高职院校单招考试总复习指导与同步练 数学

高职院校单招考试总复习指导与同步练：数学目录立体几何09概率与统计初步10逻辑代数初步11复数12集合01不等式02函数03指数函数与对数函数04三角函数05数列06平面向量07算法与程序框图13平面解析几何08

第1章

集合考情聚焦考查方向本章是单招考试的必考内容，一般以选择题的形式考查，难度不大；常与不等式、函数等内容结合进行考查，主要考查方向为：①集合之间的关系和集合的运算；②充分必要条件复习建议在本章的复习过程中，要准确理解元素的概念与性质，集合的概念、分类及其与元素的关系，学会应用常用数集、空集和全集；同时熟练掌握集合的两种表示法和集合间关系的判定方法，并能够进行集合的运算和充分必要条件的判断知识框架知识点1集合与元素知识点2集合之间的关系知识点3集合的运算目

录章节导航知识点4充分必要条件集合与元素知识回顾

典例精讲

活学活练

01知识回顾1）集合集合是由某些确定的对象组成的整体，简称集．集合常用大写英文字母表示，如A，B，C，…．2）元素组成集合的对象称为这个集合的元素，常用小写英文字母表示，如a，b，c，…．集合中元素的特征有：1．集合的概念①确定性②互异性③无序性点击此处播放微课知识回顾1．集合的概念3）元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就称a属于A，记作aϵA．如果a不是集合A的元素，就称a不属于A，记作

．4）集合的分类知识回顾1．集合的概念易错警示①

。②区分

和0：

表示集合，0表示元素。③区分

和

：

代表的是空集，本质是一个集合；

代表的是含有一个元素“

”的集合．5）常用数集及其记法知识回顾1．集合的概念知识回顾2．集合的表示法典例精讲

例1

下列对象能否组成一个集合？（1）所有短发的女生； （2）1～10以内的所有奇数；（3）非常大的数； （4）方程

的所有实数根；（5）不等式

的所有解．解析（1）由于“短发”没有具体的标准，表述的对象是不确定的，所以不能构成一个集合．（2）由于1～10以内的所有奇数包括1，3，5，7，9五个数，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合．（3）由于“非常大的数”没有具体的标准，表述的对象是不确定的，所以不能构成一个集合．（4）方程

的所有实数根为

和

，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合．（5）解不等式

，可得

，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合．【名师点睛】本题考查集合的概念，即集合是由某些确定的对象组成的整体；如果表述的对象是不确定的，就不能构成一个集合．点击此处播放微课典例精讲

变式训练1

以下对象能构成集合的是__________．（1）某校2035年招收的高个子学生； （2）著名的数学家；（3）与0接近的全体实数； （4）在直角坐标平面内，第一象限内的所有点．典例精讲

例2

设集合

，

，则下列表述中正确的是（）．A． B． C． D．解析元素a与A集合的关系应是属于与不属于，因为

，所以

．故选A．【名师点睛】本题考查元素与集合的关系及其符号表示．典例精讲变式训练2

设集合

，

，则（）．A． B． C． D．典例精讲例3

若

，求实数ɑ的值．解析因为

，所以

，解得

．故实数ɑ的值为2或-1．【名师点睛】本题考查根据元素与集合之间的关系计算集合中的未知数ɑ，但应注意要将计算结果代入集合中进行检验，观察是否满足集合中元素的互异性特征，即集合中的任何两个元素必不相同．典例精讲变式训练3

集合

，若

，求实数ɑ的值．典例精讲例4

用列举法表示下列集合．（1）英文单词good中的字母组成的集合； （2）方程

的解集；（3）大于-7且小于7的偶数组成的集合．解析（1）

； （2）

； （3）

．【名师点睛】本题考查集合列举法的应用，用列举法表示集合时，需先确定元素，同时需注意集合中元素的互异性特征．典例精讲变式训练4

用列举法表示下列集合．（1）

； （2）

；（3）

．例5

用描述法表示大于3的所有奇数组成的集合．典例精讲解析该集合中元素的共同属性可以描述为

且

，所以这个集合可以表示为

．【名师点睛】本题考查集合描述法的应用．敲黑板用描述法表示集合时，应注意以下几点：（1）用于描述元素特征性质的语句要简明、准确，不产生歧义；多特征描述时，应准确使用“且”“或”等关联词；（2）所有描述的内容都要写在大括号内；（3）在不引起混淆的情况下，还可用描述法的简略形式表示集合，如{正整数}{实数}等．典例精讲

