沪科版数学九年级上册第 23 章单元作业设计

沪科版数学九年级上册第23章单元作业设计

单元作业设计

类型

教材解直角三角形

内容

第一课时锐角的三角函数-正切

第二课时锐角的三角函数-正弦与余弦

第三课时30*,6,的角的三角函数值

第四课时互余两角的三角函数关系

单元

第五课时一般锐角的三角函数值

第六课时解直角三角形

内容

第七课时解直角三角形的应用-仰角、俯角问题

第八课时解直角三角形的应用一方位角问题

第九课时解直角三角形的应用-坡度（坡角）问题

第十课时初高衔接一两个斜率公式

第十一课时单元复习小结

本章内容是三角学中最基础的内容，也是今后进一步学习三角学的必要基础.

教材在运用学习过的相似三角形知识的基础之上推出当直角三角形的锐角大小确

定后，直角三角形的两边之比为一定值，从而引入锐角三角函数的概念，进一步

强化了数形结合思想，且有利于数学知识间的串联、延伸.解直角三角形的应用

的知识在实际中应用比较广泛，本章首先从学生比较感兴趣的汽车爬坡能力引出

正切三角函数，也是生活中应用最多的三角函数，如山坡的坡度、物体的倾斜程

度等都是用正切来刻画的.类比正切的概念，进而引出正弦和余弦函数.教材中

运用直角三角形中的锐角三角函数的概念求出特殊角的三角函数值，可以计算含

教材

有特殊角的三角函数值得式子，或是由已知三角函数值求出对应的锐角.对于一

般的锐角三角函数值的计算问题，教材中详细介绍了运用计算器由锐角求三角函

分析

数值，及由三角函数值求锐角的方法，并适当地加强这方面计算能力的训练.解

直角三角形的应用题、教学活动与课题学习不仅巩固三角函数知识，还有利于培

养学生的空间想象能力，让学生通过对实物的观察、或是通过给出的条件，画出

对应的平面图形，教材提供了相应的训练，目的在于通过对锐角三角函数知识的

学习，着力培养学生的数学能力以及数形结合的思想.

本章重难点：

重点：锐角的三角函数的概念和直角三角形的解法

难点：锐角的三角函数的概念

单

元1、经历对现实生活中测量高度、宽度等活动，了解锐角三角函数的概念，能够正确

学

习

目运用正弦、余弦、正切的符号表示直角三角形中两边之比，熟记。,・，（角的各

标3456?

个三角函数值，并且会运用它们进行计算，会由特殊三角函数值求出角的度数.

2

2、能够利用计算器由已知锐角求出它的三角函数值，或由已知三角函数的值求出相

应的锐角.

3、理解直角三角形中的边与边的关系，角与角的关系，边与角的的关系，会运用勾

股定理、直角三角形的两锐角互余及锐角三角函数解直角三角形.

4、会运用解直角三角形的有关知识来解决某些简单的实际问题，特别是测量中锐角

三角函数知识的运用，培养学生解决实际问题的能力和在生活中应用数学的意识.

5、通过锐角三角函数及解直角三角形的学习，进一步认识和体会函数及函数的变化

与对应的思想，领悟数形结合的思想方法

1、前置性小研究作业目标

让学生根据自己的知识水平和生活经验进行尝试性学习，“以学定教”，让学

生带着问题走进课堂，提高课堂学习效率.

2、知识与技能巩固作业目标

这类题面向全体学生，目的主要在于把握学生对基础知识的掌握程度，了解学

生的知识与技能水平.能够熟练利用三角函数的概念求角的三角函数值以及解直角

单元

三角形.

3、能力发展作业目标

作业

这类题主要是检验学生对知识的灵活运用程度，由知识与技能到能力发展过渡，

让学生能够利用三角函数解决一些拐弯题、变式题甚至中考题，达到能够举一反三

目标

的目的.

4、素养提升作业目标

设置一些小组探究题、操作题、生活实践题等不同类型的题目，让学生体验生

活中处处有数学，让人人学有价值的数学，让不同的人在数学得到不同的发展.因此，

这类题的设置主要针对的是学优生，让他们能够在探究中提升数学学科素养，达到

真正的育人目标.

作业是课堂教学的延续，可以帮助学生预习、复习、巩固知识、训练技能、培

养学生的各种能力和创新意识，开发学生的学习潜能，帮助学生养成良好的学习习

惯，充分发挥作业的育人功能，落实“双减”政策，促进学生全面发展.我们将本单

元作业分为四类：

一、前置性小研究作业：从教材实际出发，设置一些简单、根本、开放性的问题，

让学生经历自主探究、操作、实践等过程，作为预习作业，为课堂小组交流展示归

单元

纳新知作准备，激发学生学习兴趣，发展学生探究问题和解决问题的能力，是进行

生本课堂的重要手段.

