专题3.1 导数的概念及运算（三类核心）-2026年高考《数学》一轮复习考点精讲

专题3.1导数的概念及运算目录目录 1一、5年高考•真题感悟 2二、课程标准•考情分析 5【课程标准】 5【考情分析】 5【2026考向预测】 6三、知识点•逐点夯实 6知识点1、导数的概念 6知识点2、基本初等函数的导数公式 6知识点3、导数的运算法则 6知识点4、复合函数的导数 7知识点5、切线方程 7四、重点难点•分类突破 7考点1导数的计算 7考点2导数的几何意义 9命题点1求切线方程 9命题点2求参数的值 10考点3两曲线的公切线 11五、必考题型•分层训练 17A、基础保分 17B、综合提升 20TOC\o"1-2"\h\z\u

一、5年高考•真题感悟1．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.85【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线在点处的切线方程为，因为，所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C2．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.【详解】，则，即该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A.3．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）（多选题）已知函数，则（

）A．有两个极值点 B．有三个零点C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线【答案】AC【难度】0.65【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值点、利用导数研究函数的零点【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，，令得或，令得，所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误.故选：AC.4．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则.【答案】【难度】0.85【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解.【详解】法一：对于，其导数为，因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，令，即，解得，将代入切线方程，可得，所以切点坐标为，因为切点在曲线上，所以，即，解得.故答案为：.法二：对于，其导数为，假设与的切点为，则，解得.故答案为：.5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则.【答案】【难度】0.65【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、已知切线（斜率）求参数【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故答案为：二、课程标准•考情分析【课程标准】（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．（2）通过函数图象，理解导数的几何意义．（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．【5年考情分析】5年考情分析考题示例考点分析难易程度（简单、一般、较难、很难）2025年新I卷，5分求切线方程简单2024年新I卷，5分求切线方程一般2024年全国甲卷，5分求切线方程与坐标轴围成的面积一般2023年全国甲卷，5分求切线方程一般2021年新I卷，5分导数综合较难【2026考向预测】高考对导数的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主．三、知识点•逐点夯实考点1．导数的概念函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或．知识点诠释：①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数；②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与无限接近；③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率，即．考点2．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数（为常数）考点3.导数的运算法则（1）函数和差求导法则：；（2）函数积的求导法则：；（3）函数商的求导法则：，则．考点4．复合函数的导数复合函数的导数和函数，的导数间关系为：考点5．切线方程1、在点的切线方程切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．2、过点的切线方程设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．四、重点难点•分类突破考点1导数的运算例1、（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（

）A．(a为常数) B．C． D．【答案】B【难度】0.94【知识点】简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式【分析】根据求导公式和简单复合函数的求导，依次计算即可判断选项.【详解】A：因为a为常数，所以，故A错误；B：，故B正确；C：，故C错误；D：，故D错误.故选：B例2、（2024·上海浦东新·三模）函数的导数为.【答案】【难度】0.85【知识点】导数的乘除法、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则【分析】利用复合函数的求导法则以及商的导数运算法可求得结果.【详解】因为，则.故答案为：.【变式训练1】、（24-25高三上·江苏镇江·开学考试）（多选题）下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【难度】0.85【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式【分析】利用初等函数的导数公式以及复合函数求导法则、导数的运算法则，可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，，A错误；对于B选项，，B错误；对于C选项，，C正确；对于D选项，，D正确.故选：CD.【变式训练2】、（24-25高三上·福建·期中）已知函数，则.【答案】/【难度】0.85【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的加减法、导数的乘除法【分析】对函数求导，代入，求出，得到函数解析式，可求【详解】函数，则，则，所以，则，则.故答案为：.考点2导数的几何意义命题点1求切线方程例3．（2025·四川巴中·三模）已知函数，若函数在点处的切线方程为.【答案】【难度】0.85【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的加减法【分析】应用导数的几何意义求切线方程.【详解】求导得，则，又，所以切线方程为，整理得.故答案为：【变式训练3】、（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积.【详解】，则，即该切线方程为，即，令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A.命题点2求参数的值例4．（2025·河南许昌·三模）若直线与曲线相切，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【难度】0.65【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数【分析】设切点为，根据导数的几何意义求得，再由切点在直线和曲线上有，即可求.【详解】设直线与曲线的切点为，对求导，得，直线的斜率为1，导数的几何意义知，在切点处，即．又切点既在直线上又在曲线上，且，即．将代入，得：，即．故选：A【变式训练4】、（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为．【答案】-1【难度】0.65【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性【分析】首先对函数求导，利用导数的几何意义求出，然后构造新函数，对其求导判断单调性和最小值，从而求出的最小值.【详解】对函数求导得：.因为直线为曲线的一条切线，设切点为，令，即①.又②，用①除以②得：.所以.所以,所以.设，则求导得.当时，，所以，此时在上单调递增；当时，，所以，此时在上单调递减.所以，所以的最小值为-1.故答案为：-1.考点3两曲线的公切线例5．（2025·辽宁·二模）若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围是．【答案】【难度】0.65【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参）【分析】设公切线分别与曲线，相切于点，，分别求切线方程，即可有，，得，令，，利用导数研究单调性，进而得即可求解.【详解】由题意知，，设公切线分别与曲线，相切于点，，则，，所以公切线方程为，，即，，所以，，所以，令，，，所以，由，得,由，得，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，且时，，时，，所以．故答案为：.例6．（2025·河南南阳·三模）已知函数与存在公切线，则实数的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【难度】0.65【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）【分析】设出两切点，由导数的意义求出切线方程，转化为方程组有解问题，消去后构造函数，求导分析单调性可得最值.【详解】设公切线与函数及函数的切点分别为，，且，，故两切线方程为，，即，，与存在公切线，所以有解，消去后得：，令，，易得在上单调递增，且时，；时，，故在区间上递减，在上递增．所以，的最小值为，即的最小值为，即实数的最小值为．故选：B．【变式训练5】、（2025·四川绵阳·三模）在坐标平面中，已知过点恰能作曲线的2条切线，则由所有点构成的集合为.【答案】【难度】0.4【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题【分析】转化问题为方程有2个解，进而分，，，3种情况讨论求解即可.【详解】由，，则，设切点为，则，则，因为过点恰能作曲线的2条切线，所以方程有2个解，则函数，与函数有2个交点，由，当时，，，因为，所以函数为偶函数，当时，单调递增，且时，，时，，画出函数的大致图象，

