重庆市渝北中学2025-2026学年高二上学期阶段二质量监测数学试题

渝北中学学年上期高二年级阶段二质量监测数学试题（全卷共四大题小题，总分分，考试时长分钟）注意事项：．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、班级等填写在答题卡规定的位置上．．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．．答非选择题时，必须使用毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知直线，则直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角.【详解】因为直线的斜率，设直线的倾斜角为，，则，所以.故选：D.2.已知数列满足，，则（）A.B.C.1D.3【答案】A【解析】【分析】整理可得，分析可知数列的一个周期为3，结合周期性运算求解.第1页/共17页【详解】因为，即，且，则，，，可知数列的一个周期为3，且，所以.故选：A.3.已知为曲线上的动点，，且，则（）A.4B.8C.12D.16【答案】C【解析】【分析】分析可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可得，进而可得.【详解】因为，且，可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，所以.故选：C.4.已知为递增等比数列，其前项和为，若，，则（）A.B.27C.81D.或81【答案】C【解析】【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解即可.【详解】设等比数列的公比为，由题意可得，解得或，第2页/共17页又数列为递增等比数列，所以，所以.故选：C.5.过直线上一动点作圆切线，切点为，则线段的最小值为（）A.6B.5C.4D.3【答案】B【解析】【分析】根据题意可知圆心和半径，利用勾股定理结合圆的性质分析求解.【详解】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离，可知直线与圆相离，由题意可知：，当且仅当与直线垂直时，等号成立，所以线段的最小值为5.故选：B.6.已知圆与直线相交于两点，若为正三角形，则实数的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】【分析】由为正三角形，得到圆心到直线的距离，即可求解.【详解】圆，即，可知圆心为，半径，且，第3页/共17页圆心到直线的距离，因为圆与相交于两点，且为正三角形，所以，即，解得.故选：C.7.过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，交其准线于点，若恰好为为中点，则等于（）A.B.2C.3D.4【答案】A【解析】，利用韦达定理可得，再结合抛物线定义运算求解即可.【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，直线与抛物线必相交，设，，因为恰好为为中点，则，可得，则直线的斜率存在，设为，则直线，联立方程，消去y可得，不0，且，则，即，可得，所以.故选：A.8.已知椭圆是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（）第4页/共17页【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的定义，结合在圆中直径所对的圆周角为直角、勾股定理、椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】设，则，于是有，由椭圆的定义可知：，，在圆中，是直径，所以，由勾股定理可得：，，代入中，得，故选：B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知圆的半径为2，则下列选项正确的是（）A.B.点在圆的内部C.圆与圆外切D.当直线平分圆的周长时，第5页/共17页【答案】BC【解析】AB圆的位置关系；对于C：求圆心和半径，可得圆心距，进而判断两圆位置关系；对于D：可知直线过圆心，代入运算求解即可.【详解】对于选项A：因为圆的圆心为，半径，且，由题意可得：，解得，故A错误；对于选项B：可知圆的圆心为，半径，因为，所以点在圆的内部，故B正确；对于选项C：圆的圆心为，半径，则，即，所以圆与圆外切，故C正确；对于选项D：若直线平分圆的周长，则直线过圆心，则，解得，故D错误；故选：BC.10.已知等差数列的公差为，其前项和为，若，下列论断中正确的有（）A.B.若，则C.若，则D.当或时，取得最大值【答案】AC【解析】【分析】根据题意结合等差数列性质可得.对于AB可知C，D即可.【详解】因为，则，即.第6页/共17页对于选项A：因为，故A正确；对于选项B：若，可知数列为递增数列，则，所以，故B错误；对于选项C：因为，，若，即，则，即，故C正确；对于选项D：例如，则，因为的图象开口向上，对称轴为，结合对称性可知当或时，取得最小值，故D错误；故选：AC.