人教版七年级数学上册专题12几何图形初步章末重难点题型（13个题型解析版）

专题12几何图形初步章末重难点题型（13个题型）

辎吸专甄导版

一、经典基础题

题型1直线、射线、线段、角的基本概念

题型2角的表示、换算及比较大小

题型3直线、射线、线段的实际生活中的应用

题型4线段、角度中的计数问题

题型5作图问题

题型6与线段有关的计算

题型7实际背景下线段的计算问题

题型8钟面上的角度问题

题型9方位角问题

题型10一副直角三角形板中的角度问题

题型11与角平分线（角的和差）有关的计算

题型12余角、补角、对顶角的相关计算

题型13七巧板相关问题

二、优选提升题

9经冷家做题•

题型1直线、射线、线段、角的基本概念

解题技巧：熟练掌握直线、射线、线段基本性质和概念。

例1.（2022•广东汕头七年级期末）下列说法：（1）两点之间线段最短；（2）两点确定一条直线；（3）同一

个锐角的补角一定比它的余角大90°：（4）A、B两点间的距离是指A、B两点间的线段；其中正确的有（）

A.一个B.两个C.三个D.四个

【答案】C

【分析】（1）根据线段的性质即可求解；（2）根据直线的性质即可求解：（3）余角和补用一定指的是两个

角之间的关系，同角的补角比余角大90。；（4）根据两点间的距离的定义即可求解.

【解析】（1）两点之间线段最短是正确的；（2）两点确定一条直线是正确的;

（3）同一个锐角的补角一定比它的余角大90。是正确的：

（4）A、B两点间的距离是指A、B两点间的线段的长度，原来的说法是错误的.故选C.

【点睛】本题考查了补角和余角、线段、直线和两点间的距离的定义及性质，是基础知识要熟练掌握.

变式1.（2022•山东潍坊•七年级期末）如图，下列说法正确的是（）

---•♦♦

ABO

A.点O在射线84上B.点4是直线A6的端点

C.到点8的距离为3的点有两个D.经过4,8两点的直线有且只有一条

【答案】D

【分析】根据射线、直线定义判断A、B,根据两点间的距离判断C,根据直线公理判断D.

【详解】解：点。在射线上，故A错误，不符合题意；

直线没有端点，故B错误，不符合题意：

平面内到点8距离为3的点有无数个，故C错误，不符合题意；

经过48两点的直线有且只有一条，故D正确，符合题意；故选：D.

【点睛】本题考查射线、直线定义，两点间的距离及直线公理，解题的关键是掌握相关定义、定理、公理.

变式2.（2022•河北七年级期末）下列说法正确的是（）

A.连接两点的线段，叫做两点间的距离B.射线。八与射线4。表示的是同一条射线

C.经过两点有一条直线，并且只有一条直线D.从一点引出的两条直线所形成的图形叫做角

【答案】C

【分析】根据线段、射线、宜线的定义即可解题.

【解析】解：A.连接两点的线段长度，叫做两点间的距离

B.射线OA与射线AO表示的是同一条射线，错误,射线具有方向性，

C.经过两点有一条直线，并且只有一条直线,正确，

D.错误，应该是从一点引出的两条射线所形成的图形叫做角，故选C.

【点睛】本题考查了线段、射线、直线的性质，属于简单题，熟悉定义是解题关键.

题型2角的表示、换算及比较大小

例1.（2022•山东莉泽•七年级期末）角度换算：26。48'=

【答案】26.8

【分析】根据度分秒的换算法则求解即可.

【详解】解：26。48'=26。+（48+60）。=26。+0.8。=26.8。，故答案为：26.8.

【点睛】本题考查了度分秒的换算，解决本题的关键是掌握度分秒的换算法则.

变式1.（2022•江西吉安•七年级期末）如下图，下列说法正确的是（）

A.N1与乙403表示同一个角B.△=/C.图中共有两个你Z1,4D.4表示4OC

【答案】A

【分析】根据角的表示方法表示各个角，再判断即可.

【详解】解：A.皿与财08表示同一个角，正确，故本选项符合题意；

B./1=/夕不一定成立，故选项错误，不符合题意；

C.图中共有三个角：Z1,“，0AOC,故选项错误，不符合题意；

D.4表示NBOC,故选项错误，不符合题意.故选：A.

【点睛】本题考查了对角的表示方法的应用，正确表示角是解题的关键.

变式2.（2022•湖南永州•七年级期末）若/4=32。18',4=32。1。30*,ZC=32.25°,则（）.