此时满足函数，与函数有2个交点；若，令，得或；令，得，则函数在和上单调递增，在上单调递减，且，画出函数的大致图象，

要使函数，与函数有2个交点，则；若，令，得；令，得或，则函数在和上单调递减，在上单调递增，且，画出函数的大致图象，

要使函数，与函数有2个交点，则.综上所述，所有点构成的集合为.故答案为：.【变式训练6】（2025·湖南长沙·模拟预测）若曲线与有公共的切线，则的最大值为（

）A．-2 B．2 C．-1 D．1【答案】D【难度】0.4【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参）【分析】设直线与相切于求出切线方程，直线与相切于求出切线方程，让两条切线方程的斜率、截距相同可得.令，构造函数，利用导数求出最小值可得答案.【详解】设直线与相切于，则直线：，直线与相切于，则直线：，因为曲线与有公共的切线，则两条切线方程的斜率、截距相同，故，则.令，，则在单调递增，且，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，于是有，即.故选：D.

五、分层训练1．（24-25高二下·青海西宁·月考）已知函数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.85【知识点】基本初等函数的导数公式、求某点处的导数值、导数的运算法则【分析】求导即可得解.【详解】由可得，故，故，故选：A2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.85【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.【详解】设曲线在点处的切线方程为，因为，所以，所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选：C3．（24-25高二下·河北邢台·月考）（多选题）过点向曲线作切线，切线方程可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【难度】0.65【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则、基本初等函数的导数公式【分析】设切点为，利用导数的几可意义，再结合题设条件得到，解得或，即可求解.【详解】令，则，设切点为，则切线方程为，将点代入，整理得，即，解得或，当时，切线方程为；当时，切线方程为．故答案为：AC.4．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数，过点作曲线的切线，则此切线的方程为．【答案】或【难度】0.85【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程【分析】分点P为切点和点P不为切点两种情况讨论，结合导数的几何意义即可求解.【详解】因为，当点P为切点时，则切线的斜率为，所以所求切线方程为，即；当P点不为切点时，设切点坐标为，切线的斜率为，则切线方程为，因为切线过点，且，所以，整理，得，解得或1（舍去），则，所以切点坐标为，切线的斜率为，所以切线方程为，即，所以所求切线的方程为或或．故答案为：或．5．（2025·新疆·模拟预测）曲线过点的切线方程为.【答案】【难度】0.85【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求过一点的切线方程【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，代入即可求解，进而可求解.【详解】设切点为，则，故切线方程为，将代入可得，解得，故切线方程为，即，故答案为：6．（2025·吉林长春·模拟预测）若函数在处的切线与直线平行，则实数.【答案】1【难度】0.85【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则【分析】求导，根据平行得到，解得答案.【详解】因为，所以，依题意可得，即，解得.故答案为：1.7．（2025·湖南·三模）若直线（k为常数）是曲线和曲线的公切线，则实数a的值为（

）A． B． C．1 D．e【答案】B【难度】0.65【知识点