变式训练5

用描述法表示下列集合．（1）不超过6的整数构成的集合； （2）不等式组

的解集；（3）不小于2的全体实数．若集合中的元素较少，通常用列举法表示；若集合中的元素较多或无限，则通常用描述法表示，但如果这些元素存在一定的规律，在不产生误解的情况下，也可以用列举法表示．解题通法活学活练一、单项选择题

1．下列对象中，不能构成集合的是（）．A．本专业全体女生B．本专业全体学生家长C．本专业所有任课教师D．本专业所有成绩较好的学生

2．下列关系中，正确的是（）．A． B． C． D．

3．若集合

，则集合中元素的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．4

活学活练一、单项选择题

4．集合

中的a不能取的值是（）．A．-2 B．-1

C．0 D．1

5．下列集合中，属于空集的是（）．A． B．C． D．

6．用描述法表示集合

，下列表示中错误的是（）．A．

B．

C． D．活学活练一、单项选择题7．以下集合中，属于有限集的是（）．A． B． C． D．

8．直线

与

y轴的交点所组成的集合为（）．A． B． C． D．9．集合

表示第（）象限内的点集．A．一、三 B．一 C．三 D．二、三

10．不等式

且

，

用列举法可表示为（）．A． B． C． D．活学活练二、填空题1．将适当的符号（

，

）填入下列空格中．（1）0________； （2）-2________Z；（3）_______Q； （4）e________R．

2．数集

中，x的取值范围是______．

3．集合

用列举法可表示为_____________．

4．用描述法表示所有正偶数组成的集合为_____________．

5．在直角坐标系中，第二象限内所有的点组成的集合为_____________．活学活练三、解答题

1．分别指出下列集合中的空集、有限集和无限集．（1）

； （2）

；（3）

； （4）

．

2．设集合

，已知

，求

ɑ

的值．课堂小结这小结我们学习了集合与元素包括：集合的概念和集合的表示法，并进行了活学活练，希望大家课下多加复习，可以更加深刻的了解集合的概念。集合之间的关系知识回顾

典例精讲

活学活练

02知识回顾典例精讲例1

设集合

，试写出集合A的子集、非空子集、真子集和非空真子集．解析由集合A可得其子集为

，共8个；非空子集为

，共7个；真子集为

，共7个；非空真子集为

，共6个．【名师点睛】一般地，如果集合A有n个元素，那么它共有

2n个子集、2n-1个非空子集、2n-1个真子集和2n-2个非空真子集．典例精讲

变式训练1

一个集合的非空子集有

63

个，则这个集合的非空真子集的个数为________．典例精讲

例2

已知集合

，

，集合M满足

．这样的集合M共有（）．A．7个 B．255个 C．256个 D．254个解析集合

M应是集合A与集合

的非空子集的并集，所以集合M的个数即为集合

的非空子集的个数．因为集合C的元素个数为8，所以集合C的非空子集的个数为

，即集合M的个数为255．故选B．【名师点睛】根据子集和真子集的定义，可得集合M的个数即为集合

的非空子集的个数．典例精讲变式训练2

满足

的集合A的个数为（）．A．1 B．2 C．3 D．4典例精讲

例3

下列选项中，A和B表示同一个集合的是（）．A．

，

B．

， C．

， D．

，解析

A选项中，

，集合A与B相等；B选项中，集合A与B的元素个数不同，故两集合不相等；C选项中，集合A与B的元素完全相同，两集合相等；D选项中，集合A与B中的元素不同，即两个点的坐标不同，故两集合不相等．故选C．【名师点睛】判断两个集合是否相同，需判断它们的元素是否相同，与元素的排列顺序无关．典例精讲变式训练3

