两个相似三角形的判定 浙教版初中数学九年级上册同步练习（含详细答案解析）

4.4两个三角形相似的判定浙教版初中数学九年级上册同步练习

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

I.如图，点P是等腰的腰片B上的一点，过点P作直线（不与直线48重合）截△48C,使截得的三角形

与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有（）

A.2条B.3条C.4条D.5条

3.如图，在正方形48co中，点E是CO边上一点，连接力E并延长至点儿使=连接BF交CO于点

G,若。E=l,BF=26,则正方形j8C0的边长为（）

A.6B.10C.12D.13

4.如图，在△48C中，D.E为边的三等分点，EF//DG//AC,点”为与DG

的交点.若AC=9,则。，为（）

A.1

B.2

D.3

5.如图，点P在△48。的边AC上，要判断△力AC8,添加一个条件，不正确的是（）

B./.APB=Z.ABC

nABAC

D•而=而

6.如图，在AABC中，D、E分别是A8和4C的中点，S^^BCED=15,则=（）

A

A.30B.25C.22.5D.20

7.在△力BC中，44C8=90°,AC=6,BC=8,点。是平面上一点，且CD=4,连接力。、BD,则下列说

法正确的是（）

A.,4。长度的最大值是9B.\AD+8。的最小值是

C.LCBD=30°D.△力8。面积的最大值是40

8.如图，矩形力BCD,AB=6,8。=3,点E是边48上的动点，点F是射线8c上

的动点，且8F=2AE,连接4F,CE.若gAF+Cf=m,则m的最小值为（）

A.3/2B.3/5C.6/2D.6/5

9.如图，在正方形力8C。中，M为AB的中点，以CM为一-边作正方形连接AF交8C于G,交CM于

H,连接8立则下列结论中：①8F=EF；②8M=28G；③CG=38G；④力F=5GH，正确的是【】

A.①②③B.①②©C.①③④D.②③④

10.如图，在△力8C中，乙4=78°,AB=4,AC=6,将△A8C沿图不中的虚线剪开，剪卜的阴影三角形

与原三角形不相似的是（）

A

A

11.如图，在中，Z.A=90°,AB=AC,E是的中点,连接BE,过点E作ED1BE交BC于点

D,若AEOC的面积为6,则△A8C的面积为（）

A

BDC

16.如图，在矩形48CD中，点E在48边上，把△8CE沿直线CE对折，使点B落在对角线/C上的点F处，连

接DF.若点E、八。在同一条直线上，若AE=2,则FD=,BE=.

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题8分）

如图，4c是。。的直径，弦80交/C于点£

⑴求证：AADEs^BCE；

（2）若力=AE-4C,求证：CD=CB.

18.（本小题8分）

如图，已知*煞黄求证:AABCS&DBE.

19.（本小题8分）

如图，在△48C中，点0、E分别在48、AC.t,DE.BC的延长线相交于点F,且EF•DF=CF•8F.求证:

△CABs△DAE.

DB

20.(本小题8分)

如图，在四边形A3co中，力C平分4BAO,LADC=Z.ACB=90%E为A8的中点，AC与OE交干点F.

(2)若AC=O,48=2,求笨的值.

21.(本小题8分)

在么A8C中，AB=AC,。、E分别是BC、A8的点，且4ADE=iC.

(1)求证：〉ACDs〉DBE；

(2)求证：4BE•AC<BC2.

22.(本小题8分)

已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BELAP,14P.垂足分别是点E、F.

(1)求证：EF=AE-BEx

（2）联结BF,若祭=K，求证：EF=EP.

23.（本小题8分）

校园内有一块三角形空地（如图中的△/BC）,经测量BC=8米，边8c上的高4。=6米.某综合实践小组要

在这块空地上规划出一个区域（如图中的△£1「/））种植月季花，其余部分种植牡丹花.根据设计要求，点

E,E分别在边A8,AC上，HEE//8C.己知种植月季花和牡丹花每平方米分别需要50元、80元.设=

x,尸的面积为S.

（1）求S关于％的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）种植月季花和牡丹花的总费用是否存在最小值？若存在，求出最小值：若不存在，说明理由.

24.（本小题8分）

如图.在△48C中.AB=4,。是上的一点（不与点48重合），过点。作OE〃BC,交力。于点E.连接

DC,设△48。的面积为S,aOEC的面积为S'.

（1）当。是AB的中点时，直接写出q=

（2）若4。=%,3=y,求y关于％的函数关系式以及自变量x的取值范围.