作业

二、知识与技能巩固作业：围绕本单元数学基本技能设计的知识与技能作业，根据

教材特点，设置面向全体学生的基础性作业，检验学生预习新知、接受新知的能力，

整体

也能够及时、有效地反馈学习效果.

三、能力发展作业：这是针对本单元知识灵活运用的反饿设置，是对基础知识的凝

设计

练与升华.根据数学新课程标准以及“双减”政策，合理、有效地设置试题，促进学

牛.能力的提高.

思路

四、素养提升作业：基于单元一体化考虑及让不同的人在数学上得到不同的发展，

在学习本单元各小节过程中，布置一些探究型、操作性、实践性等作业，让学生的

个性得到发展，素养得到提升.

四大类作业的设计，环环相扣，层层递进，将本单元的数学要素与人文要素融

为一体，实现数学与语文、物理等学科融合渗透，促进五育并举.

3

作业评价标准

自

\评价小教

我

师

\级别组

评

评

ABCD评

参照\

价

价

价

标准\

字迹欠工整，字迹潦草，

书写字迹整洁美观字迹工整

有涂改现象有多处涂改

主动探究并带积极探究思完成部分探未进行探究

前置性动小组成员参考问题，参究活动，未认活动，未参

小研究与探究，对问题与小组成员真思考，未积与小组交流

进行交流、分^?克、分析、极参与小组

析、归纳归纳活动交流

积极认真思考，积极思考并未全面思考，未思考，全

知识与技全部完成，正确完成，有少错误率较高面放弃

能巩固率高量错误

主动思考，全部主动思考和未全面思考，未思考，全

能力发展完成，正确率高完成,有少错误率较高面放弃，或

量错误思考部分但

错误率高

主动思考、完成主动思考完未全面完成，未思考,全

素养提升且正确率高成，有少量错误率高面放弃

错误

思维导图完全思维导图大思维导图参思维导图未

原创，单元知识部分原创，考笔记较多，做或照搬笔

呈现完整、简单元知识呈或单元知识记，单元知

明、扼要，积极现比较完呈现有缺漏，识呈现过分

收集典型错题整、清楚，未积极收集简单或复

和中考规题，主收集部分典典型错题和杂，未收集

单元小结动思考素养提型错题和中中考靓题，未典型错题和

升并带动小组考靓题，主认真思考素中考靓题，

成员讨论探究动思考素养养提升或未未思考素养

解决问题提升，参与积极参与小提升或未参

小组交流、组交流与小组交流

分析活动探究活动

卷面整洁，正确卷面整洁，卷面一般，错卷面不干

单元质率高有少量错误误率较高净，错误率

量检测高

4

第一课时锐角的三角函数-正切

一、前置性小研究：（可根据自己的实际选做一个）

活动一：【我当小记者】采访你居住小区的汽车车主，衡量汽车性能的重要指标是哪些？

哪个性能和本节学习的知识有关呢？

活动二：【我是小骑手】从我校食堂到教学楼有一个上坡，当你从食堂骑车上坡到教学楼，

感受一下，想一想斜坡怎样改变，骑车上来会更轻松？

【设计意图】本活动是预习作业，都是实践活动，让学生从实际生活中发现本节相关知识

如汽车的爬坡能力与坡度关联，从学牛骑车上坡体验坡度与哪些元素•有关，激发学生学习

本节知识的欲望，同时让学生从生活中体验数学与实际的联系，让学生知道用数学眼光看

世界，同时锻炼了学生的表达能力，交际能力，实践活动能力，发展核心素养.

二、知识与技能巩固（A类）（完成时间8至10分钟）

1、在RtZUa中，NC=90°,AC=2,BC=L则tan/1的值为（）

A.2B.3C.」D.i

ss

【作业分析】学生根据画图直接观察，两条直角边已知，代入正切函数公式计算即可。

【答案】选D

2、在RtZ\49冲，ZC=90°,AB=5,8。=3,则/解J正切值是（）

A.，B.-C.-D.-

4

【作业分析】先根据勾股定理求出N皮寸边即可解决问题

【答案】选C

3、小明把爷爷的放大镜放在直角三角板的一个锐角上面，则小明从放大镜里看到的锐角

的正切值与原来的正切值相比（）

A变大B变小C不变D不确定

【作业分析】只要锐角的大小不改变，三角函数值就不变

【答案】选C

4、在平面直角坐标系中，点徽标为（33）,且在与*轴正半轴的夹角为a,贝tana;

T!能分析】利用点的坐标与x轴，y轴的距离关系即可得

【答案】＜

5、从城关中学食堂到教学楼有一斜坡AB,坡度i=L3,小华沿坡面向上走了5nb则小

华沿竖直方向升高了m.

