专题3.2 导数与函数单调性（三类核心）-2026年高考《数学》一轮复习考点精讲

专题3.2导数与函数的单调性目录目录 1一、5年高考•真题感悟 2二、课程标准•考情分析 14【课程标准】 14【考情分析】 15【2026考向预测】 15三、知识点•逐点夯实 15知识点1、单调性的基础问题 15知识点2、讨论单调区间问题 151、不含参数单调性讨论 152、含参单调性讨论 15知识点3、求单调性的解题步骤 16四、重点难点•分类突破 16考点1不含参函数的单调性 16考点2含参函数单调性 21考点3函数单调性的应用 26命题点1比较大小或解不等式 26命题点2根据函数的单调性求参数 29五、必考题型•分层训练 31A、基础保分 31B、综合提升 34TOC\o"1-2"\h\z\u

一、5年高考•真题感悟1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（

）．A． B．e C． D．【答案】C【难度】0.85【知识点】由函数在区间上的单调性求参数【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出．【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以，设，所以，所以在上单调递增，，故，即，即a的最小值为．故选：C．2．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.【答案】【难度】0.4【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：.3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)求的单调区间；(2)当时，证明：当时，恒成立．【答案】(1)见解析(2)见解析【难度】0.65【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可.【详解】（1）定义域为，当时，，故在上单调递减；当时，时，，单调递增，当时，，单调递减.综上所述，当时，的单调递减区间为；时，的单调递增区间为，单调递减区间为.（2），且时，，令，下证即可.，再令，则，显然在上递增，则，即在上递增，故，即在上单调递增，故，问题得证4．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．【答案】(1)(2)答案见解析(3)3个【难度】0.15【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值点、已知切线（斜率）求参数【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可；（2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间；（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数.【详解】（1）因为，所以，因为在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以.（2）由（1）得，则，令，解得，不妨设，，则，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上单调递减，在，上单调递增，即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，当时，，，即所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，在上单调递减，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以在上有一个极大值点；当时，在上单调递增，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，，所以，则单调递增，所以在上无极值点；综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解.5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程．(2)若函数在单调递增，求的取值范围．【答案】(1)；(2).【难度】0.4【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；（2）原问题即在区间上恒成立，整理变形可得在区间上恒成立，然后分类讨论三种情况即可求得实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则，据此可得，所以函数在处的切线方程为，即.（2）由函数的解析式可得，满足题意时在区间上恒成立.令，则，令，原问题等价于在区间上恒成立，则，当时，由于，故，在区间上单调递减，此时，不合题意;令，则，当，时，由于，所以在区间上单调递增，即在区间上单调递增，所以，在区间上单调递增，，满足题意.当时，由可得，当时，在区间上单调递减，即单调递减，注意到，故当时，，单调递减，由于，故当时，，不合题意.综上可知：实数得取值范围是.【点睛】方法点睛：（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法①函数在区间上单调，实际上就是在该区间上(或)恒成立．②函数在区间上存在单调区间，实际上就是(或)在该区间上存在解集．6．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)在上单调递减(2)【难度】0.4【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解；（2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解；法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解.【详解】（1）因为，所以，则，令，由于，所以，所以，因为，，，所以在上恒成立，所以在上单调递减.（2）法一：构建，则，若，且，则，解得，当时，因为，又，所以，，则，所以，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；综上所述：若，等价于，所以的取值范围为.法二：因为，因为，所以，，故在上恒成立，所以当时，，满足题意；当时，由于，显然，所以，满足题意；当时，因为，令，则，注意到，若，，则在上单调递增，注意到，所以，即，不满足题意；若，，则，所以在上最靠近处必存在零点，使得，此时在上有，所以在上单调递增，则在上有，即，不满足题意；综上：.