判断下列各组集合之间的关系．典例精讲

例4

若集合

，

，

，求m的值．典例精讲

变式训练4

设集合

，

，

，求实数

ɑ

的取值范围．典例精讲例5

已知

，

，若

，求实数

a

的取值范围．解析因为

，所以B不是空集．因为

，所以有

解得

．【名师点睛】如图所示，可利用数轴比较两个集合的端点，列出不等式，进而求解未知数的取值范围．解题通法对于此类实数不等式问题，可借助数轴，将集合语言转化为图形语言，通过观察图形进而求解实数的值或取值范围．典例精讲

变式训练

5

已知

，

，若

，求实数ɑ的取值范围．活学活练一、单项选择题

1．集合

共有（）个非空真子集．A．14 B．15 C．16 D．17

2．若集合

，则（）．A． B． C． D．3．满足

的集合A的个数为（）．A．6 B．7 C．8 D．9活学活练一、单项选择题

4．数集

之间的关系是（）．A． B． C． D．5．

下列四个命题中，错误命题的个数是（）．①子集只有本身的集合为空集；②任何一个集合必有两个或两个以上的子集；③空集是任何一个集合的子集；④

．A．0 B．1 C．2 D．3

6．已知集合

，则集合B=

且

的子集有（）．A．5个 B．6个 C．7个 D．8个活学活练一、单项选择题7．已知集合

，，且

，则实数

ɑ

的取值范围是（）．A． B． C． D．8．已知集合

，

，集合C满足

，则满足条件的集合C有（）．A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

9．若集合

，且A=B，则

（）．A．1 B．±1 C．2 D．±1或210．集合

的真子集的个数为（）．A．1 B．2 C．3 D．4活学活练二、填空题1．集合

的非空子集的个数为__________．

2．将适当的符号（

，

，

等）填入下列空格中．3．已知集合

，

，若

，则

m=_________．4．若集合

，则ɑ=_____，b=______，c=______．

5．满足

的集合M的个数为__________．活学活练三、解答题1．已知集合

，试写出集合A的子集和非空真子集．2．判断下列各组集合之间的关系．

3．已知集合

，集合

，且

，求实数ɑ

的值．

4．若集合

，集合

，且

，求实数ɑ的值．课堂小结这小结我们学习了集合之间的关系，并学习了典例精讲，希望大家课下多加复习，在做题中能够灵活运用集合之间的关系。集合的运算知识回顾

典例精讲

活学活练

03知识回顾1．交集点击此处播放微课知识回顾2．并集敲黑板知识回顾1）全集的定义在研究某些集合时，这些集合常常是一个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，一般用

U

来表示．在研究数集时，经常将实数集

R作为全集．3．补集易错警示全集是一个相对的概念，在不同的情况下，全集的概念也不同．知识回顾2）集合的补集3．补集典例精讲

例

1

设全集

，集合

，

，则

（）．解析因为

，

，所以

．故选C．【名师点睛】先求

，再求

，计算时需注意所求集合中的元素不要遗漏或重复．典例精讲

变式训练

1

设全集

，集合

，

，则下列关系式中错误的有（）． 典例精讲例2

已知集合

，

，求

．解析由题意得，集合A，B的交集就是二元一次方程组

的解集．解方程组，得

所以

．【名师点睛】掌握描述法表示集合的交集的求法．典例精讲

变式训练2

已知集合

，

，求

．典例精讲进行集合的交、并、补运算的步骤：①根据元素满足的条件解方程或不等式，将集合化简；②利用交集、并集、补集的定义进行运算，必要时可借助数轴和Venn图，方便求解．解题通法典例精讲