A.Z4>ZB>ZCB.ZS>ZA>ZCC.Z4>ZC>ZBD.ZC>ZA>ZB

【答案】A

【分析】将三个角的度数都转化成度分秒的形式后，即可得到三个角的大小关系.

,,

【详解】解：01°=60；团0.25°=60&0.25=15‘；00C=32015;

032018,>32O15,3O,,>32°15,；00A>（3fi>0C.故选：A.

【点睛】本题主要考宜角的大小比较，需要熟练掌握度数与度分秒形式之间的转化.

题型3直线、射线、线段的实际生活中的应用

解题技巧：主要考查”两点确定一条直线”和“两点之间，线段最短”，弄明白两者的区别即可

例1.（2022•陕西•西安铁一中分校七年级期末）下列现象能用“两点确定一条直线”来解释的是（）

①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到3地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；

③植树时，只耍确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；

④把弯曲的公路改直，就能缩短路程.

A.①③B.①②C.②④D.③④

【答案】A

【分析】直接利用直线的性质以及两点之间线段最短分析得出答案.

【详解】解：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上，根据是两点确定一条直线；

②从A地到8地架设电线，总是尽可能沿着线段A3架设，根捱是两点之间线段最短；

③值树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，根据是两点确定一条直线；

④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，根据是两点之间线段最短.故选：A.

【点睛】此题主要考查了线段以及直线的性质，解题的关键是正确把握相关性质.

变式1.(2022・河南，累河•七年级期末)下列现象：

(1)用两个钉子就可以把木条固定在墙上；

(2)从A地到。地架设电线，总足尽可能沿着线段八。架设；

(3)植树时，只要确定两颗树的位置，就能确定同一行树所在的直线；

(4)把弯曲的公路改直，就能缩短路程.

其中能用“两点之间，线段最短〃来解释的现象有()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(2)(4)

【答案】D

【分析】利用直线和线段的性质对选项逐一进行判断得出结论.

【详解】(1)利用两点确定一条直线解释，故不符合题意；

(2)可用“两点之间，线段最短”解释，故符合题意；

(3)利用两点确定一条直线解释，故不符合题意；

(4)可用“两点之间，线段最短”解糅，故符合题意.故选：D.

【点睛】本题考查直线和线段的性质，解决本题的关键是对直线和线段的性质熟练应用并熟悉两者的区别.

题型4线段、角度中的计数问题

例1.(2022•山西•右玉县七年级期末)阅读并填空：

问题：在一•条直线上有A,B,C,。四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？

要解决这个问题，我们可以这样考虑，以A为端点的线段有A8,AC,AO3条，同样以8为端点，以。为

端点，以。为端点的线段也各有3条，这样共有4个3,即4x3=12(条)，但人4和胡是同一条线段，即

每一条线段重复一次，所以一共有条线段.那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有

条线段；若在一条直线上有〃个点，则这条直线上共有条线段.

知识迁移：若在一个锐角408内部画2条射线OC,0D,则这个图形中总共有个角；若在408

内部画〃条射线，则总共有个角.

学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段

线路准备种不同的车票.

【答案】6,10,—----6,------------二20

22

【分析】问题：根据线段的定义解答；知识迁移：根据角的定义解答；

学以致用：先计算出线段的条数，再根据两站之间需要两种车票解答.

【详解】解：问题：根据题意，则竽=6；胃=10；%二D；

222

知识迁移：在0AOB内部画2条射线OC,OD,则图中有6个不同的角，在财08内部画〃条射线。C,OD,

OE,则图中有1+2+3+...+〃+（91）个不同的角;

2

学以致用：5个火车站代表的所有线段的条数gx5x4=10,需要车票的种数：10x2=20（种）.

故答案为：6.10,^1）,6,（〃+2）（〃+』20;

22

【点睛】此题考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意.

变式1.（2022.山东青岛.七年级期末）平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是"?个，最多是〃个，

则〃汁〃的值为（）

A.18B.20C.22D.24

【答案】C

【分析】根据平面内两两相交直线交点的个数所呈现的规律得出〃?、〃的值即可.

【洋解】解：平面内两两相交的7条直线，其交点个数最少是1个，即m=1,

平面内两两相交的7条直线，其交点个数最多是1+2+3+4+5+6=21（个），即〃=21,

所以〃?+〃=22,故选：C.

【点睛】本题主要考查了直线相交的交点情况，找出交点个数是解题的关键.

