四川省内江市威远中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

威远中学校学年高二上期月月考数学数学试题共4页，满分分，考试时间分钟.注意事项：答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，必须使用毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题，共分）85分在每小题给出的四个选项中，只有一项1.直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先求斜率，再求倾斜角.【详解】由条件可知，直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，，所以.故选：B2.若直线是圆的一条对称轴，则（）A.B.C.1D.【答案】A【解析】【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得第1页/共21页．故选：A．3.若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】C【解析】【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误.【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误；对于B，若，则，故B错误；对于C，若，则存在直线，，所以由可得，故，故C正确；对于D，，则与可平行或相交或，故D错误；故选：C.4.如图，在长方体中，，，，，，则直线与所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】上靠近的三等分点F上三等分点与所成角即为直线第2页/共21页【详解】取上靠近的三等分点F，取上三等分点，连接，因为，所以四边形是平行四边形，所以，所以直线与所成角即为直线与所成角，，由正方体的性质可得：平面，平面，所以平面，所以，，，，，在中，，所以直线与所成角的余弦值为.故选：B.5.在棱长为3的正方体中，在线段上，且，为线段上的动点，则三棱锥的体积为()A.1B.C.D.与点的位置有关【答案】B【解析】P到平面的距离是到平面距离的，为定值，据此即可求出体积.第3页/共21页【详解】∵，∴点P到平面的距离是到平面距离的，即为＝1.，＝××1＝.故选：B.6.已知AB为斜边，为直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，推导确定线面角，再利用余弦定理、正弦定理求解作答.【详解】取的中点，连接，因为是等腰直角三角形，且为斜边，则有，又是等边三角形，则，从而为二面角的平面角，即，第4页/共21页因此平面平面，显然平面平面，直线平面，则直线在平面内的射影为直线，从而为直线与平面理得：，由正弦定理得，即，显然是锐角，，所以直线与平面所成的角的正切为.故选：C7.已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2r的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论.【详解】由题意，在圆中，圆心，半径为，到直线的距离为的点有且仅有个，∵圆心到直线的距离为：，第5页/共21页故由图可知，当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.故选：B8.已知M：，直线：，为上的动点，过点作M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据可知，当直线时，为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．【详解】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以第6页/共21页，而，当直线时，，，此时最小．∴即，由解得，．所以以为直径的圆的方程为，即，两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得09.已知的三个顶点的坐标分别为，，，则下列说法正确的有（）A.边上的高所在直线的方程；B.的外接圆的方程为；C.过作直线与线段相交，则直线斜率的取值范围为；D.的面积为.【答案】BCD【解析】【分析】对选项，利用直线垂直时斜率的关系可求得高线方程；对选项，用待定系数求圆的方程；对选项从点到点，的面积利用点到直线的距离求得中边的高，然后根据面积公式即可.【详解】对选项，直线的斜率为：则边上的高的斜率为：则高的方程为：，即故不正确；第7页/共21页对选项，设外接圆的方程为则有：解得：，，所以△的外接圆的方程为：故正确；对选项，，则过点作直线与线段相交时，则直线斜率的取值范围为：故正确；对选项，易知所在直线的方程为：点到直线的距离为：又则的面积为：故正确故选：10.已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【答案】ABD【解析】置关系即可得解.【详解】圆心到直线l的距离，第8页/共21页若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；若点在直线l上，则即，所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：ABD.如图，在三棱锥中，侧面是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，另一个侧面是正三角形，下面结论正确的是（）A.为正三角形B.C.与底面所成角的正弦值为D.