BC

25.(本小题8分)

已知点C为aABC和△(?/)£的公共顶点，将ZiCDE绕点。顺时针旋转a(0。va<360。)，连接BD,AE.

(1)问题发现：如图1所示，若△力BC和ACDE均为等边三角形，则线段BD与线段4E的数量关系是;

(2)类比探究：如图2所示，若4力BC=/EDC=90。，Z.ACB=LECD=60°,其他条件不变，请写出线段

8。与线段力E的数量关系，并说明理由；

(3)拓展应用：如图3所示，若，8AC=NDEC=90°,AB=AC,CE=DE,BC=2CD=4/2,当点8,

D,E三点共线时，求力E的长.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查相似三角形的判定的运用.根据已知及相似三角形的判定作辅助线即可求得这样的直线有几条.

【解答】

解：(1)作乙=

Z.A=Z.A,

•••△i4Pos△ACB,

(2)作PE〃8C,

APE^LABC,

(3)作4BPF=ZC,

•••=z_B,

•••△FBPs《ABC,

(4)作PG〃心

PBGs^ABC,

所以共4条，

故选C.

2.【答案】D

【解略

3.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的有关知识，先根据正方形的性质

得到乙。二90。，AB=DC=BC=AD,DC//AB,然后利用相似三角形的判定与性质，得到BG=13,

EG=\AB,进而求出CG,再利用勾股定理求解即可.

【解答】

解：•••四边形力BCD为正方形，

.•./C=90。，AB=DC=BC=AD,DC//AB,

-：EF=AE,EF+AE=AF,

.-.EF=^AF,

vDC//AB,

•••△FEGFAB

.EG_PG_EF_1

'而=丽=而=2'

/.EG=\AB,FG=1x26=13,

BG=BF-FG=26—13=13.

•••DE=1,

CG=CD-DE-EG=AB-~\AB=^AB-1,

在RtABCG中，BC2+CG2=BG2,

AB2+（^AB-l）2=132,

解得=12（负值不合题意，舍去）

则正方形力BCD的边长为12

4.【答案】C

【解析】解：•・•/）、E为边48的三等分点，EF//DG//AC,

•••BE=DE=AD,BF=GF=CG,AH=HF,

：.AB=3BE,。”是的中位线，

DH=；",

VEF//AC,

.*.△BEFs>BACy

EFBEunEF1

;而=而'即丁=§'

解得:EF=3,

...OH=/1F=1界33=/

故选：C.

依据。”是△AEF的中位线，即可得出再根据△BEFSABAC,即可得到EF的长，进而得出

。，的长.

本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解

题的关键.

5.【答案】D

【解析】【分析】

此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键.分别利用相似三角形的判定方法判断得

出即可.

【解答】

解：4当=时，又・.・4力=2力，.必力82644。8,故此选项不符合题意；

8.当ZAPB=448C时，又：4/1=24,2\＞48「54力。8,故此选项不符合题意；

心当舞=皆时，又•••〃="•••△ABPSMCB,故此选项不符合题意；

D添加照=若，无法得到A/lBPs△4C8,故此选项符合题意.

orCo

故选。.

6.【答案】0

【解析】【分析】

本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理.

由。、E分别是4B、4C的中点，可得DE〃BC、DE=\BC,^LADE^^ABC,2匹=(某＞=］即

乙3Azi8cBL4

可得到答案.

【解答】

解：•••£＞、E分别是48、4c的中点,

ADE//BC,DE=\BC,

.*.△ADE^L,ABC,

,=(")2=J,

S"8cBC4

:•SAADE：S四边形网口二1：3,

•••S四边形BCED=15,

S&ADE=5,SXABC=5x4=20.

故选。.

7.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查点与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识，难度较

大,由题知，点。的运动轨迹是一个圆，当。点在/1C的延长线时，力。的长度最大，可判断4在£4上截

CE=ICD,证明△/COS^OCE,得到£。=［力。，当E、。、B三点共线时，,4。+8。取得最小值，长

度为EB,利用勾股定理求出EB可判断8；根据NCBO不是固定值可判断C；过圆心C作CFJ_48于点F,延

长FC交圆于点D,则此时△480的面积取得最大值，求出此时面积可判断D.

【解答】

解：由题知，点。的运动轨迹是一个圆.

对于选项A.如卜图：

当。点在AC的延长线时，A。的长度最大，值为10.

