的是()

(A)2004厘米长的有向线段不可以表示单位向量

(B)若荔是单位向量，则瓦5不是单位向量

(C)若O是直线/上一点，单位长度已选定，则/