第1章专题02二次函数与一元二次方程不等式（原卷版）

专题02二次函数与一元二次方程、不等式目录01理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。02盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。【知能解读01】等式性质与不等式性质【知能解读02】三个“二次”之间的关系【知能解读03】基本不等式03破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。【重难点突破01】利用基本不等式求最值【重难点突破02】不等式恒成立与能成立问题【重难点突破03】含参一元二次不等式的解法04辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。【易混易错01】忽视不等式性质成立的条件致错【易混易错02】忽视基本不等式应用的条件致错【易混易错03】连续使用基本不等式忽略等号同时成立致错【易混易错04】解分式不等式忽略分母不为零致错05点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类【方法技巧01】比较两数（式）的大小【方法技巧02】利用不等式的性质求数（式）的范围【方法技巧03】解一元二次不等式的步骤【方法技巧04】基本不等式的实际应用【方法技巧05】证明不等式01等式性质与不等式性质1、等式的性质性质文字表述性质内容注意1对称性可逆2传递性同向3可加、减性可逆4可乘性同向5可除性同向2、不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a可逆2传递性a>b，b>c⇒a>c同向3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0⇒ac>bca>b，c<0⇒ac<bcc的符号5同向可加性a>b，c>d⇒a＋c>b＋d同向6正数同向可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac>bd同向7正数乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正02三个“二次”之间的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅03基本不等式（3）算术平均数与几何平均数基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3、利用基本不等式求最值已知x>0，y>0，则（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq\r(p).(简记：积定和最小)（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq\f(p2,4).(简记：和定积最大)．01利用基本不等式求最值法一、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系．法二、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式．法三、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况．类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，法四、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题．法五、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值．A．6 B．12 C．2 D．4A． B． C． D．A．4 B．6 C．8 D．9A．4 B．8 C．16 D．3202不等式恒成立与能成立问题一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：03含参一元二次不等式的解法对求含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有：（1）根据二次项系数为正、负及零进行分类；（2）根据判别式与0的关系判断根的个数；（3）有两个根式，有时还需根据两根的大小进行讨论．01忽视不等式性质成立的条件致错辨析：在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时n次方时，一定要注意使其能够这样做的条件．02忽视基本不等式应用的条件致错03连续使用基本不等式忽略等号同时成立致错辨析：连续使用均值不等式求最值或范围,要注意判断每个等号成立的条件，检验等号能否同时成立．04解分数不等式忽略分母不为零致错01比较两数（式）的大小1、作差法：（2）步骤：作差并变形判断差与0的大小得出结论。（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形．2、作商法：（2）步骤：作商并变形判断商与1的大小得出结论。（3）注意：作商时各式的符号应相同，如果均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反，变形方法有分母（分子）有理化，指、对数恒等变形．02利用不等式的性质求数（式）的范围利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解，具体步骤如下：第二步：经过恒等变形，求得待定系数；03解一元二次不等式的步骤第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；第三步：根据不等式，写出解集．04基本不等式的实际应用解实际应用题的三个注意点：1、设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；2、根据实际问题抽象很出有关式关系式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；3、在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解．【典例1】（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（

）A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能A． B． C． D．05证明不等式1、无附加条件的不等式证明：证明时要根据其结构特征，合理地构造并正确选用基本不等式或其变形形式，这也是证明轮换对称结构的不等式（把b换a，a换c，c换b后，代数式不变的