故A不正确；

对「选项8如下图：

A

在C4I-.SCE=|CD,

则在△力。。和4OCE中，

(竺_££_3

DC=EC=2

y^ACD=乙DCE

'.^ACD^^DCE(SAS)

2

­.ED=^AD,

o

当E、D、8三点共线时，|A/)+BD取得最小值，长度为EB,

EB=VCE2+CB2=J(|)2+82=

故B正确；

对于选项C.因为点。的运动轨迹为圆，々C8D不是固定值，

故C不正确；

对丁选项D如下图：

A

过圆心C作CF148于点尸，延长FC交圆于点D,则此时△A3。的面枳取得最大值.

vAC=6.BC=8,

AB=10>

根据S-8c=^ACXBC=^ABXCF

得C/=4.8,

进而DF=8.8,

所以£u0小..%〃乂/〃“，

故D不正确.

8.【答案】C

【解析】解：连接DE，如图：

:嚅=整=3乙ABF=LDAE=90°,

ADAE2

ABFs〉DAE,

.DE_AD_1

••1--—•

AFAB2

］：AF+CE=OE+CE,

延长ZM至点D',使4D'=/1D,连接DE,则DE=D'E,

:.DE+CE=D'E+CE=m,

.•.兰点E为CD'与AB的交点时，m取最小值，此时

?n=CD'=J(帅/+CD?=J(2x3尸+62=6/2

即取的最小值为6/2，

故选：C.

本题的思路是先根据两条边对应成比例并且夹角相等证明三角形相似，将;4尸转化为OE,然后做OE关于

48的对称线段D'E,结论自然可得.

本题考查了矩形的性质，掌握三角形相似的性质是解题的关键.

9.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查正方形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和

性质，平行四边形的判定和性质，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是关键，过由F作FN1BC于

N,先根据正方形的性质利用44s证明△FCN三4CMB得GV=BM,FN=BC,再根据中点定义证明fN垂

直平分根据线段垂直平分线的定义即可判定①正确；连接4N,根据对边平行且相等的三角形是平行

四边形证明四边形4N尸8是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可判定故②正确；根据BG=GN=

：BN,CN=^BC,得8G=；BC,CG=\BC,即可判定故③正确；过点G作GP〃/IB交CM于尸，证明△

乙乙*1*1

CGPfCBM,根据相似三角形的性质得GP=*BM,证明△“GPSA/MM,得端=果=不设GH=

3k,则/1H=4K,力尸=24G=14K即可判定④错误.

【解答】

解：如图，过点尸作FN1BC于N,

•・•匹边形4BC0、CMEF是正方形,

：•£MCF=Z.DCB=90°,CM=CF,

:.Z.MCB+乙FCB=90°,Z.FCB+乙CFN=90°,

•••iMCB=乙CFN,

FCNCMB(AAS)

CN=BM,FN=BC

・••M为力8的中点，

:.BM=^AB=gBC,

CN=^BC,

•••FN垂直平分。氏

:.FC=FB,

vFC=EF,

BF=EF,故①正确；

连接4V,

•••ZF/VF=Z-ABC=90°,

:.AB//FN,

又♦；FN=BC,BC=AB,

：.FN=AB,

匹边形AN尸3是平行四边形，

...BG=GN/BN=；BM,

：.BM=2BG,故②正确；

BG=GN=；BN,CN=匆C,

I3

BG=^BC,CG=^BC,

44

：.CG=3BG,故③正确;

过点G作GP〃4B交CM于P,

CGPCBM9

■GP_CG_3

''BM=CB=4f

3

GP=7M,

4

vGP//AB

.*.△HGP-△HAM,

GHGP3

AHAM4

.•.设GH=3k,则力H=4K,

AG=GH+AH=7K,

:.AF=2AG=14K,

AF=AF=^-GH,故④错误.

综上所述正确的是①②③.

故选人.

10.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键.

根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.

【解答】

解：在选项4、B中，阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，则两三角形相似，故4、B选项不符合

题意；

在C中，两三角形的对应边不成比例，则两三角形不相似，故C选项符合题意；

在D中，两三角形对应边成比例且夹角相等，则两三角形相似，故。选项不符合题意.

故选C.

11.【答案】D

【解析】【分析】

本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理以及三角形的面积.

过点E作£尸18。于F,先求出乙。=45°,设AB=AC=4%,则4E=CE=2%,利用勾股定理求

出EF,8厂的长，证明rEs/EFD,求出进而得到BC=6CD,则以人8c=^=^SDE=

•JBCEAC

72.