【作业分析】利用坡度为坡角的正切知坡角为30°,斜边为5m,则对边为2.5n

［答案］2.5

6、%向，某小型拦水坝的横截面是四边形ABCD,DC〃AB,AD为背水坡，其坡度为i=L5:l,

已知坝高为4.5m,则背水坡水平宽度AE为多少？.

6

【作业分析】由坡度定义及DEM.5m代入比例式即可求解

【答案】坡度i=L5:l

/.DE:AE=1.5:1,将DE=4.5m代入得

AE=3m

【设计意图】1至6题是必做题，重在考查正切、坡度、坡角的定义，利用定义进行基本

求边求角的运算，同时为后面解直角三角形及其应用奠定基础.

三、能力发展（B类）（完成时间8至10分钟）

7、如图△力比的顶点都在正方形网格格点上，则tanB的值为1

D.3

【作业分析】利用方格网中N〃所在的直角三角形直角边分别为1,3求解.

【答案】D

变式题：如图，每个小正方形边长均为1,A,B,C均为格点，则

tanZBAC=_____________

【作业分析】连接BC,利用方格网中勾股定理求出AABC三边，由三边满足勾股定理的逆

定理知NABO900,利用正切定义求解即可.

【答案】y

【设计意图】第7题及变式题为选做题，重在考查学生的数学学习素养，如运用转化思想、

类比的方法解决数学问题，同时考验学生学科知识综合运用能力，如解决方格网中勾股定

理及其逆定理、三角函数求值的综合问题，

四、素养提升（C类）（完成时间8至10分钟）

8、如图所示，在△川设，已知NBAC=120°,AB=4,△力比的面积为23,求tanB的值.

【作业分析】构造AB边上的高线CD,利用面积公式求出CD,再利用勾股定理求出AD,接

着利用正切定义求出tanB=」

5

【答案】作AB边上的高CD.

VAB=4,△/式的面积为23

：.-X4XCD=23,得CD=3

2

7

VZBAC=120°,.,.NCAD=180°-120°二60°

ZACD=30°AAC=2AD

设AD=x,AC=2x,在RtZXACD中X?+(3)2=(2X)2,解得x=l(负根舍去)

BD=5,tanB=-^

【设计意图】本题设计利用本节三角函数等知识，从直角三角形问题拓展到解决斜三角形

里面的求值问题，让学生通过探究体会将斜三角形问题转化到直角三角形问题，体现转化

数学思想，同时本题也考查学生运用学科综合知识解决问题的能力，如三角形面积公式、

直角三角形的相关性质定理等

【作业评价】

自我评价小组评价教师评价

书写

前置性小研究

知识与技能巩固

能力发展

素养提升

第二课时锐角的三角函数-正弦、余弦

一、前置性小研究

如图234,在说用A的一边任

点".过点H竹另一边的市线RC.

足.勺C.用刊RlZ\AHCz再任取

出点/竹R一边的旧”.

是为Q.得到另一个RIZXA外G....

惮.我.们可以珥到无数个直用三角

出由三箱形中.出用人的对功与郛

样的关系？

量一量，算一算，想一想：观察课本113面图23-4,测量△ABC,△AB£,aABC三边长

度，求出在这三个三角形中/篇边矮智的值，比较三个三角形中这两个比值有什么特点？

科边，斜边

由此活动你有什么猜想吗？

【设计意图】本活动通过动手操作，让学生从测量、求值、比较中猜想

“空警Z”，“空手%”几乎为定值(因测量有误差)，激发学生对本节新课的求知欲.

8

二、知识与技能巩固（A类）（完成时间5至8分钟）

1、已知在RtZXABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,则sinA的值是（）

/B」C.3D」

5543

【作业分析】利用正弦定义代入计算即可

【答案】选A

2、在RlZXABC中，ZB=90°,BC=3,sinA=-，则AC的长度为

【作业分析】由题意知BC:AO1:4,BC=3代入比例式可得AC=12

【答案】12

3、在4ABC中，AC=BC=1,AB=2,则sinA=,cosB=

【作业分析】利用勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，NC=90°,再利用正弦和余

弦的定义求解

【答案］5,

22~

4、如图，直线y=?x+5与x轴、y轴分别交于点A,B,则cos/BAO的值是（）

12

A—B—C-D-

【作业分析】先求出直线AB与x轴和y轴的交点坐标分别为A（-12,0）,B（0,5）得

0A=12,0B=5,故AB=13,由余弦定义即可得出答案为C

【答案】选C

【设计意图】1至4题为必做题，为巩固本节正弦、余弦的定义理解，利用正弦、余弦解

决基本三角函数求值问题，同时强化学生综合运用知识的能力，如勾股定理，一次函数性

质等综合运用.