点到平面的距离为【答案】ABD【解析】ABA在底面的投影为是第9页/共21页边长为1的正方形，进而可证平面，即可得结果；对于C：可知与底面所成角为，进而求解；对于D：转换顶点结合等体积法求点到面的距离即可.【详解】对于选项A：因为侧面是正三角形，故A正确；对于选项B：由题意可知：，，则，可知.设点A在底面的投影为，连接，因为平面，平面，则，且，，平面，则平面，且平面，所以，同理可得：，可知四边形是边长为1的正方形，则，又因为平面，平面，则，且，平面，则平面，且平面，所以，故B正确；对于选项C：因为，，可知与底面所成角为，其正弦值为，故C错误；对于选项D：设点到平面的距离为，因为，则，解得，所以点到平面的距离为，故D正确；故选：ABD.第Ⅱ卷（非选择题，共分）第10页/共21页12.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.【答案】.【解析】【分析】求出球的半径即可.【详解】解：因为正方体的顶点都在同一球面上，所以球的直径为正方体的对角线，所以，所以，故球的表面积：.故答案：.13.在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．【答案】##【解析】【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，因为，则，第11页/共21页所以所求体积为.故答案为：.14.圆O：，过点作两条互相垂直的动弦、，则四边形的面积的最大值为_________.【答案】28【解析】【分析】过点作的垂线，垂足为，作的垂线，垂足为，构造直角三角形求出四边形的对角线长度，则四边形面积为对角线乘积的一半，结合基本不等式即可求解.【详解】过点作的垂线，垂足为，作的垂线，垂足为，如图所示：设，则，且，则四边形的面积第12页/共21页，当且仅当，即时，等号成立，所以四边形的面积的最大值为28.故答案为：28.四、解答题（本题共计5小题，共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.15.求满足下列条件的直线方程：（1）过点，且在轴，轴上的截距互为相反数的直线方程；（2）已知两直线，求过两直线的交点，且平行于直线的直线方程．【答案】（1）或（2）【解析】1）分两种情况，过原点时设直线方程为，不过原点时设直线方程为，代入点即可求解；（2）联立、，解出交点坐标，再结合与直线平行，利用点斜式即可求解．【小问1详解】分两种情况，当直线过原点时，设，代入，得，方程为，当直线不过原点时，设截距式，代入，得，方程为，综上，直线方程为或．【小问2详解】联立、方程，解得交点为，直线斜率为，所求直线与之平行，斜率也为，又因为过，第13页/共21页所以直线方程为，整理得．16.已知圆.（1）求m的取值范围.（2）已知直线与圆交于两点，且.①求；②求过点的圆的切线方程.【答案】（1）（2）①；②或.【解析】1）根据圆的一般方程成立条件，建立不等式，可得答案.（2）①根据弦长公式，建立方程，求出参数；②根据切线方程的求法，可得答案.【小问1详解】（方法一）由题意得，则，得，所以的取值范围为.（方法二）由，得，所以的取值范围为.【小问2详解】①由题意得到的距离，则圆的半径为，得②当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为.当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即.第14页/共21页由，得，所以所求的切线方程为，即.综上，过点的圆的切线方程为或.17.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点.（1）当为棱的中点时，证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）取的中点，连接，，求证，即可求解；（2）建立空间直角坐标系，求得平面法向量，代入夹角公式即可.【小问1详解】取的中点，连接，，第15页/共21页因为为的中点，所以，因为，所以，所以四边形为平行四边形，所以又平面平面，所以平面.【小问2详解】因为平面，在平面内，所以，即两两垂直，故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.则因为，所以，所以.设平面的法向量为，则，取，得，所以因为平面，所以平面.所以为平面的一个法向量.设平面与平面的夹角为，第16页/共21页则.所以平面与平面夹角的余弦值为.18.ABC－ABC1A1在平面ABC内的射影D在ACACB=90°BC=1AC=CC=2.（1）证明:AC⊥AB；（2）设直线AA1与平面BCCB1的距离为，求二面角A－AB－C的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）二面角AABC的余弦值为.【解析】【分析】(1)由条件证明，，由线面垂直的判定定理证明平面，由此证明；(2)建立空间直角坐标系，结合条件直线AA1与平面BCCB1的距离为，确定相关点的坐标，利用向量方法求二面角A－AB－C的余弦值.【小问1详解】∵点A1在平面ABC内的射影D在AC上，第17页/共21页∴平面，又平面，∴，∵,，平面，∴平面，平面，∴，∵，四边形为平行四边形，∴四边形为菱形，故，又，平面，∴平面，平面，∴；小问2详解】以C为坐标原点，以为x轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，设，由题设有，，设平面BCCB1的法向量，则，因，所以第18页/共21页，所以，又，即，所以点到平面的距离为AA1与平面BCCB1的距离为，所以.代入①得（舍去）或，于是，设平面的法向量，则，所以，所以，又为平面的法向量，故，所以二面角AABC的余弦值为.19.已知圆的圆心在直线上，且经过点和.（1）求圆的标准方程