变式2.（2022・广西贺州•七年级期末）如图，从Z4O3的顶点引出两条射线OC,OD,图中的角共有（）

B

A.3个B.4个C.6个D.7个

【答案】C

【分析】按一定的规律数角的个数即可.

【详解】解：以0A为一边的角有：NAOO,N4OC,N4O8,

以。。为一边的角有：ND0C/D0B,以0C为一边的角有：ZCOB、

所以，图中共有6个角，故选：C.

【点睛】本题通过数角的个数，巩固处的概念，难度适中.

题型5作图问题

解题技巧：（1）尺规作图：做已知线段的和差倍数问题；（2）常规作图：与线段射线直线有关的基本作图。

例1.（2022•河北保定•七年级期末）如图，在平面内有4、B、C三点.（1）画直线A8,射线AC,线段BC；

⑵在线段上任取一点。（不同于RC）,连接AO,并延长至E使DE=AD;（尺规作图，不写作

法，保留作图痕迹）；（3）数一数，此时图中线段共有一条.

A，'B

・

C

【答案】（1）见解析⑵见解析（3）8条

【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义作图；

（2）根据在线段3C上任取一点。（不同于4C）,连接线段AD,并延长AO至点E,使。E=4D即可；（3）

根据图中的线段为AB,AC,AD,AE,DE,BD,CD,BC,即可得到图中线段的条数.

（1）如图，直线48,线段8c，射线AC即为所求；

（2）如图，线段A。和线段即为所求；

A

B

（3）图中有线段A3、AC.40、A£、DE、BC、BD、CD,一共8条.

【点睛】考查了直线、射线、线段的定义，解题的关键是熟练掌握直线、射线、线段定义.

变式1.（2022•安徽宣城•七年级期末）（1）请在给定的图中按照要求画图：

C

AB

①画射线人&②画平角团切。；③连接AC.（2）点仄C分别表示两个村庄，它们之间要铺设燃气管道.若

节省管道，则沿着线段铺设.这样做的数学依据是：.

【答案】（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）两点之间，线段最短

【分析】（1）①根据射线的定义，作出图形即可：②根据平角的定义，作出图形即可：③根据线段的定

义，作出图形即可；（2）根据两点之间线段最短解决问题.

【详解】解：（1）①如图，射线A8即为所求：

②如图，团A⑺即为所求；③如图，线段AC即为所求；

（2）沿着线段8。铺设.这样做的数学依据是：两点之间线段最短.

【点睛】本题主要考查了直线，射线，平角的定义，线段的基本事实，熟练掌握直线是两端都没有端点、

可以向两端无限延伸、不可测量长度的线；射线是只有•个端点，它从•个端点向另一边无限延长不可测

量长度的线：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段；两点之间线段最短是解题的关键.

变式2.（2022•河南淮滨县•七年级期末）如图，在同一平面内有四个点A,B,C,D,请用直尺按下列要

求作图：（1）作射线CD：作直线AO：连接（2）如果图中点A,B,C,。表示四个村庄，为解决

四个村庄的缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池P，要求蓄水池P到四个村庄的距离和最小，请你找

出蓄水池P的位置.

纥・D

【答案】（1）见解析；（2）图见解析，理由：两点之间，线段最短

【分析】（1）根据直线的定义：两端没有端点，可以向两端无限延伸，不可测量长度，射线的定义：直线上

的•点和它•旁的部分所组成的图形，线段的定义：两点都有端点，不可延长，作图即可：

（2）根据两点之间线段最短即可确定P的位置.

【详解】解：（1）所作图形如图1所示.

（2）如图2,连接AC,BD,

则AC与8D的交点P为满足要求的蓄水池的位置，理由：两点之间，线段最短.

【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，直线，射线与线段的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相

关知识进行求解.

题型6与线段有关的计算

例1.（2022•浙江•七年级期末）如图,线段AB=8cm,C是线段48上一点,M是A8的中点,N是AC的中点.（1）

AC=3cm,求线段CM、的长；（2）若线段=线段5C=〃，求MN的长度（/〃<〃用含"?，〃的代

数式表示）.

ANCMB

【答案】（1）CM=lcm,A/M=2.5cm；（2）

【分析】（1）求山AM长，代入CMMM-4C求出即可；分别求出AN、AM长，代入M/V=AMY/V求出即可;

（2）分别求出AM和八N,利用4M-4V可得MN.