【点睛】关键点睛：本题方法二第2小问讨论这种情况的关键是，注意到，从而分类讨论在上的正负情况，得到总存在靠近处的一个区间，使得，从而推得存在，由此得解.7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)证明：当时，．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【难度】0.65【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间【分析】（1）先求导，再分类讨论与两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为的恒成立问题，构造函数，利用导数证得即可.方法二：构造函数，证得，从而得到，进而将问题转化为的恒成立问题，由此得证.【详解】（1）因为，定义域为，所以，当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减；当时，令，解得，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）方法一：由（1）得，，要证，即证，即证恒成立，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.方法二：令，则，由于在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，故，则，当且仅当时，等号成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以要证，即证，即证，令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．【答案】（1）证明见详解（2）【难度】0.15【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点【分析】（1）分别构建，，求导，利用导数判断原函数的单调性，进而可得结果；（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究在上的单调性，求导，分类讨论和，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.【详解】（1）构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；构建，则，构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，即对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；综上所述：.（2）令，解得，即函数的定义域为，若，则，因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，不合题意，所以.当时，令因为，且，所以函数在定义域内为偶函数，由题意可得：，（i）当时，取，，则，由（1）可得，且，所以，即当时，，则在上单调递增，结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意；（ⅱ）当时，取，则，由（1）可得，构建，则，且，则对恒成立，可知在上单调递增，且，所以在内存在唯一的零点，当时，则，且，则，即当时，，则在上单调递减，结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，所以是的极大值点，符合题意；综上所述：，即，解得或，故a的取值范围为.【点睛】关键点睛：1.当时，利用，换元放缩；2.当时，利用，换元放缩.二、课程标准•考情分析【课程标准】（1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系．（2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．【5年考情分析】5年考情分析考题示例考点分析难易程度（简单、一般、较难、很难）2024年新I卷，第10题,6分利用导数求函数的单调区间一般2024年新I卷，第18题,17分利用导数求函数的单调性很难2024年新Ⅱ卷，第11题,6分利用导数研究具体函数单调性较难2024年新Ⅱ卷，第16题,15分利用导数研究含参函数单调性很难2023年新I卷，第19题,12分含参分类讨论求函数的单调区间很难2023年新Ⅱ卷，第22题,12分利用导数求函数的单调区间(不含参)很难2022年新I卷，第7题,5分用导数判断或证明已知函数的单调性一般【2026考向预测】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为13-17分。本节内容是新高考卷的必考内容，一般会在解答题考查，同时小题也会考查用导数判断函数单调性，且近年来导数和其他版块知识点关联密集，是新高考备考的重要内容。三、知识点•逐点夯实知识点一：单调性基础问题条件恒有结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导＞0f(x)在(a，b)上单调递增＜0f(x)在(a，b)上单调递减＝0f(x)在(a，b)上是常数函数知识点二：讨论单调区间问题1、不含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；2、含参数单调性讨论（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；（5）导数图像定区间；知识点3、求单调性的解题步骤（1）、确定函数的定义域；（2）、求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；（3）、把函数的间断点（即的无定义点）的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；（4）、确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性．特别注意：单调递增；单调递增；单调递减；单调递减．四、重点难点•分类突破考点1不含参函数的单调性例1、（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数的图象在点处的切线方程为.(1)求a，b的值；(2)求的单调区间与极值.【答案】(1)，.(2)递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值.【难度】0.65【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值【分析】（1）先根据导数的运算法则求出；再根据切点、切线和导数的几何意义之间的关系列出方程组即可求解.