变式训练3

已知全集为R，集合

，

，求解以下各式．（1）

；

（2）

； （3）

； （4）

．典例精讲

例

4

已知集合

，

，若

，则实数

m的取值范围是（）．A．

B．

C．

或

D．解析集合

，在数轴上画出集合B，如图所示．由图可得

或

，解得

或

．故选C．【名师点睛】先化简集合B，再用数轴表示集合，根据端点之间的关系列出不等式进行求解，最后将结果代入进行验证．典例精讲

变式训练

4

已知集合

，

，且

，求实数

a的取值范围．典例精讲例

5

已知集合

，

，且

，

求

p，q，r的值．解析因为

，所以由交集的定义可得-2是方程

和

的根，将x=-2代入方程

，解得

p=-1，进而解得方程

的另一个根为x=1，所以集合

．又因为

，所以集合

．将x1=-2，x2=5代入方程

可得

解得【名师点睛】由交集的定义可得-2既在集合A中，又在集合B中，即-2是两个一元二次方程的解，将-2代入集合A的方程中可求出

P的值，再由并集的定义得出集合B中方程的另一个根，进而求出

q，r的值．典例精讲变式训练

5

已知集合

，

，若

，

，求实数

a，b

的值．活学活练一、单项选择题

1．已知集合

，则

（）．A． B．C． D．

2．设集合

，

，则

（）．A． B．RC． D．

3．已知集合

，

，则下列关系式中正确的有（）．①

； ②

；③

； ④

．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

活学活练一、单项选择题4．设全集为R，集合

，

，则

（

）．A． B．C． D．

5．已知集合

，

，那么

（）．A． B．C． D．

6．设集合

，

，若

，则

（）．A．2 B．3 C．3或5 D．5活学活练一、单项选择题7．已知全集

，集合

，

，则

（）．A． B． C． D．

8．设集合

，集合

B满足

，则集合

B的个数为（）．A．7 B．8 C．9 D．10活学活练一、单项选择题9．已知集合

，,则

（）．A． B．C． D．

10．已知集合

集合

，则

的非空真子集有（）个．A．4 B．5 C．6 D．7活学活练二、填空题1．已知集合

，则

_______．

2．设A为奇数集，B为偶数集，则有（1）

______；（2）

_______；（3）

______；（4）

_______．

3．设集合

{平行四边形}，

{矩形}，

{菱形}，则

_______，

________，

_______．

4．已知集合

，若

，则实数

m的取值范围是_______．

5．已知集合

，

，且

，则实数ɑ

的取值范围是______．活学活练三、解答题

1．已知全集

，集合

，

，求

，

，

，

．

2．设集合

，

，若

，求实数ɑ

的取值范围．活学活练三、解答题3．设全集

，且集合

，若

，求

m，n的值．

4．某培训中心举办计算机和英语培训班，参加总人数为80．计算机考试合格的人数为58，英语考试合格的人数为42，两科考试都合格的人数为38，求两科考试都不合格的人数．课堂小结这小结我们学习了集合的运算包括：交集、并集、补集，并进行了活学活练。希望大家课下多加复习，将集合的运算熟记于心。充分必要条件知识回顾

典例精讲

活学活练

04知识回顾能够唯一判定真假的陈述句称为命题，常用小写字母

p，q，r，…表示．命题有真有假，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题由条件和结论两部分组成．1．命题知识回顾设条件

p对应的集合为

p，结论

q对应的集合为Q，则充分必要条件的定义、集合表示、记法与读法．2．充分必要条件的定义敲黑板与充分必要条件等价的词语有“当且仅当”“等价于”“有且只有”“反过来也成立”等．知识回顾3．充分、必要条件的传递性若

p是

q的充分条件，q是

r的充分条件，则

p是

r的充分条件，即若

，则

．若

p是

q的必要条件，q是

r的必要条件，则

p是

r的必要条件，即若

，则

．典例精讲例1

将“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”填入下列空格中．（1）“x是实数”是“x是有理数”的_______________；（2）“x是正方形”是“x是矩形”的_______________；（3）“

”是“

”的_______________；（4）“x=0”的_______________是“x2+x=0”．典例精讲解析（1）x是有理数时必然也是实数，但x是实数时不一定是有理数，故“x是实数”是“x是有理数”的必要不充分条件．（2）正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形，故“x是正方形”是“x是矩形”的充分不必要条件．（3）因为