【详解】解：（1）,••AB=8a〃，历是A3的中点，・•.AM=；A8=4a〃，

AC=3cm»CM=AM-AC=4-3=\cm；

・・・AB=8a〃，AC=3cm,A/是/W的中点，N是AC的中点，

AM=—AB=4cm,AN=-4C=1.5C/H,/.MN=AM-AN=4-1.5=2.5cm；

22

（2）vAC=/n,BC=/z».，.AB=AC+BC=,

•・・A1是AA的中点，N是AC的中点，.•.AM=：48=ga〃+〃），4N=；AC=g〃，，

:.MN=AM-AN=-（m+n）--m=-n.

【点睛】本题考查了两点之间的距离，线段中点的定义的应用，解此题的关键是求出AM、4N的长.

变式1.（2022•湖南新邵县•七年级期末）如图，线段48=22cm,C是48上一点，且AC=14cm,。是48

的中点，线段。C的长度是（）

I---------------------------------1-------1-------------------------L

AOCB

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】B

【分析】根据。是八8的中点，求得A。的长，即可求解.

【洋触J解：国。是A8的中点，AB-22cm,WA-OB-AB-^22-11（cm）,

WC=AC-AO=14-11=3（cm）.故选：B.

【点睛】此题主要考查了线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题的关键.

变式2.（2022♦浙江・）定义：当点C在线段48上，=时，我们称〃为点C在线段4B上的点值，记

作%A8=〃•

甲同学猜想：点C在线段AB上，若AC=2BC,则4小.=：.

乙同学猜想：点C是线段AB的三等分点，则比必，

关于甲乙两位同学的猜想，下列说法正确的是（）

A.甲正确，乙不正确B.甲不正确，乙正确C.两人都正确D.两人都不正确

【答案】A

【分析】本题根据题目所给〃却3=〃的定义对两人的猜想分别进行验证即可得到答案，对于乙的猜想注意

进行分类讨论.

【详解】解：甲同学：•・•点C在线段>48上，且AC=23C,八8,.•.，媵即二楙，.•.甲同学正确.

乙同学：•・•点C在线段AB上，且点C是线段AB的三等分点，，有两种情况，

①当"=!他时，%②当=时，"出让:，二•乙同学错误.故选：N

。JJJ

【点睛】本题主要考查对于新定义和线段的等分点的理解，对于线段的三等分点注意分类讨论即可.

题型7实际背景下的计算问题

例1.(2022•北京海淀区•七年级期中)如图，直线上的四个点48,C,。分别代表四个小区，其中A小区

和B小区相距am,8小区和C小区相距200m,C小区和。小区相距am,某公司的员工在4小区有30人，

8小区有5人，C小区有20人，。小区有6人，现公司计划在4B,C,。四个小区中选一个作为班车停靠

点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在()

卜am--------200?//------->U-amf

ABCD

A.A小区B.8小区C.C小区D.。小区

【答案】B

【分析】根据题意分别计算停靠点分别在8、。、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解.

【详解】解：因为当停靠点在4区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5a+20x(200+a)+6(2a+200)=

37C+5200(m),

因为当停靠点在8区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30a+20x200+6(a+200)=36a+5200(m),

当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30(a+200)+5x200+6。=36。+7000("),

当停靠点在。区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30x(26+200)+5(a+200)+20a=98o+7000(m),

因为36a+5200<37a+5200<36G+7000<98a+7000,

所以当停靠点在8小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在8区.故选：B.

【点睛】本题主要考查了两点间的距离，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键.

变式1.(2022•浙江•七年级期中)在数轴上有一线段A8,左侧端点A,右侧端点8.将线段A8沿数轴向

右水平移动，则当它的左端点A移动到和右端点原位置重合时，右端点3在数轴上所对应的数为24,若将

线段沿数轴向左水平移动，则右端点B移动到左端点原位置时，左端点A在轴上所对应的数为6(单位：

c〃?)(1)线段力4氏为.(2)由题(1)的启发，请你借助“数轴〃这个工具帮助小红解决下列问

题：问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄.爷爷说："我若是你现在这么大，

你还要等30年才出生；你若是我现在这么大，我己经是120岁的老寿星了，哈哈！”则推算爷爷现在的年

龄是_________

£4B）

624

【答案】6cm70岁

【分析】（1）据题意，可知点4和点8'之间的距离为18,且正好是线段AB长的3倍，则可求出AB的长（2）

在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红和爷爷的年龄差看做线段AB的长，结合（1）即可求出爷爷的年龄.

【详解】（1）如图所示，AA,=AB=BB',44,=344=24-6=1&帆，.•.所以A8=.