三、能力发展（B类）（完成时间8至12分钟）

9

5、如图，菱形ABCD对角线AC,BD相交于点0,AC=16cm,菱形ABCD面积为96,试求/DAC

的三角函数值.

【作W分析】利用菱形ABCD面积与对角线的关系可求出BD,再利用菱形性质和勾股定理

求出苴角三角形△AOO三边，即可求出ND4C的三角函数俏

【答案】•..菱形面积为96,

・・・与C.盼96,将AC=16代入,得BD=12,

2

由菱形性质知

NAO/）=90°,AO=8,OD=6,由勾股定理知AD=10,

在RsAOQ中

sinZDAC="=3COSZDAC=-=-,tanZDAC=-=-

in<ioss4

6、如图，在四边形ABCD中，ZD=90°,CD=6,AD=8,AB=26,BC=24,则cosB=.

【作业分析】连接AC,由勾股定理知AC=10,计算得出AC2+BC2=AB2

故NACB=90°,cosB=BC:AB=—

13

【答案】-

13

【设计意图】5、6题为选做题，重在培养学生将四边形问题转化为含有直角三角形的问题，

如5题中菱形的对角线互相垂直得直角三角形，6题中连接对角线AC得出直角三角形，其

次考查了学科知识综合运用，如菱形的性质，勾股定理及其逆定理等知识综合运用.

四、素养提升（C类）（完成时间7至10分钟）

7、（规律探索与应用）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：

sin30°=-,cos300=—,则sin?30°+cos'300=;

22

",cos45°=

sin45°=)则sin'45°+cos'45°=

22

io

sin60°=亚，cos60°=-,则sirT^O。+cos'60°=；…

9.9

观察上述等式，猜想：对任意锐角A,都有sin为+cos2A=.

(1)你能利用已学知识证明你的猜想吗？若能，请给出证明；

(2)小华说：一个锐角的三角函数一定是正数，你觉得他说的对吗？为什么？

(3)已知NA为锐角且cosA=3结合(1)(2)求sinA的值.

5

【作业分析】(1)以锐角A构造印人八府二结合勾股定理和二角函数计算即可得出猜想结论

(2)小华说的对，利用锐角的三角函数定义数形结合即可知正确

(3)将cosA=孑弋入sin%+cos2A=1,结合(2)求得sinA=]

【答案】填空：1,1.1」

(1)以锐角A构造RS八8C,设NAN从NC对边分别为a.b,c

则sin?A+cos2Aq+二=/

由22+b2=c2得sin2A+oos24=l

(2)小华说的对.以锐角A构造RS43C,设N4N2NC对边分别为a,b,c,由sinAJ,

C

cosA=立知sinA,cosA均为正数.

c

(3)将cosA=9代入sin2/4+cos2A=1,

ol

得siir/1=—,由(2)知sinA>0,故sin4=^

【设计意图】本题为选做题，重在培养学生阅读与探究能力和解决问题的能力，通过本题

的探究让学生养成善于找规律，总结规律，验证规律并运用规律解决同类问题的良好思维

习惯.

【作业评价】

自我评价小组评价教师评价

书写

前置性小研究

知识与技能巩固

能力发展

素养提升

11

第三课时30°,45°,60°角的三角函数值

一、前置性小研究：

［玩转学具］拿出一副直角三角板，用刻度尺测量各边长度，算算各个锐角的三角函数，

分别等于多少？你有什么猜想呢？

【设计意图】通过本次活动让学生体会30°,45。，60°角与直角三角板的锐角紧密相连，

而且通过这种操作，强化学生认识到直角三角形从角到边的关系，也为本节课的新知引入

起到抛砖引玉的作用，激发学生学习兴趣.

二、知识与技能巩固（A类）（完成时间8至10分钟）

1、sin60°的值为（）

A.yB./C.1D.3

【作业分析】熟记特殊角的三角函数即可

【答案】选B

2、已知Na为锐角，且cosa则Na等于（）

A.30cB.45°C.60°D.90°

【作业分析】cos600=-

2

【答案】选C

3、在ZkABC中，ZA,ZB,ZC的对边分别是a,b,c,a二b二1,c=2,则NA的度数为（）

A.30cB.45°C.50°D.60°

【作业分析】

由勾股定理的逆定理判定aABC为直角三角形，计算出sinA］,故NA为45°

【答案】选B

4、计算：（D4cos'300-2sin60°・cos45°;

（2）sin300+ysin45°+|-3tan300|;

［作业分析］（1）原式二4X（二）2-2XJx--

7772

（2）原式.+.X.+3X3=1+3

【答案】（1）3—^㈡）1+3

【设计意图】1至4题为必做题，重在巩固本节基础知识，如熟记30°,45°,60°角的三

角函数值并且能利用这些函数值解决关于它们的综合运算，其次还要让学生通过此类题的

训练，知道锐角的三角函数和直角三角形性质紧密相连的关系.