，故“

”是“

”的充分必要条件．（4）x=0能推出x2+x=0，但x2+x=0不一定能推出x=0，所以“x2+x=0”是“x=0”的必要不充分条件，即“x=0”的必要不充分条件是“x2+x=0”．【名师点睛】应用充分、必要和充分必要条件的定义进行条件和结论的正推和反推，进而作出判断．充分、必要条件的判断方法有两种：①定义法，先分别确定条件

p和结论

q，再尝试由条件

p推理结论

q，由结论

q推理条件

p，最后确定条件

p和结论

q的关系；②集合法，根据条件

p和结论

q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．解题通法典例精讲

变式训练1

将“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”填入下列空格中．（1）“x=4”是“（x-4）2=0”的_______________；（2）“ɑ>0”是“

”的________________；（3）“x2=49”是“x-7=0”的_______________；（4）“ɑ是4的约数”是“ɑ是8的约数”的_______________．敲黑板（1）确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明．（2）对一个命题而言，使结论成立的充分条件可能不止一个，必要条件也可能不止一个．典例精讲例

2

已知集合

，若“

”是“

”的充分条件，求实数a的取值范围．解析因为“

”是“

”的充分条件，所以

，所以

，解得

，故实数ɑ的取值范围是

．【名师点睛】理解充分条件的定义，根据命题中条件与结论对应的集合之间的包含关系列出不等式，进而求解参数的取值范围．典例精讲

变式训练

2

已知

，

，且

p

是

q

的充分不必要条件，求实数

m

的取值范围．活学活练一、单项选择题1．“

”是“

”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要2．下列命题中，为真命题的是（）．A． B．C．D．x=3是x2=9的充分不必要条件

活学活练一、单项选择题3．“b=0”是“直线y=kx+b过原点”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要

4．“x>3”是“x2+5x-6<0”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要

5．p是

r的必要条件，s是

r的充分条件，则

s是

p的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要活学活练一、单项选择题6．“

”是“

”的（）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要

7．下列三个命题中，有（）假命题．①若

，

，则

p是

q的充分必要条件；②“

”是“

”的必要不充分条件；③“

”是“

”的必要不充分条件．A．0个 B．1个

C．2个 D．3个

活学活练二、填空题1．若

，

，则

p是

q的_______条件．

2．“

”是“

”的_______条件．

3．“ɑ是2的倍数”是“ɑ是4的倍数”的_______条件．

4．“

”是“

”的_______条件．

5．“

”是“

”的_______条件．活学活练三、解答题指出下列命题中，条件

p是

q结论的什么条件．（1）

，

；（2）p:方程

有实根，

；（3）

，

；（4）p:x和

y都是偶数，q:x+y是偶数．课堂小结这小结我们学习了充分必要条件：命题、充分必要条件的定义和充分、必要条件的传递性。希望大家课下多加复习，加深对本节课的理解。对课件有修改、优化建议，作业布置遇到问题，想免费使用平台或免费建课，请扫描右侧二维码，添加客服微信解决文旌客服联系方式文旌客服谢

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第2章

不等式考情聚焦考查方向本章是单招考试的必考内容，一般以选择题的形式考查，难度不大；常与集合的内容一起考查，主要考查方向如下：①不等式基本性质的应用；②解一元二次不等式和含绝对值的不等式复习建议在本章的复习过程中，要理解不等式的基本性质及各类区间的概念，掌握一元二次不等式与一元二次方程及判别式之间的关系，熟记一元二次不等式的解集公式，学会利用多种方法求解一元一次不等式（组）、一元二次不等式及含绝对值的不等式，并能够用区间表示出不等式的解集和函数的定义域，重点需注意区间端点的取值情况知识框架知识点1不等式的基本性质与区间知识点2一元二次不等式知识点3含绝对值的不等式目

录章节导航不等式的基本性质与区间知识回顾

典例精讲

活学活练

01知识回顾设

，则有1．比较实数的大小这种作差比较两个实数（或代数式）大小的方法称为作差比较法．知识回顾2．不等式的性质点击此处播放微课知识回顾3．区间由数轴上两点间的所有实数所组成的集合称为区间，这两个点称为区间端点．设