（2）借助数轴，把小红和爷爷的年龄差看做线段AB的长，类似爷爷和小红大时看做当B点移动到A点时，

此时点A对应的数为-30,小红和爷爷一样大时看做当点A移动到B点时，此时点夕所对应的数为120,根

据（1）中提不，可知爷爷比小红大30）=50（岁）

所以爷爷的年龄为120-50=70（岁）.故答案为：①6cm；②70岁.

【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离和线段的应用，找出蕴含的数量关系，以及利用数轴直观解决问

题是解题关键.

变式2.（2022・江苏宿迁•七年级期末）如图，直线/上有A,B,C,。四点，点P从点A的左测沿直线，从

左何右运动，当出现点。与人B,C,。四点中的至少两个点距离相等时，点。就称为这两个点的黄金伴

侣点，例：若阳=PB,则在点。从左向右运动的过程中，点尸成为黄金伴侣点的机会有（）

___I_____II__I1___

PABCD

A.4次B.5次C.6次D.7次

【答案】C

【分析】由题意知，点尸与A,&C,。四点中的至少两个点距离相等时，恰好点尸是其中一条线段的中

点，根据线段中点定义解答即可.

【详解】解：由题意知，点P与A,B,C,。四点中的至少两个点距离相等时，恰好点P是其中一条线段

的中点，图中共有六条线段：AB,BC、CD、AC.AD.BD,

回点P成为黄金伴侣点的机会有六次，故选：C.

【点睛】此题考查了线段中点的定义，确定线段的数量，正确埋解题意得到线段中点定义是解题的关

题型8钟面上的角度问题

例1.（2022•福建泉州•七年级期末）时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转.以

下请你解答有关时钟的问题：（1）分针每分钟转了几度？

（2）中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121。？

⑶在⑵中所述分针与时针所成的钝角等于121。后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于121。？

【答案】（1）6。（2）22（3）等

【分析】（1）根据分针一小时转一圈即360。，用360。除以60计算即得；（2）根据分针每分钟转6。，时针每

分钟转0.5。，时针与分针转过的角度差是121。，列方程解答即可；（3）相对于12时整第二次所成的钝角第

二次等于121。时，时针与分针转过的角度差超过180。，这个差与121。之和是360。.

（1）解：0分针一小时转一圈即360。,

团分针每分钟转过的角度是：360。+60=6。，答：分针每分钟转了6度；

（2）设中午12时整后再经过x分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121。，

团时针一小时转动角度为：360。+12=30。，时分针每分钟转过的角度是：30。+60=0.5。；

回分针与时针所成的钝角会第一次等于121。，

团时针与分针转过的角度差是121。，06x-O.5.r=12i,解得：x=22,

答：中午12时整后再经过22分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121。；

（3）设经过），分钟两针所成的钝角会第二次等于121°,

则从12时算起经过（〉，+22）分钟两针所成的钝角会第二次等于121。，

因为时针与分针转过的角度差超过180°,这个差与121。之和是360°,

故列得方程：6（y+22）-0.5（y+22）+121=360,

解得:6（y+22）-0.5（y+22）+121=360,解得:>=答,

答：经过答分钟两针所成的钝角会第二次等于121。.

【点睛】本题通过钟面角考查一元一次方程，掌握时针分针的转动情况，会根据已知条件列方程是解题的

关键.选择合适的初始时刻会简化理解和运算难度，起到事半功倍的效果.

变式1.（2022•辽宁葫芦岛•七年级期末）每天中午12点30分是“校园之声"节目都会如约而至，此时时针与

分针所夹的的角为（）

A.180°B.165°C.155°D.150°

【答案】B

【分析】根据时钟上一大格是30。进行计算即可解答.

【详解】解：由题意得：6x3(r-；x3(r=18(r-15o=165。，回时针与分针所夹的的角为165。，故选：B.

【点睛】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是30。是解题的关键.

变式2.(2022•浙江丽水•七年级期末)如图2是从图1的时钟抽象出来的图形，已知三角形A8C是等边三角

形，乙4=601当时针OP正对点A时恰好是12：(X),若时针。产与三角形A8C一边平行时，时针所指的

时间不可能是()

【答案】D

【分析】根据题意可知，需要分三种情况，分别画出图形，可根据时钟得出结论.

【详解】解：根据题意可知，需要分三种情况，如下图所示：

当。尸〃A8时，如图2(1),此时对应的时间为［:00或7：00;

当。P//AC时，如图2(2),此时对应的时间为5：00或11：00：

当。P//8C时，如图2(3),此时对应的时间为3：00或9：00：故选：D.