三、能力发展（B类）（完成时间5至10分钟）

5、点M（-sin60°,-cos600）关于y轴对称的点的坐标是（）

12

EB.（4-I）

【作业分析】由特殊角三角函数值知关于y轴对称点横坐标相等，纵坐标

互为相反数即可.

【答案】选A

6、在4ABC中，已知NA,ZB都是锐角，IsinA-^|+（l-tanB）^

那么AABC的形状为.

【作业分析】由绝对值和平方具有非负性知sinA=£,tanB=l,因为NA,NB都是锐角，所

以NAn5°,NB=45°,ZC=90°,故AABC的形状为等腰直角三角形

【答案】等腰直角三角形

【设计意图】5至6题重视本节知识与其他章节知识的综合运用，如轴对称、绝对值和平

方的非负性组合求值等，难度有所提高，为选做题，鼓励学有余力的学生积极完成.

四、素养提升（C类）（完成时间5至10分钟）

7、数学拓展课程《玩转学具》课堂中，爱观察的小敏同学发现:一副三角板中，含45。角的

三角板的斜边与含30。角的三角板的长直角边相等.如图（1）,于是,爱动手操作的小敏同

学将这副二角板重新摆放如图（2〕,并由此模型和小组同学合作设计了一个问题：

如图，将一副三角板直角顶点重合叠放在一起，点B,C,D在同一直线上.若AB=4,求BD的长.

请你运用所学的数学知识解决这个问题.

图（1）图（2）图（3）

【作业分析】在RtZXABC中，由cosB=*AB=4得BC=22,由题意知CE=AB=4,

在RtACDE中，由tanE=y,CE=4,得CD=一，故BD=BC-CD=22-一

【答案】22-12

【设计意图】第7题为选做题，木题拿一副三角板拍照编制问题情景，这个问题的设计既

考查了本节特殊三角函数的运用，又渗透了素养教育，如动手操作能力，观察探究能力，

小组合作能力，数学建模思想等，并且培养学生善于提出问题和解决问题的能力.

13

【作业评价】

自我评价小组评价教师评价

书写

前置性小研究

知识与技能巩固

能力发展

素养提升

第四课时互余两角的三角函数关系

一、前置性小研究：

在一副三角板中，先测量出每条边的长度，然后再求出每个锐角的正弦与余弦的值，你有

什么发现？然后和你的同伴交流看看有没有相同的发现.

【设计意图】通过设置动手操作，培养学生爱动脑勤思考，解决实际问题的能力；动手量

一量，画一画，发展学生动手能力、小组合作能力，为新知的学习做铺垫，降低难度，激

发学习兴趣.

二、知识与技能巩固作业（A类）（完成时间：4至6分钟）

1、己知cos48°^5,则sin42°的值约为（）

A.：B,1C,1D.

【作业分析】根据互余两角三角函数的关系得出答案.

【答案】A

【设计意图】时一个具体角的运算让学生加深对新知的理解.

2、在Rt^ABC中，ZC=90°,若sinA—则cosB的值为（）

A.4B.立C.3D.1

222

【作业分析】根据互余两角三角函数的关系得出答案.

【答案】B

【设计意图】本题是对课本例题的改编，既可以简单模仿课本解法，又可以利用已学过的

特殊角的值来解决，这样可以验证新知的正确性，活跃了学生思维，给学生自主选择的空

间.

3、在’A8C中，NA,N3为锐角,且有sinA=cos8,则这个三角形是（）

A.等腰=角形R.直角=角形C.钝角=角形I）.锐角二角形

【作业分析】利用互余两角的三角函数关系sinA=cos（90°-NA）,来得出

ZA=90°-ZB.从而得出此三角形是直角三角形.

【答案】B

【设计意图】由三角函数值相等，正弦变成余弦得出角互余，是对性质的一种逆用，培养

学生反向思维能力.

14

1

4、已知NA是锐角，且sinA：,则cos(90°-ZA)=.

3

【作业分析】根据互余两角的三角函数关系可得cos(90°-/A)=sinA,即可求解.

1

【答案】3

【设计意图】把性质中的互余换成了数学式子，培养学生把文字语言变换成数学语言的能

力.

三、能力发展作业(B类)(完成时间：6至8分钟)

5、Rtz^ABC中，经C=90"，sinA=l,则tanB的值是()

A."B.1Q④D.g

【作业分析】根据30°的正弦值是J求出NA,直角三角形的性质求出NB,再根据60°

的正切值计算.