，且

，则各种区间表示的集合．知识回顾3．区间敲黑板（1）我们常用区间来表示数集，特别是不等式的解集．另外，利用不等式表示的集合，也常用区间来表示．（2）实数集R是无穷区间，记作

．典例精讲例1

当

时，判断

与

的大小．解析应用作差比较法，因为

，且当

时，

恒成立，所以

．【名师点睛】对于用字母表示的两个实数，一般通过判断它们之间差的符号来比较它们的大小．作差比较法比较实数（或代数式）大小的步骤：作差→变形（可利用因式分解、配方法，将差转化为积的形式或配成完全平方式）→判断符号．解题通法典例精讲变式训练1

设a，b为两个不相等的实数，判断

与

的大小．典例精讲解析

A选项缺少对a，b，c，d同为正数的限制；B选项缺少对c为正数的限制；C选项要成立，还要求

a，b同号；D选项满足同向不等式的可加性．故选D．【名师点睛】本题考查不等式的基本性质及其推论．

例2

下列命题中，正确的是（）．A．若

，

，则 B．若

，则C．若

，则 D．若

，

，则易错警示

不一定成立，需分情况讨论：①若

，

，则

；

②若

，

，则

；③若

，

，则

无意义．典例精讲变式训练2

下列各选项中，正确的是（）．A．

B．C． D．

且敲黑板在判断不等式是否成立时，部分情况下可使用特殊值法，即根据条件取特殊值代入不等式进行验证．典例精讲例3

已知集合

，

，求

，

．解析由集合A，B可得

，

．【名师点睛】用区间表示集合的交集、并集和补集时，可通过数形结合准确表示集合．易错警示在使用区间表示集合时，要特别注意判断区间端点能否取到．典例精讲

变式训练3

设全集为R，集合

，

，求：（1）

，

； （2）

，

； （3）

，

．典例精讲例4

设全集

，集合

，

，则_________，

_________．（用区间表示）解析解不等式可得集合

，

，所以

．由全集

可得

，所以

．【名师点睛】本题考查不等式的求解、集合的运算及区间的表示方法．典例精讲变式训练4

不等式组

的解集用区间表示为_________．典例精讲例

5

函数

的定义域用区间表示为__________________．解析要使函数

有意义，则其分母

，解得

．因此，函数的定义域为

．【名师点睛】对于此类求函数定义域的问题，应考虑全面，重点注意区间端点的取舍．典例精讲变式训练5

函数

的定义域是（）．A．

B．C．

D．活学活练一、单项选择题

1．若

，则下列结论中错误结论的个数是（）．① ； ②

；③ ； ④

．A．1 B．2 C．3 D．4

2．下列命题中，正确的是（）．A． B．C． D．

3．下列说法中，不正确的是（）．A．若，则B．若，，则C．若

，则D．若，则活学活练一、单项选择题

4．若

，则下列结论中错误的是（）．A． B．C． D．5．若

，则下列各式中一定成立的是（）．A． B．C． D．

6．若

，

，且

，则以下四个不等式中正确的是（）．①

；

②

；

③

；

④

．A．①③ B．①④

C．②④

D．②③活学活练一、单项选择题

7．设全集

，集合

，则

（）．A． B．C． D．

8．不等式

的解集用区间表示为（）．A． B． C． D．活学活练一、单项选择题

9．不等式

的解集用区间表示为（）．A． B．C． D．10．已知集合

，则

（）．A． B．C． D．活学活练二、填空题

1．如果

且

，那么

______

．

2．已知

，

，则

______

．3．“

且

”是“

且

”的____________条件．4．函数

的定义域为__________．5．已知集合

，

，则

______，

_________．活学活练三、解答题

1．试比较以下各组式子的大小．（1）

与

；

（2）

与

．

2．求解下列不等式．（1）

； （2）

；

（3）

．活学活练三、解答题

3．已知全集

，集合

，

，求下列集合．（1）

，

； （2）

，

；

（3）

，

．

4．已知集合

，

，且