（2）令可求出函数的单调增区间，令可求出函数的单调减区间，进而可得到函数的极值.【详解】（1）由可得：，，则.由直线方程可得：直线斜率为：.因为函数的图象在点处的切线方程为，所以，解得：.故，.（2）由（1）可得，.令，得；令，得；则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，函数有极小值.故函数的递减区间为，递增区间为，有极小值，无极大值.例2、（2025·北京西城·模拟预测）已知函数，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)当时，求函数的单调递减区间；(3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围．【答案】(1)(2)，(3)【难度】0.65【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数【分析】（1）当时，求出的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；（2）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间；（3）令，分析可知，函数在上有且只有一个异号零点，对实数a的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数a的不等式，综合可得出实数a的取值范围.【详解】（1）当时，，则，所以，曲线在点处的切线方程为，（2）当时，，所以该函数的定义域为，，由，解得或，所以当时，求函数的单调递减区间为，（3）因为，则，令，因为函数在区间上只有一个极值点，则函数在上有一个零点，当时，对任意的，，不合乎题意；当时，函数在上单调递增，因为，只需，合乎题意；当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线，因为，只需，不合乎题意，舍去.综上所述，实数a的取值范围是.【变式训练1】、（2025·海南·模拟预测）已知函数的图象在处的切线与直线平行．(1)求函数的单调区间；(2)若，且时，，求实数的取值范围．【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减(2)【难度】0.4【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数【分析】（1）对于求导，根据切线与直线平行，求出，代入进行求解单调区间；（2）由，恒成立，转化为，构造函数，转化为对恒成立，从而求解范围.【详解】（1）的导数为，可得的图象在处的切线斜率为，由切线与直线平行，可得，即，，由，可得，由，可得，则在上单调递增，在上单调递减．（2）因为，若，由，即恒成立，设，所以在为增函数，即对恒成立，可得在恒成立，由的导数为，当，可得，在单调递减，在单调递增，即在处取得极小值，且为最小值，可得，解得，则实数的取值范围是．【变式训练2】、（2025·山东青岛·模拟预测）已知函数(1)当时，求单调区间(2)讨论极值点的个数.【答案】(1)答案见详解(2)答案见详解【难度】0.65【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值点【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（2）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值点个数.【详解】（1）当时，定义域为，且，令，解得或（舍去），即，当时，；当时，；所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）函数的定义域为，由题意知，，当时，，所以在上单调递增，即极值点的个数为个；当时，令，，可得，易知，故解关于的方程得，（舍去），，即，则，所以当时，，即在上单调递增，当时，，即在上单调递减，即极值点的个数为个.综上，当时，极值点的个数为个；当时，极值点的个数为个.考点2含参函数的单调性例3、（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若有极小值，且极小值大于，求的取值范围．【答案】(1)分类讨论，答案见解析；(2)【难度】0.65【知识点】根据极值求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间【分析】（1）求出函数的定义域，对函数进行求导，分和来讨论单调性；（2）由（1）求出函数的极小值，列出不等式，将不等式转化为，令，研究函数的单调性来求解即可．【详解】（1）的定义域为．①时，，此时在上单调递减；②时，令得，令得，此时在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）知时，，整理得．令，则，当且仅当即时取等号，故在上单调递增，又，所以的取值范围为．例4、（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)求证：.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【难度】0.65【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间【分析】（1）先求出导函数，再根据判别式分类讨论得出单调区间即可；（2）先证明不等式，再代入，累加法计算证明即可.【详解】（1），，对于方程，当，即时，，函数在上单调递减；当，即时，方程有两个不相等的实数根，，且，当或时，；当时，，即函数在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，.（2）由（2）知，当时，函数在上单调递减，又，当时，，即当时，.，，即，当时，，当时，，当时，，当时，，累加可得，，即，所以.【变式训练3】、已知函数.(1)讨论的单调性；(2)试比较与的大小；(3)当时，数列满足，，，证明：.【答案】(1)见解析(2)(3)证明见解析【难度】0.4【知识点】利用导数证明不等式、求等比数列前n项和、利用导数求函数（含参）的单调区间【分析】（1）首先对函数求导，然后讨论的取值范围，相应的得出函数的单调区间；（2）令，结合（1）可得，变形得，可得，进而可得；（3）由题意可得，进而构造函数证明，再构造函数，，证明，进而求证即可.【详解】（1）首先对函数求导，则，当时，恒成立，所以函数在上单调递减；当时，令，得；令，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减；当时，令，得；令，得，所以函数在上单调递减，在上单调递增.