【答案】D

【设计意图】已知角和未知角互余，但三角函数涉及到了正切，对学牛.观察分析题目提出

了更高的要求，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.

6、若明尸是直角三角形的两个锐角，则喘ran誓的值为

【作业分析】根据三角函数的定义及互为余角的三角函数的关系得出.

［答案］0

【设了意图】本题考查互为余角的三角函数的关系，熟练运用定义进行推算是关键.考查

学生的观察能力与变形能力.

?2

7、计算：COS21°+COS22°+…+COS?880+COS289°(提示:sina+cosa=l)

【作业分析】将余弦化成余角的正弦，结合括号的提示，即可求出。

【答案】13(jt=C0S2l°+COS22°+-+COS;44°+COS245°+sin2440+-+sin22fl+sin2l"

=(sin2l°+cos2l0)+(sin220+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+cos2450

【设计意图】考查了运用互余两角的三角函数的关系进行简便计算，需要学生结合括号的

提示对三角函数由余弦化成正弦，在做题的过程中感受学习本节课知识点的必要性.

四、素养提升作业：(C类)(完成时间：6至8分钟)

8、(1)探究互余的两个锐角的正切值的关系；

(2)若a是锐角，tana•tan40°=1,则=；

(3)计算tanl。•tan20*tan3°...tan880*tan890的值：

(4)设NA、/B是RtAMC的两个锐角，则关于x的二次方程VianA-2r+lanB=。的根的

情况为.

15

【作业分析】(1)由正切函数的定义得5A•痴B==.£=1,总结成文字规律即可；

bn

(2)由上一题的结论可知/Q与40°互余，即Na=90°-40°=50°

(3)tanl0*tan20......tan880*tan890

=(tanl°・tan890)(tan20・tan88°)…(tan440*tan46°)*tan45°

=1.

(4)由NA、NB为即’48。的两个锐角，得“滔•心〃B=l,再根据根的判别式代入系数即可求

出.

【答案】(1)互余的两个锐角的正切值乘积为1(2)50(3)1(4)有两个相等的实数根

【设计意图】素养提升题围绕“应用实践、迁移创新”，让学生结合以前知识,在课堂学

习活动的基础上，进一步探究互余的锐角的正切值之间的关系，对知识的学习进行了迁移，

并对得到的结论进行了运用，真正做到学以致用，能有效地激发学生的学习兴趣和小组之

间的交流与合作，提升学生的综合素养.

【作业评价】

自我评价小组评价教师评价

书写

前置性小研究

知识与技能巩固

能力发展

素养提升

第五课时一般锐角的三角函数值

一、前置性小研究：

用刻度尺和量角器，作出RtA45C使NC=90。，NA=40°g

(1)用刻度尺测量得NA的对边BC=斜边AB=__________一一一二|

(2)算出比值BC_，即$加4。.=-----

ABAC

(3)和同伴交流所得的结果是否一样？

【设计意图】通过设置动手操作，培养学生动手解决实际问题的能力；动手量一量，画

一画，发展学生动手能力、小组合作能力，在和同伴交流中可能出现答案不一样的情况，

也就是出现了误差，这也为使用计算器求三角函数值提供了必然性，培养数学答题的严谨

性.

二、知识与技能巩固作业(A类)(完成时间：4至6分钟)

1、用计算器求sin50.的值，按键顺序是()

A.b|o|sin[=]B.5E03c.EnEEHD.瓦定向EI亚[

【作业分析】由学生实际操作可得出答案.

【答案】B

2、利用计算器计算sin63052,41〃的值.(精确到0.01)

16

【作业分析】

竺必丝角度4Mmsflg

MS下列里字依次按It：

回回回圆回回回日

显示结果为0.897859012.所以sin63°52,41〃^0.90.

【答案】0.90

【设计意图】题1,2都考查了学生用计算器求一般锐角的三角函数值的方法，题1中角的

单位是度，题2中的角涉及到了度分秒的变换，题2对学生要求更高.

3、如果已知cosA=0.9816,运用计算器计算NA=（精确到1。）

【作业分析】由学生实际操作可得出答案.

［答案］11。

4、’宝段时间内长江堤岸比江面高10m,汽车要想渡江需要行驶40m长的斜道，如图所示,

我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（）

A.|2ndFsin~0.25=B.kin2ndF0・25=

C.sin0-25=D.bndFcos"0・25=

［作业分析】siM=［；=：：=0.25,所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为

AC40

面“由"25二.

【答案】A

【设计意图】题3,4都考查了已知三角函数值用计算器求锐角的方法.题3直接考查了用计

算器求角的方法，强化学生基础知识的掌握.题4是在一个具体情境中设置的问题，考查学

生把生活情境中寻找数学条件的能力.