【解答】

解：如图所示，过点E作KF1BC于巴

•••在Rt/L48c中，4A=90°,AB=AC,

:.LC=45°,

设48=AC=4x,

•••E是4。的中点，

AE=CE=2x,

2222

•.BE=AB+AE=20xt

...EF=CF=^CE=g，

•••BF=VBE2-EF2=3/2x»BC=4/2x.

BE1DE,

乙FEB十乙FBE=90°=乙FEB十乙FED,

:.乙FBE=乙FED,

又；乙BFE=乙EFD=90°,

二ABFE^AEFD,

，更=空，即登=3,

EFDF>f2xDF

小厂\f-2x

•••DF=二一，

CD=CF-FD=

:.BC=6c0,

••・△EDC的面积为6,

SHBCE=6S&EDC=36,

•••E是AC的中点，

^ABC=2sABCE-72•

12.【答案】A

【脩析】解：•••四边形力8C。是正方形，

乙B=乙BCD=90°,AB=BC=CD=2/2,

•・•点E、?分别是边48、BC的中点，

BE=^AB,CF=^BC,

:.BE=CF=72,

(BE=CF

在和dOCT中，=/.DCF=90°

(BC=CD

；.ACBE三ADCF(SAS)

CE=DF=J(2/1)2+(/2)2=AHO.

•••点6、〃分别是EC、尸。的中点，

...HF=CG=学.

由ABECg&CFO知乙BCE=乙CDF,

•:乙CDF+乙CFD=90°,

Z.CFD+乙BCE=90°,

Z.FOC=90°,

CE1DF.

乙FCD=90°,

△FOCsxFCD,

OF_O£_F£

FC=CD='FDf

OF_OC__/2

71=2/1=f

•••GG=GC-OC=笔，OH=HF-OF=需

；•GH=VOG2+OH2=J（*）2+（察）2=1.

故选:A.

利用正方形的性质和勾股定理求得CE=DF=/10,利用全等三角形的判定与性质和在直角三角形的性质

得到CE1Z）凡利用相似三角形的判定与性质求出。入OC,在RCAOHG中，利用勾股定理即可求得结

论.

本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用全

等三角形的判定定理得到△BEC%CFD是解题的关键.

13.【答案】a+2b

【解析】【分析】

此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质.注意掌握三角形法则的应

用是关键.根据平行四边形的判定与性质得到四边形D8FC是平行四边形，则DC=B凡故A尸=248=

2DC,结合三角形法则进行解答.

【解答】

解：如图，连接8D,FC,

•・•匹边形48。。是平行四边形,

ADC//AB.DC=AB,

•••△DCEs>FBE,

又E是边BC的中点，

・匹=也一=1,

,,EFEB1

：.DE=FE,即点E是D尸的中点,

•••匹边形DBFC是平行四边形，

•••DC=BF,

AAF=2AB=2DC,

-，DF=DA+AF=DA^2DC=a+2b-

故答案是:a+2b.

14.【答案】6

【解析】解：•••四边形力BCD为矩形，

/.BAD=90。，

在RtZi/BO中，BD=10,40=8,

AB=V102-82=6，

vBE=2AE,

:.AE=2,

•••△PEM为等腰直角三角形，

:.PE=PM,MPM=90°,乙PME=乙PEM=45°,

.•.点/、P在以EM为直径的圆上，

:.Z.PAE=Z.PME=45°,4PAM=iPEM=45。，

AP平分N84C,

即点P的枕迹在284。的平分线上，

过D点作OP14P于P点，此时。P的值最小，

•••/.PAD=45°,乙APD=90°,

Z.PDA=45°,PA=PD,

•••Z.EPA+AAPM=90%Z-APM+乙MPD=90°,

/.Z.EPA=乙MPD,

在ZiEPA和AMPD中，

Z.PAE=乙PDM

PA=PD,

Z.EPA=乙MPD

.•.△松力如MPD(ASA),

:.AE=DM=2,

AM=AD-DM=8-2=6.

故答案为：6.

先利用勾股定理计算出AB=6,则AE=2,再利用等腰直角三角形的性质得到PE=PM,LEPM=90%

Z.PME=LPEM=45°,则根据网周角定埋可判断点4、P在以bM为直径的圆上，所以4==

45c,^PAM=2LPEM=45°,从而可判断4P平分48力。，过。点作DP14P于P点，利用垂线段最短得到

DP的值最小，然后证明△EP/lgAMPD得到AE=DM=2,从而得到=6.