【点睛】本题主要考查分类讨论思想，对于时钟的认识，找到每种情况是解题关键.

题型9方位角问题

例1.(2022•浙江丽水•七年级期末)如图，射线OA表示北偏东30。方向，射线OB表示北偏西50。方向，则财OB

C.90°D.1006

【答案】B

【分析】根据题意可得加。8=30。+50。，进而得出答案.

【详解】解：如图所示:

北

囿射线OA表示北偏东30。方向，射线。8表示北偏西50。方向,

配14。8=30°+50°=80°.故选：B

【点睛】此题主要考查了方向角问题，根据题意借助互余两角的关系求出是解题关键.

变式1.(2022・河北廊坊•七年级期末)如图，小明从4处沿南偏西6530'方向行走至点B处，又从点8处沿

北偏西7230,方向行走至点E处，则a4BE=()

A.11430'B.108C.137D.138

【答案】D

【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得图2=明=6530'、回1=7230',则四8七=团1+02,最后计算即可.

【详解】解：如图：

团小明从A处沿南偏西6530'方向行走至点B处,又从点B处沿北偏西7230’方向行走至点E处

002=03=6530'，01=723Of0[ZL4SE=01+02=138°.故答案为D.

北

【点睛】本题主要考杳了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键.

变式2.（2022•福建泉州•七年级期末）如图，是表示北偏东X。的一条射线，。8是表示北偏西（90-），）。的

一条射线，若N4OC=ZAO8,则OC表示的方向是（）

\B乙A。于

0\小

A.北偏东（90-3x）。B.北偏东（90+x-y）。C.北偏东（90+2x—），）。D.北偏东（%7-），）。

【答案】C

【分析】根据题意求得MOB的度数，根据角的和差以及N4OC=ZAO8,可得回DOC的度数，即可得出结

论.

【详解】解:如图,

3%，

OE小

田是表示北偏东X。的一条射线，。8是表示北偏西（90-），）。的一条射线,

0ZAOD=x0,NDOB=（90-y）°,0ZAOB=（90—y+文）。，

回=：.ZAOC=（90-y+x）°,

.ZAOD=x°,ZOOC=ZAOD+ZAOC=（x+90->'+x）0=（90-y+2x）0.故选C.

【点睛】本题考查了方位角的表示，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键.

题型10一副直角三角形板中的角度问题

例1.（2022•山东枣庄•七年级期中）如图，将两个直角三角板的顶点叠放在一起进行探究.

⑴如图①，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起，若CE恰好是的平分线，请你猜想此时CB

是不是13ECQ的平分线，并简述理由；（2）如图②，将一副直角三角板的直角顶点。叠放在一起，若CB始

终在（3QCE的内部，请猜想HACE与（3OC8是否相等，并简述理由.

【答案】⑴C3是团ECD的角平分线；理由见详解；（2）财。七=皿乂£：；理由见详解；

【分析】（1）根据MCB=90。，CE是幽的角平分线，可知团ECB=；（3AC8=45。，进而可知皿）C8=（3EC。一

团ECB=90。-45。=45。，则回ECB=QC8,由此可证C8是回ECQ的角平分线；

（2）由0ACB=OOCE=9O°,可知0ACE+t3ECB=9O°,0DCB+0ECfi=9O°,则0AC四3OC8.

（1）解：猜想CB是（3EC。的角平分线，理由如下：

配L4C8=90。，CE是（MC8的角平分线，

物EC8=ya4CB=45°,^DCB=^ECD~^ECB=90°-45°=45°,

00£CT=0DCB,（3C/3是团£C。的角平分线；

（2）猜想：^ACE^DCE,理由如下：

00ACB=SDCE=9O0,团MC£+团ECB=90°,团。。8+团£。8=90°,^ACE^DCB.

【点睛】本题考查角平分线的判定，角度的转换，能够根据题意分析出角的变换过程是解决本题的关键.

变式1.（2022・山东威海•期末）用一副三角板不能画出的角是（）.

A.75°B.105°C.110°D.135°

【答案】C

【分析】105°=60。|45°,105。角可以用一幅三角板中的60。角和45。角画;75。-45、30°,75。角可以用一幅三

角板中的45。角和30。角画；135。=90。+45。,135。角可以用一幅三角板中的直角和90。角或45。角画；110。角用

一副三角板不能画出.