综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）知，当时，，且函数在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值，即，变形得（当且仅当时取等号）.令，则（因为），即.（3）当时，，则，由，则，设，，则，当时，，则函数在上单调递增，又，则时，，则时，，因为，则，，，.设，，则，所以函数在上单调递减，则，即时，，则，所以，则，即，则，即.【变式训练4】、（2025·江西九江·三模）已知函数，其中．(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：．【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【难度】0.4【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间【分析】（1）求出的导数，再按分类讨论求出单调区间.（2）把代入，等价变形不等式，再构造函数并利用导数求出最小值情况即可.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，①若，即，函数在上单调递减；②若，即，由，得；由，得或，函数在上单调递增，在，上单调递减；③若，即，由，得；由，得或，函数在上单调递增，在，上单调递减，所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，函数的定义域为，不等式，设，求导得，函数在上单调递增，当时，，当时，，则存在唯一的实数，使，即，当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，因此，而函数在上单调递减，当时，，即，所以.考点3函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例5、（2025·全国·一模）已知函数，则的解集为.【答案】【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式【分析】根据导数判断出函数的单调性，根据解析式可判断函数为偶函数，从而可求不等式的解.【详解】函数的定义域为，，当时，，得，在上单调递减，当时，，得，在上单调递增，又，故为上的偶函数，故等价于，即，两边平方解得或.所以不等式解集为，故答案为：例6、（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系【分析】对函数求导，根据导函数可得为R上的增函数，利用单调性比较大小即可.【详解】由，得，，当且仅当，即时等号成立，而，，即在R上单调递增，，，即.故选：A.【变式训练5】、（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，则不等式的解集为．【答案】【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式【分析】利用导数判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，即可求解不等式．【详解】的定义域为，∵，∴函数是上的增函数，∵，∴函数是奇函数，∴由得，∴，∴不等式的解集为．故答案为：．【变式训练6】、（2025·河南·二模）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.65【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、解分段函数不等式、根据函数的单调性解不等式【分析】分类讨论解不等式,再构造函数求导判断函数的单调性求解．【详解】当时，，得，解得或（舍去）；当时，令，则，所以当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减，所以，即当时，恒成立，所以当时，不等式无解.综上，所求不等式的解集为.故选：A.命题点2根据函数单调性求参数例7．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【难度】0.85【知识点】由函数的单调区间求参数【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解.【详解】因为，所以，因为在区间上单调递减，所以，即，则在上恒成立，因为在上单调递减，所以，故.故选：A.例8、（2012高三下·山东日照·月考）若在上是减函数，则实数a的取值范围是.【答案】【难度】0.85【知识点】由函数的单调区间求参数【分析】根据导数的性质，结合常变量分离法进行求解即可.【详解】，因为在上是减函数，所以在上恒成立，即，当时，的最小值为，所以，故答案为：【点睛】本题考查导函数的单调性，及含参数的不等式有解求参数的取值范围问题.【变式训练7】、（2024·江西上饶·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．或【答案】C【难度】0.65【知识点】由函数的单调区间求参数、求正切（型）函数的值域及最值【分析】根据函数单调递增转化为导数不小于0恒成立，分离参数求解即可.【详解】因为函数在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，由在上单调递增知，，所以，故选：C【变式训练8】、若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是.【答案】【难度】0.65【知识点】由函数的单调区间求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题【分析】先求导函数，递减小于0，再解含参数的不等式分类讨论即可.【详解】，由题意知，在上有实数解，即有实数解，当时，显然满足，当时，只需综上所述故答案为：五、分层训练1．（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【难度】0.65【知识点】由函数的单调区间求参数【分析】由题意可得恒成立，进而分，两种情况讨论求解即可.【详解】由，得，因为是上的增函数，则恒成立，即恒成立，当时，，此时不恒成立，不满足题意；当时，等价于对恒成立，则.故选：C.2．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知，且，则下列可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【难度】0.65【知识点】函数奇偶性的应用、用导数