，求a的取值范围．课堂小结这小结我们学习了不等式的基本性质与区间，并进行了活学活练，希望大家课下多加复习，可以更加深刻的了解集合的概念。一元二次不等式知识回顾

典例精讲

活学活练

02知识回顾1．解一元一次不等式（组）1）求解一元一次不等式任何一元一次不等式最后都能化为形如

（或

）或

（或

）

的不等式（

），然后进行求解．以

为例的一元一次不等式的解集．知识回顾2）求解一元一次不等式组求解一元一次不等式组的方法有两种：1．解一元一次不等式（组）②口诀法．以两个一元一次不等式组成的不等式组为例，其解集如表2-4所示，其中

．①图象法．分别求出每一个不等式的解集，然后利用数轴找出它们的公共部分．知识回顾表2-41．解一元一次不等式（组）知识回顾1）一元二次不等式的含义含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为2．解一元二次不等式知识回顾2）求解一元二次不等式（1）利用因式分解法求解．同解变形后的判断依据是：2．解一元二次不等式或或点击此处播放微课知识回顾2）求解一元二次不等式2．解一元二次不等式具体步骤：①②③将一元二次不等式的右端化为0将左端进行因式分解，并利用以上同解变形后的判断依据，转化为两个一次不等式求出解集．知识回顾2．解一元二次不等式（2）利用一元二次函数的性质求解．当

时，函数

的图象、方程

的解及不等式

的解集之间的关系

．知识回顾（2）利用一元二次函数的性质求解．2．解一元二次不等式敲黑板（1）当

时，根据不等式的性质，可先将其转化为

的形式，得到与原不等式同解的不等式，再按步骤进行求解．（2）当

且

时，也可以先求出对应的一元二次方程的两个实数解，再结合口诀“大于取两边，小于取中间”得出解集．典例精讲例1

解关于x

的不等式：

．解析原不等式移项后，得

．（1）当

时，

，即不等式的解集是

．（2）当

时，

，即不等式的解集是

．【名师点睛】本题考查了分类讨论的数学思想．不等式移项后，需分别讨论

和

两种情况的解集．解题通法解一元一次不等式的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项（转化为

或

的形式）→将未知数的系数化为1（若系数为负，则不等式需变号）．典例精讲变式训练1

解关于x

的不等式：

．典例精讲解析由原不等式组解得

所以原不等式组的解集为

．【名师点睛】先按照解一元一次不等式的步骤分别求出每一个不等式的解集，然后根据“大小、小大取中间”的口诀求其交集，即为原不等式组的解集．例2

解不等式组：典例精讲变式训练2

解不等式组：典例精讲例3

解不等式：

．解析

可变形为

．因为方程

中，

，所以方程

有两个实数解，求得该方程的解分别是

，

，所以不等式

的解集为

，即原不等式的解集为

．【名师点睛】本题可利用一元二次函数的性质及一元二次不等式的解集公式进行求解．解题通法解一元二次不等式的步骤：①化：将不等式转化为

且右端为0的形式；②判：计算对应一元二次方程的判别式∆，判断方程是否有实数解；③求：求出一元二次方程的实数解

；④写：利用口诀“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．典例精讲

变式训练3

解不等式：

．典例精讲例4

已知一元二次不等式

的解集是

，则a-b=_________．解析由不等式

的解集为

可知，方程

的两个实数解为

和

．由韦达定理，得

解得

，

，所以

．【名师点睛】题中一元二次不等式的解集的区间端点取值即为对应的一元二次方程的两个实数解．典例精讲变式训练4

若不等式

的解集为

，求不等式

的解集．典例精讲例5

当

时，不等式

的解集是____________．解析将原不等式

因式分解后，得

因为

，所以

．根据同解变形后的判断依据可得，不等式

的解集为

，即原不等式的解集为

．【名师点睛】解此题的关键是根据

来判断a与2a的大小，进而求解不等式．典例精讲变式训练5

若

，求不等式

的解集．易错警示求解含参数的不等式时，不仅要判断两个实数解的大小关系，还需注意二次项系数的正负，若二次项系数为负，需先将其化为二次项系数为正的不等式，以便正确写出解集．典例精讲

