高考数学解题秘籍-统计概率6

高考数学解题秘籍——统计概率6第二章概率【同源练习】(辽宁高三开学考试)关于圆周率π,数学发展史上出现过许多很有创意的求法,如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:先请100名同学每人随机写下一个x,y都小于1的正实数对x,y;再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对x,y的个数m;最后再根据统计数m估计解:∵0<x画出图像:弓形面积:28100（3）三个变量【例】已知一根绳子长度为1m,随机剪成三段,则三段刚好围成三角形的概率为___解:随机剪成三段,如果引入3个变量x,y,z,则需建立空间坐标系,不易于求解。考虑减少变量个数,由于三段的和为1,设其中两段为x,y,则第三段为0<x<10A满足0<x<1(二)面积【经典例题】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,I,II,III的概率分别记为p1A.p1=p2B.p法一:设直角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b12π×b2法二:不妨设△ABC为等腰直角三角形,AB=AC=的面积,为S1S2=π根据几何概型的概率计算公式,得p1=pp2【例1】已知正方形ABCD的边长为2,H是边DA的中点,在正方形ABCD内部随机取一点P,则满足解:PH<2可理解为以H为圆心,2为半径的圆的内部,通过作图可得概率为阴影部分面积所占正方形面积的比例。可将阴影部分拆为一个扇形与两个直角三角形,可计算其面积为S′=【例2】如图,点P等可能分布在菱形ABCD内,则AP⋅A.12B.C.16D.解:AC乘以AP在AC上的投影,不妨将投影设为l,则AP⋅AC=l⋅AC≤MN//BD,所以MN⊥AC且垂足四等分AC【变式训练】在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1解:由几何概型的计算公式得p=【例3】已知P是△ABC所在平面内一点,PB+PC+2解:以PB,PC为邻边作平行四边形PBDC,则PB+PC=PD,因为PB+PC+2PA=0,所以PB+PC=−2PA,得PD=−2PA,由此可得,P是△ABC边【变式训练】在边长为1的正方形内随意画一个三角形,若此三角形内任意一点到正方形各边距离d≥m的概率为4解:因为三角形内任意一点到正方形各边距离d所以三角形所在区域为边长为1−2m的正方形,所以1【例4】在区间0,1上随机取两个数x,y,记p1为事件“x+y≥1A.p1<C.p3<解:因为x,y∈0,对事件“x−y≤对事件“xy≤12由图知,阴影部分的面积从下到大依次是S2<S根据几何概型可得p2(1)（2）(3)(三)体积【例1】一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为()解:由已知条件可知,蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行结合几何概型可得蜜蜂“安全飞行”的概率为p=【例2】在区间0,1任取三个数a,b,解:m2在坐标系中,空间点a,b,c构成以1为棱的正方体,体积为1,而满足m≤1的点a,b,c【例3】一个多面体的直观图和三视图所示,M是AB的中点,一只蝴蝶在几何体ADF−BCE内自由飞翔,由它飞入几何体a主(俯)视图左视图解:所求概率为棱锥F−AMCD的体积与棱柱AD=DF=VADF−BCESADCM=12【例4】已知P,E,G,F都在球面C上,且P在△EFG所在平面外,PE解:如图,在三角形EGF中,由已知可得EG=GF=设三角形EFG的外接圆的半径为r,由23sin120再设△EGF的外心为G1,过G1作底面EGF的垂线G1O则22为三棱锥P则球的体积为V=V则该点落在三棱锥P−EFG内的概率为(四)随机数模拟法【例1】下图是2002年8月中国成功主办的国际数学家大会的会标,是我们古代数学家赵爽为证明勾股定理而绘制的,在我国最早的数学著作《周髀算经》中有详细的记载.若图中大正方形ABCD的边长为4,小正方形的边长为2,现作出小正方形的内切圆,向大正方形所在区域模拟随机投掷n个点,有m个点落在中间的圆内,由此可估计π的所似值为()A.16mnB.8mnC.4m解:大正方形的边长为4,总面积为16,小正方形的边长为2,其内切圆的半径为1,面积为π;则π16=m【例2】从区间0,1随机抽取2n个数x1,x2,…,xn(A)4nm(B)2nm(C)4m解:由题意得:xi小于1的点均在如图所示的阴影中由几何概型概率计算