已知双曲线的左右焦点分别为在双曲线右支上，则下列结论正确的是（）A.直线的斜率为，则B.使为等腰三角形点有且仅有2个点C.点到两条渐近线的距离积为D.已知点，则最小值为7【答案】ACD【解析】AB，双曲线的对称性分析判断；对于C：设，根据点到直线的距离公式结合双曲线的方程运算求解；对于D：利用双曲线的定义整理可得，结合图形的性质分析求解即可.【详解】由双曲线方程可知，，，且焦点在x轴上，则，渐近线方程为，对于选项A：由双曲线的渐近线性质可知：直线的斜率，第7页/共17页所以，故A正确；对于选项B：因为，且，，若为等腰三角形，显然，当时，结合对称性可知点有且仅有2个点；当时，结合对称性可知点有且仅有2个点；综上所述：点有且仅有4个点，故B错误；对于选项C：设，则，即，则点到渐近线、的距离分别为、，所以，故C正确；对于选项D：因为，即，则，当且仅当点在线段上时，等号成立，所以最小值7，故D正确；第8页/共17页故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共分．12.若双曲线的离心率为3，则___________【答案】【解析】【分析】分若焦点在轴、轴上两种情况，求出的范围，结合离心率的定义求解.【详解】若焦点在轴上，则，，得，则，得，满足题意；若焦点在轴上，则，，无解，则.故答案为：13.若数列的通项公式为，则其前项和___________．【答案】【解析】【分析】利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解.【详解】因为，则，所以.故答案为：.14.已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上两点，若，则的最小值为___________．第9页/共17页【解析】【分析】设，根据直线垂直可得，再根据抛物线的定义结合基本不等式运算求解即可.【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，且直线的斜率存在，设，，则，，若，则，可得，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的前项和为，且．第10页/共17页（2）求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】1）设等差数列的公差为，根据等差数列的前项和计算，再利用等差数列的通项公式计算；（2）利用裂项相消计算【小问1详解】设等差数列的公差为，则，又，则，则数列的通项公式为；【小问2详解】，则16.已知椭圆的离心率，且椭圆的短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程．【答案】（1）（2）第11页/共17页1）根据短轴长可得，结合离心率可得，即可得椭圆方程；（2）不妨设，，，结合两点间距离公式解得，进而可得点的坐标和直线的方程.【小问1详解】因为椭圆的短轴长为2，则，即，又因为离心率，则，解得，所以椭圆C的方程为.【小问2详解】因为点为椭圆的上顶点，不妨设，，，则，整理可得，解得，则，即，则直线的斜率，所以直线的方程为.17.已知为抛物线的焦点，为的直线与交于两点．第12页/共17页（1）求抛物线的方程；（2）求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】1）结合题中条件和抛物线的定义计算参数，进而得到抛物线方程；（2）设过点的直线的方程为，，联立方程组，消元，化简，结合韦达定理得到，再根据向量数量积的坐标公式结合二次函数性质解得最大值.【小问1详解】抛物线的焦点为，准线方程为，已知为上的一点，代入抛物线方程得，因为抛物线的定义，，将代入得，解得，因此抛物线的方程为【小问2详解】由上分析可知，则，即,设过点的直线的方程为，，联立消元得，由韦达定理得，，，将代入：这是关于的二次函数，开口向下，对称轴第13页/共17页18.已知数列满足，，数列．（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式．（2）设的前项和为．（i）求；（ii）若，，求的取值范围．【答案】（1）证明见详解；（2i）ii）【解析】第14页/共17页公式；（2i）整理可得，利用裂项相消法求ii）整理可得对恒成立，列不等式求的最大值，即可得结果.【小问1详解】因为，则，即，且，则，可知数列是以首项，公差为1的等差数列，则，即，所以.【小问2详解】（i）因为，所以；（ii）因为，可得对恒成立，设，令，即，解得，且，可得，可知数列的最大项为，则，解得，所以实数的取值范围为.19.已知是双曲线的左、右顶点，，点在上．第15页/共17页（1）求的方程；（2）是交直线于点与的另一个交点为，设直线的斜率分别为．（i）证明：为定值；（ii）直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标，若不过，请说明理由．【答案】（1）（2iii）证明见解析【解析】1）由得，由点在C上求得，即可得到方程；（2，，ii）设直线MN的方程为