本题考查了矩形的性质：矩形的四个角都是直角.也考查了等腰直角三角形的性质、圆周角定理和全等三

角形的判定与性质.

15.【答案】C(4,4)或C(5,2)

【解析】解：如图,

△OAB的两直角边之比为1：2,那么AABC两直角边之比为1：2,

•••AB=

.•.当44=90。,AC=2/5,此时点C(5,2),

当/B=90。，BC=2/5，此时点C(4,4),

故C点的坐标是C(4,4)或C(5,2).

本题可根据图形得出AC与力B的长度比，再根据角A或角8为直角，来判断C点的位置.

本题考查了相似多边形的性质及点的坐标，此题需注意分情况讨论三角形哪一个角为直角的情况.

16.【答案】2

\<5-1

【解析】【分析】本题考杳了翻折变换(折叠问题)，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性

质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键.根据矩形的性质得到40=BC,^ADC=^B=^DAE=

90S根据折叠的性质得到CF=BC,LCFE=ZB=90°,=8E,根据全等三角形的判定与性质得到

DF=AE=2,再根据相似三角形的判定与性质即可求出BE.

【解答】

解：•••四边形力BC。是矩形，

：.AD=BC,Z.ADC=Z.B=Z.DAE=90°,

由折叠的性质知：CF=BC,/-CFE=LB=90°,EF=BE,

-，CF=AD,Z,CFD=90°,

••・/.ADE+乙CDF=乙CDF+乙DCF=90°,

:./.ADE=Z.DCF,

在MOE与△FC。中，

vLADE=乙DCF,AD=CF,Z.EAD="FC,

FCD(ASA),

.・.OF=AE=2,DE=CD,

v/.AFE=/-CFD=90°,

Z.AFE=乙DAE=90°,

vZ.AEF=乙DEA,

•••△AEFs〉DEA,

_AE_EF

♦•瓦一而’

.2_EF

’24-EF=T*

•・.E/=0一1(负值舍去)，

BE=EF=y[s-l

17.【答案】【小题1】

证明：24与都是。。所对的圆周角，.•.4/=N/?.又N/lEO=NB/?。.40/?SABCE.

【小题2】

-AD2=AE-AC,二空二空.又•••乙4二4/，♦•.△/OESAACO,二乙力E。=440二•••4C是。。的直径，

ADAC

Z.ADC=90°,.•.44E0=90。，.•.直径4cl弦8D,二CD=CB,CD=CB.

【解析】1.略

2.略

18.【答案】证明：.:解=*=黑,

LJCLoC

ABDs△CBE,

AZ.ABD=乙CBE,

•••Z.ABD+Z.DBC=乙CBE+乙DBC,

^LABC=乙DBE.

bABBD

又学二而,

ABBC

即Hn而F

:小ABCs&DBE.

【解析】略

19.【答案】证明：•・•斯・£)2=••8".

・E•・F——=CF——,

BFDF

Z.EFC=乙BFD,

•••△EFCs〉BFD,

•••乙CEF=乙B,

••乙B=乙AED,

,:乙CAB=乙DAE,

CABs&DAE.

【解析】根据相似三角形的判定得出△E*sZi8/D,得出“EF=NB,进而证明△EBS^DAE即可.

本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答.

20.【答案】解：(1)证明：:AC平分心BAD,

•••Z.DAC=

•••"DC=^.ACB=90%

•••△ADCs△ACB,

.AD_AC

：•AC=AB>

AC2=ABAD；

(2)vAC2=AB-AD,AC=73,AB=2,

AC2(NH)23

4n=—=5,

v£ACB=90°,E为48的中点，

:.EA=EC=EB=\AB=1x2=1,

Z.EAC=Z-ECA,

•••力C邛:分NZX4B,

Z.DAC=Z.CAE,

•••Z.DAC=Z.ECA,

VZ.AFD=乙CFE,

AFDs〉CFE,

AFADI3

・•・一=—=—=

FCEC12

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质及直角三角形斜边上直线的性质，掌握相似三角形的判定与

性质是解决问题的关键.