三、能力发展作业：（B类）（完成时间：8至10分钟）

5、下列式子正确的是（）

A.sin500=cos51°B.cos50°>cos36°C.sin570<cos32°D.s:n47°>cos32°

【作业分析】用计算器求出每个三角函数的值再进行大小比较即可.也可以化成同名的三角

函数再根据函数值随着角度变化的规律解题.

［答案］

【卷计意C图】本题考查的是进行三角函数值的大小比较的问题，本题可以采用多种方法解

题，可以使用计算器求解则能进一步锻炼学生使用计算器求函数值的能力，也可以先化成

同名三角函数再根据函数值随着隹度变化的规律解题.可以在做完之后学生交流做法，既

能锻炼学生表达能力，提高积极性，也能让学生体会i题多解的思考方法.

4

6、在RtAABC中,NC=90。，若ian8=w,则锐角NB满足（）

A.00<N"30°B.30°<ZZ?<45°C.450<Z«<60°D.60°<ZB<90°

【作业分析】可以用计算器求出NB的值得出范围，也可以由随着角度变大正切值也变大

的规律得出.

【答案】B

7、若锐角a满足sin（800-3a）>sina,则a的取值范围是

【作业分析】由随着角度变大，正弦切值而变大的规律得出0°<a<80°-3a,解出不等式即

可.

【答案】0°<a<20°

17

【设计意图】题6,7都是考查由三角函数值求锐角取值范围的题型.题6考查的是正切函数

值随角度变化的规律.题7考查的是正弦函数值随角度变化的规律,本题是题5的逆用.

8、已知：如图，小明家在C处，AB为园林步行街所在的位置，由于有建筑物的遮挡，小明

只能从两侧进入.己知AB两处的距离为8km,AC两处的距离为9km,AC与AB夹角为48°.

求：（1）假设遮挡的建筑物全部被拆掉，那么小明家离步行街最近的距离约为多长（精确到

0.01km）;

⑵若小明站在点B处，则此时小明和家的连线与步行街的夹角约为多大.（精确到1'）.

【作业分析】先构造直角三角形再运用三角函数的知识得出表达式，最后运用计算器可以

求出.

【答案】⑴作A8边上的高垂足为

•.•在RtAACH中,sinA=，,C"=4CsinA=9sin480*.69km

AC

答：.小明家离步行街最近的距离约为6.69km

RH

(2)•・•在Rl^ACH中,cos4=,/.AWMCcosA=9cos48°

AC

CHCH

，在中,lanB=然:"3.382・•・/氏73。32'.

BH-AU-BH

答：小明和家的连线与步行街的夹角约为73。32：

【设计意图】这是一个实际应用的问题，需要将文字题需变成几何问题，考查学生理解题

目的能力，在问题处理过程中涉及到等式变形，用计算器求三角函数值，进一步巩固新知.

四、素养提升作业（C类）（完成时间：6至8分钟）

9、（1）在探究了余弦值随着锐角的变大而减小的规律后，小明发现了若a,B,a+B都

是锐角，cosa+cosB与cos（a+B）的大小关系，你也发现了吗？写出结论并说明理

由.

（2）当余弦换成正弦时，还有类似规律吗？请说明理由.（提示：验证时可借助提示图）

【作业分析】可以先举出几种具体带的例子猜想规律，再根据三角函数的定义进行验证.

【答奚】（1）cosa+cosB>cos（a+B）

Va<a+P,随着角度变大余弦值变小

cosa>cos(a+B)

故cosa+cosB>cos(a+B)

(2)猜想:sina+sin3>sin(a+p).

验证：Ysina+sinB=：：+：；,sin(a+B)=：：,

VOA>OB..-.BC>BC,••・AB+BC>AB+BC=AB+BC

OBOAOAOBOAOAOA

•・・AB+BC>AE.JB£"：,

sina+sinp>sin（a+p）.

【设计意图】本题考杳了学生探究新知的能力，体会由特殊到一般的探究方法，猜想不一

定成立，还需要验证，让学生感受数学探究过程中的严谨性，同时学生思维、演算能力得

到提升；在问题解决的过程中，促使学生方法的形成和核心素养的融合发展.

18

【作业评价】

自我评价小组评价教师评价

书写

前置性小研究

知识与技能巩固

能力发展

素养提升

第六课时解直角三角形

一、前置性小研究：

画一个RlZXABC,ZC=90°,想一想两锐角有什么关系，三边有什么关系呢？如果知道一

角一边，你能求出哪些元素呢？

【设计意图】同学们自主探究，小组合作交流，既增加学生的感情•，又锻炼学生间团结协

作，以及动手能力.让每位同学都参与进来，快乐中学习.