【详解】解：105。角可以用一幅三角板中的60。角和45。角画;

75。角可以用一幅三角板中的45。角和30。角画；110。角用一副三角板不能画出；

135。角可以用一幅三角板中的直角和90。角或45。角画。故选：C.

【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡

是能用一副三角板画出的角的度数都是15。的整数倍.

变式2.（2022・山东济南•七年级期末）如图，将一副三角尺的两个直角项点。按如图方式叠放在一起，若财OC

=130°,则由8OD=（）

B

A.45°B.50°C.55°D.60°

【答案】B

【分析】根据题意可得NAO8=NDOC=90。，推算出幺。£＞的度数，即可得出/88的度数.

【详解】解：由题可知，ZAOB=ZZXX?=90°,

0EL4OC=13O°,[aZAOD=ZAOC-ZDOC=130°-90o=40o

团40力=4可-4。7）=900—400=500故选B.

【点睛】本题考查了角度的和差计算，推理出角度之间的关系是本题的关键.

题型11与角平分线（角的和差）有关的计算

例1.（2022•辽宁大连市•）如图1,在NAO8内部作射线OC,O。，OC在OO左侧，且NAQ5=2NCOZ）.

E

图1

图2

（1）图1中，若40“=160。,。£平分4",0户平分/30。，fflZEOF=°；

（2）如图2,0E平分N48,探究N8OD与NCOE之间的数星关系，并证明；

（3）设NCOD=〃7。，过点0作射线0E,使0c为NAO£的平分线，再作NC8的角平分线0F,若

/EOC=3/EOF,画出相应的图形并求NAOE的度数（用含m的式子表示）.

33

【答案】（1）120：（2）ZI3OD=2ZAOE,见解析；（3）见解析，丁〃。或

【分析】（1）根据角平分线的性质得到NAOE=NCOE=gN4OC,NQO「r=/8O/=gN3。。，再结合已知

条件即可得出答案；（2）根据角平分线的性质与已知条件进行角之间的加减即可证明出结论；

（3）根据角平分线的性质结合已知条件进行角度之间的加减运算，分类讨论得出结论即可.

【详解】解：（1）回408=160。，4OB=2/COD,0ZCOD=80°,0Z4OC+ZBOD=8O°,

田OE平分ZAOC,O/平分NBOD,（3NAOE=ZCOE=-/AOC"DOF=4B0F=-4B0D,

22

0ZCOE+Z.DOF=-（ZAOC+^BOD）=40°,⑦NEOF=NCOE-NFOD+NCOD=120。,故答案为：120；

2

（2）ZBOD=2ZAOE.

证明：E）O石平分NAOQ,EZAOD=2ZEOD,

0?COE?COD?EOD,0ZEOD=ZCOD-ZCOE.

0Z4OD=2（ZCOD-ZCOE）=2ZCOD-2NCOE.

回ZAOB=2NCOD,0ZAOD=ZAOB-2ZCOE.

团ZBOD=ZAOB-ZAOD,（3NBOD=NAOB-心OB-2ZCOE）=2ZCOE,回ZBOD=2/8E；

（3）如图1,当OE在O/的左侧时，

团OF平分NC8,0ZCOF=lzCOD,ZCOD=/n°,（3ZCOF=-/n°,

22

0ZCOF=ZCOE+ZEOF,ZCOE=3Z£OF,

113

团NCO尸=4NEO产=一〃严，0ZEOF=-/w°,^ZCOE=3ZEOF=-m°.

288

3

团0c为NAOEt的平分线，^ZAOE=2ZCOE.mNAOE=一〃?°；

4

图1图2

如图2,当0E在O尸的右侧时，团。尸平分NCOD,[3NCO"=；NCO。,

团NCOO=〃/，0ZCOF=-w°,6NC0F=NC0E—/E0F,NC0E=3NE0F,

2

113

^ZC0F=2ZE0F=-in°0ZEOF=-/n°,^ZCOE=3ZE0F=-mQ.

2f44

333

团OC为Z4O£的平分线，NA0E=2NC0E==/〃。.综上所述，NAOE的度数为：加。或.

242

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与角度之间的加减运算，关键在于根据图形分析出各角之间的数

量关系.

变式1.（2022•天津和平区•七年级期中）如图，点。是直线八8上的一点，0COD=80°,。£平分团80C.

（1）如图1,若MOC=40。，求团DOE的度数.（2）在图1中若凶OC=a（其中ZCTVaVlOO。），请直接用含

a的代数式表示回。。£的度数.不月说明理由.（3）如图2.①请直接写出加。。和13DOE的度数之间的关系，

不用说明理由.②在M0C的内部有一条射线OF,满足蜘OC-4MOF=2回BOE+MOF.试确定M0F与团。OE

的度数之间的关系，直接写出关系式即可，不用说明理由.