例6

关于x的不等式

对任意实数都成立，求实数

k的取值范围．解析（1）当

时，原不等式可变形为

，x取任意实数时都成立．（2）当

时，由题意，得一元二次函数

的图象如图所示．由图得

即

解得

．综上所述，k的取值范围是

．【名师点睛】（1）因为x2项的系数含有参数k，所以需要分别讨论

和

两种情况．（2）当

时，先大致确定对应一元二次函数的图象，再根据图象得出k与

的范围，进而求解．解题通法对于在R上恒成立的含参一元二次不等式，要求解参数的取值范围，首先，若二次项系数为参数，需分类讨论参数为零、不为零的两种情况；其次，若二次项系数不为零，则可以利用图象法，先确定对应二次函数的大致图象，再结合二次函数的性质将图象特点转化为数学语言；最后，综合所有情况，得出结论．典例精讲变式训练6

已知不等式

的解集是空集，则实数

k的取值范围是________．活学活练一、单项选择题

1．不等式

的解集为（）．A． B．C． D．2．不等式组

的解集为（）．A．

B． C． D．3．不等式

的解集为（）．A．

B．

C． D．R活学活练一、单项选择题

4．不等式

的解集为（）．A． B．C． D．

5．不等式

的解集为（）．A． B．C． D．活学活练一、单项选择题

6．已知集合

，

，则

（）．A． B．C． D．7．已知

的两根分别是-2和3，若

，则

的解集是（）．A． B．C． D．8．若不等式

的解集为

，则b的取值范围是（）．A． B．C． D．

或活学活练一、单项选择题

9．一元二次方程

有两个不相等的实数解的条件是（）．A． B．C． D．

10．一元二次不等式

的解集是R的条件是（）．A． B．C． D．活学活练二、填空题1． 不等式

的解集为_____________．2． 不等式

的解集为________．3． 已知不等式

的解集是

，则

_____________．4． 若根式有意义

，则

______．5． 不等式

的解集为___________．活学活练三、解答题

1． 解下列一元二次不等式．（1）

； （2）

；（3）

； （4） ．

2． 当x

为何值时，

有意义？活学活练三、解答题

3．若方程

有实数解，求

k

的取值范围．

4．当

m为何值时，方程

有两个不相等的实数解？课堂小结这小结我们学习了一元二次不等式包括：解一元一次不等式和解一元二次不等式，希望大家课下多加复习，更加深刻的了解一元二次不等式的概念。含绝对值的不等式知识回顾

典例精讲

活学活练

03知识回顾绝对值内含有未知数的不等式称为含绝对值的不等式．1．含绝对值的不等式的定义知识回顾解含绝对值的不等式的总体思想是将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式．2．解含绝对值的不等式敲黑板对于形如

与的不等式，可以通过“变量替换”的方法求解，就是用单一的字母表示一个代数式，从而使一些数学问题化难为易，化繁为简．例如，不等式

中，设

，则原不等式可转化为

，其解集为

或

，即

或

，进而求出原不等式的解集．典例精讲

例1

解不等式：

．解析由绝对值的几何意义可得

，所以不等式

的解集是

．【名师点睛】

的几何意义是指数轴上表示实数x的点到原点的距离，因此有

．典例精讲变式训练1

解不等式：

．典例精讲例2

解不等式：

．解析不等式

可变形为

，展开，得

，可变形为

，解得

，所以不等式

的解集是

．【名师点睛】题中绝对值内x的系数是负的，需先化负为正，再利用“变量替换”的方法解不等式，变量替换的书写过程可以省略．解题通法解含绝对值的不等式，既可以通过“变量替换”的方法求解，也可以应用“大于取两边，小于取中间”的规律去掉绝对值符号，进而转化为一元一次不等式（组）再进行求解．典例精讲

变式训练2

解不等式：

．典例精讲例3

解不等式：

．解析不等式

可变形为

，解得