一、知识与技能巩固（A类）（完成时间4至6分钟）

1、在应式中，Zr=90°,a、b、。分别是乙4、NB、N儆对边，根据下列条件，

解这个直角三角形.

（1）N作60°,a=4；（2）a=l,〃=&.

【作叱分析】在放中，根据一角一边或两边，可以求出其他元素。

【答案】1、（1）根据/。=90°,/庐60°得到/4二30°,根据a=4,用正弦求出c二8,用

余弦求出b=43；（2）根据N490°a=l,〃=/，求出c=2,用正弦、余弦定义求出

Z^°,ZA=30°.

2、己知/力为锐角，且sin4=与,那么/力度数是多少？

【作业分析】根据sinA=当,得到N4=45°

【答案】ZA=45°

【设计意图】A类题面向全体学生，检验学生对基础知识的掌握程度，反馈学习效果，关

注全体学生特别是学困生的知识与技能水平.

三、能力发展作业（B类）（完成时间10至15分钟）

1、如图所示的是一段国家级旅游圣地安徽黄山云谷索道的示意图.已知力、〃两点间的距

离为2666米，/BAC=a,则缆车从1点到8点上升的高度（即比的长）为（）

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A・2666sina米B.勤…米C.2666cos。米D,鬻米

【作业分析】根据sin"置求解.

【答案】A

【设计意图】本题是一题研究测量索道上升高度问题，在直角三角形中，知道一边和一角，

可以求其他边和角，本题是代公式巩固基础题，索道是学生非常喜欢的话题，每位同学都

喜欢去景点游玩，放松一下学习的压力和辛苦，关键坐在缆车上，既刺激舒服，又能感受

一览众山小，看到优美的风景，别有一番风味.

2、下图是某游乐场一山顶滑梯的高为4G6次，滑梯的坡角为30°,那么滑梯长AC为

()米

【作业分析】根据sinA=多求解.

【答案】12

【设计意图】本题是电梯问题，去商城坐电梯是我们生活中常见的事，研究电梯模型是数

学中一类题型.通过本题让学生熟练掌握锐角三角函数的定义.

3、长征一号火箭于1965年开始研制.1970年4月24日，首次将中国第一颗人造地球卫星

一东方红一号成功送入太空.该火箭共进行两次卫星发射，成功率100机第二次发射时间

是1971年，宸撼人心.当长征一号火箭从地面到达点力处时，在P处测得力点的仰角NDPA

为30。且力与融点的距离为2160千米，它沿铅垂线上升100秒后到达8处,此时在P处

测得5点的仰角NQP8为45。，求长征一号火箭从/I处到〃处的平均速度.结果精确到IWs,

取6=1乃2,力=1.414)

20

【作业分析】根据在夕处测得4点的仰角/。以为30。且力与儆点的距离为6千米，可以

求出PQ的长，再根据此时在月处测得5点的仰角NDP8为45。，即△BDP为等腰直角三角形，

可以间接求出的长，再利用平均速度的计算公式即可求解.

【答案】7900m/s

【设计意图】B类题注重学生对知识的变式（灵活）应用能力，是对知识掌握程度的一次

升华.题目的选择，题型的设置向中等生倾斜.主要考查了解直角三角形的应用，解题的关

键是：掌握仰角俯角的定义.长征一号火箭成功发射，震撼人心.科技是第一生产力，每

位学生都有一个科技梦，每一个科技都是从测量收集计算开始的，学好数理化，学到科技

走天下，培养学生的发散思维、开拓进取的精神.

四、素养提升（C类）（完成时间10至15分钟）

数学小组合作探究，用面积法来证明:在锐角AABC中，NA对边为a,NB对边为b,

abc

NC对边为c,有

sinAsinBsine

活动一：同学们能不能用三角形面积公式，结合三角函数用一角和两边来表示三角形的面

积呢？能写出三种表示形式吗？

活动二：同学们能用的，通则士士:吗?小组合作探讨试试看.

【学以致用】

根据上面得到的公式求下列各题

1、在锐角中，AB=2,AC=3,ZA=30°,三角形的面积是多少呢？

2、在锐角△ABC中，BC=-J2,ZA=60°ZB=45°,求AC.

【作业分析】活动一、二：构造三用形三边的高线，用三角函数表示三边上的高，再用面

积相等，变形即可得白三三

KinXMBRcinf

【学以致用】1、根据上面公式，5-诋=上产，得到S“BC=3.

与=看，得到八3一.

tin.4aMAunC

【答案】活动一、二：过B作BD_LAC,根据NA和AB长为c得到高BD=csinA所以S,，ABC=*,同