【答案】（1）10°；（2）^-a-10°；（3）@04OC=20DOE+2O°；②4团。。£-5MOF=140°.

【分析】（1）由M0C的度数可以求得团8OC的度数，由OE平分M0C,可以求得团COE的度数，又由团。0C=

80。可以求得回DOE的度数；（2）由第（1）问的求法，可以直接写出同。OE的度数;

(3)①首先写出MOC和回DOE的度数之间的关系，由回80=80",OE团8OC+附OC=180。，可以

建立各个角之间的关系，从而可以得到附OC和回。。£的度数之间的关系：

②首先得到MOF与团。OE的度数之间的关系，由MOC-404OF=2(38OE+蜘OF,0COD=8O°,OE^^BOC,

M0C和团。OE的关系，可以建立各个角之间的关系，从而可以得到M0F与团。OE的度数之间的关系.

【详解】解：(1)皿。C=40°,函8OC=180°-M0C=140°.

团。£平分团BOC,^COE-^BOC.00COE-70°.

物DOE=(3COD-0COF=80°-70°=10°.

(2)酿AOC=a,03BOC=180°-a.

团。£、「分团8OC,00CO£=y0BOC.00COf=90°-^a.

团团。OE=mCOD-团COE=80°-90°+[a=^a-10°.

22

(3)①姐OC=2团DOC+20°.

理由：团OE平分(38OC,038OC=213COE.

团团CO。=80°,M0C+回8OC=180°,

团团DOE短COE=80°,0Aoe+2团COE=180°田mCO£=80°-WOE.

0[^OC+20COE=18OO.EEWOC+2(80°-(3DOE)=180°.化简，得：MOC=2(3DOE+20°；

②物DOE-5EWOF=140°.

理由：^AOC-4^AOF=2^BOE+^OFt的OC-2回8OE=5MOF.

团OE平分团8OC,图3E0C=®B0E,^AOC-2^E0C=S^A0F.

由(3)①知：MOC=2(3DOE+20°,020DOf+2O°-20EOC=504OF.

00EOC=0COD-^DOE=30°-WOE,020DOE+2O0-2(80°-0DOE)=5M0F.

04SDOE-140°=5MoF.BPA^DOE-504OF=14O°.

【点睛】此题主要考查角度的关系综合，解题的关键是熟知角平分线的性质、邻补角的特点.

变式2.(2022•广西南宁市•)如图，己知Z4a?=120°,OC是NAOB内的一条射线，旦NAOC:NBOC=1:2.

N,

BC

B

\/\/

°A°备用图A

（1）求NAOC,NBOC的度数：（2：作射线OM平分ZAOC,在NAOC内作射线ON，使得4C0N/B0N=1:3,

求ZMON的度数；（3）过点。作射线。。，若2/40/）=3/800,求NC8的度数.

【答案】（1）ZAOC=4（），NBOC=80;（2）NMQN=40;（3）NCOD=32。或NCOZ）=176

【分析】（1）由N4OB=12（F,NAOCN80c=1:2即可求出NAOC,N8O。的度数；

（2）由N8OC=80，/CON"BON=1:3,求出NCON；由。W平分ZAOC,且NAOC=40,求出NCOM

的度数；然后由NMON=NCON+NC0W得到结果：

（3）分类讨论，画出相关图形，当射线。。在NAOB内部时，根据条件，计算出相关角度，由

ZCOD=ZBOC-ZBOD,得到结果；当射线0。在4OB外部时，由NCOD=NBOC+NBOD,得到结果.

【详解】解：（1）（3403=120°,Z4OC:NBOC=1:2

12

0ZAOC=120x-=40,ZBOC=120x-=80

33

（2）01ZBOC=80,/CON"BON=1:3®NCON=80xl=20

4

又R射线OM平分ZAOCt且ZAOC=400NCOM=40xl=20

0ZMON=ZCON+ZCOM=20+20=40

（3）分两种情况，讨论：①当射线。。在NAOB内部时，作图如下：

3

02ZAOD=3Z^OD04A0D=-/B0D

2

3

乂叵ZAOD4-NBOD=ZAOB,且N/108=120。用-NBOD+NBOD=l20

2

23

团N8O£>=120x-=48,ZAOD=-ZBOD=12

52

又值NCOD=NBOC-NBOD©/COD