(1)由AC平分48A0,得出乙=再由乙40C=乙4c8=90°,得出△AOCs/kAC8,进而得出

黎=能即可证明"2=4BMD；

(2)由(1)可知AC?”BTD结合已知条件力C=C，AB=2,可求出EA=EC=EB=\AB=

|x2=1,Z.EAC=Z.ECA,再根据4c平分乙DAB,得出乙DAC=4CAE,得出NZMC=ZEC4由4AFD=

“FE,得出△4/WSAC尸E,即可得出解=铝=今

FCEC2

21.【答案】(1)证明：vAB=AC,

•••NB=",

vZ.BDA=Z.DAC+Z.C=Z.ADE+jBDE,LADE=乙C,

:.Z.BDE=Z.DAC,

:.bACDs〉DBE；

(2)证明：•.•△｛。。/△。.，

:.—BE=——BD,

CDAC

即BE・4C=BD・CD，

设BC=m,BD=x,WJCD=m-x,

•••4BE-AC=4BD•CD=4x(m-x)=-(2x-m)2+m2,

22

4BE-AC<mf-AC<BC.

【解析】本题考查的是等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质有关知识.

(1)利用等腰三角形的性质得出NS=",再结合三角形外角性质得出NBDE=Z.DAC,最后利用相似三角

形囱判定定理解答；

(2)根据相似三角形的性质得出差=整，然后再解答.

CUriC

22.【答案】(1)证明：•.♦四边形力BC。是正方形，

AB=BC=CD=AD,Z.ABC=乙BCD=乙CDA=Z.BAD=90°,

•••BE1AP,OF1AP,

:.Z.BEA=Z-AFD=90°,

v/.BAE+乙FAD=90°,乙FAD+Z.ADF=90°,

:.乙BAE=乙ADF,

在△ABE和△IMF中

(Z.BEA=Z.AFD

\z-BAE=LADF^

“B=AD

：.^ABE^^DAF(AAS),

:.BE=AF,

^EF=AE-AF=AE-BE,

(2)连接8F,如图所示：

BEDF

:.—=——，

BFAD

BEBF

DFAD

:.Rt△BEFsRt△DFA,

NFBE=Z.ADF,

vZ.ADF=Z.BAE,

:.乙FBE=乙BAE,

又•；/.ABE+乙EBP=90°,/.ABE+Z.BAE=90°,

二乙EBP=Z.BAE=乙FBE,

在么BE尸和△BEP中

ZEBP=Z.EBF

BE=BE，

l/BEP=乙BEF=90°

.••△BEFgABEP(ASA),

二EF=EP.

【解析】本题主要考杳了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，利用已知

条件及角、边的等量关系的转换，结合问题来解题即可.

(1)证明△/IBEgADA/，得出4F=BE,利用等量代换即可证明E尸=4E—BE；

(2)利用浮=需以及4尸二BE通过等量代换，得至取△。凡4，即可得至Ij/FBE=NAO凡通过

利用角的等量代换得△BEFdBEP即可得到E尸=EP.

23.【答案】解：(1)设AD与EF交于点M.

vEF//BC,

•••△AEFSAABC,

vAD1BC,

:.AM1EF,

.EF_AM

,BC=~AD，

设DM=y,则擀=等，

解得y=+6.

S=|xy=-1(x-4)2+6(0<x<8).

Zo

(2)设总费用为W,则"=50s+80(；x8x6-S)

=-305+1920

3、

=-30x[-(x-4)2+6]+1920

3o

=y(x-4)2+1740.

4o,

二兰x=4时,W最小，最小值为1740.

答：种植月季花和牡丹花的总费用的最小值为1740元.

【解析】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，二次函数的应用.

⑴证明△AEF^LABC,根据相似三角形对应高的比等于相似比可得益=瞿，设DM=y,由相似可得

DC/\U

y=-1x+6,再根据三角形面积公式列出S关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围;

(2)设总费用为W,然后列出W关于x的二次函数关系式，并根据二次函数的性质解答即可.

24.【答案】:

【解析】解：(1)•:DE〃BC,

•••△ADE^^ABC,

•••。是A8的中点,

・•・DE是的中位线,

DE1*

而=E，AE=EC

.SMDE_1

■'S^ABC-4

ADE与△CED等底同高,

**,S&ADE=S^CED»

•••设△A8C的面积为S,△/)£(?的面积为S',

S'1

-7-?

故答案为：京

(2)vAB=4,AD=x,DE//BC,

ADE^is.ABC

「•鬻=蒙=标①，

—=—=x

'AB=AC=4,

.AE_x

,EC=

MADE与ACED,