2022年广西桂林中考数学复习训练：第20讲 矩形、菱形、正方形(含答案)

第二十讲矩形、菱形、正方形1．已知四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，下列结论错误的是(B)A．OA＝OC，OB＝ODB．当AB＝CD时，四边形ABCD是菱形C．当∠ABC＝90°时，四边形ABCD是矩形D．当AC＝BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形2．(2021·绍兴中考)数学兴趣小组同学从“中国结”的图案(图1)中发现，用相同的菱形放置，可得到更多的菱形．如图2，用2个相同的菱形放置，得到3个菱形．下面说法正确的是(B)A．用3个相同的菱形放置，最多能得到6个菱形B．用4个相同的菱形放置，最多能得到16个菱形C．用5个相同的菱形放置，最多能得到27个菱形D．用6个相同的菱形放置，最多能得到41个菱形3．如图，四边形ABCD是菱形，E，F分别是BC，CD两边上的点，不能保证△ABE和△ADF一定全等的条件是(C)A．∠BAF＝∠DAEB．EC＝FCC．AE＝AF D．BE＝DF4．(2021·威海中考)如图，在▱ABCD中，AD＝3，CD＝2.连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F.若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC的面积为(B)A．eq\r(5)B．2eq\r(5)C．6D．2eq\r(13)5．(2021·黑龙江中考)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__∠ABC＝90°(答案不唯一)__，使平行四边形ABCD是矩形．6．(2021·新疆生产建设兵团中考)如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF.求证：(1)△ABE≌△DCF；(2)四边形AEFD是平行四边形．【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°，AD＝BC，AD∥BC，∴∠ABE＝∠DCF＝90°，在△ABE和△DCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DC，,∠ABE＝∠DCF，,BE＝CF，))∴△ABE≌△DCF(SAS)；(2)∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，∴BC＝EF＝AD，又∵AD∥BC，∴四边形AEFD是平行四边形．7．(2021·南充期末)如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O.(1)求证：四边形ABEF是正方形；(2)若AD＝AE，求证：AB＝AG；(3)在(2)的条件下，已知AB＝1，求OD的长．【解析】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，∵EF⊥AD，∴四边形ABEF是矩形，∵AE平分∠BAD，∴EF＝EB，∴四边形ABEF是正方形；(2)∵AE平分∠BAD，∴∠DAG＝∠BAE，在△AGD和△ABE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAG＝∠BAE，,∠AGD＝∠ABE，,AD＝AE，))∴△AGD≌△ABE(AAS)，∴AB＝AG；(3)∵四边形ABEF是正方形，∴AB＝AF＝1，∵△AGD≌△ABE，∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，∵AD＝AE，∴AD－AF＝AE－AG，即DF＝EG，在△DFO和△EGO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠FOD＝∠GOE，,∠DFO＝∠EGO＝90°，,DF＝EG，))∴△DFO≌△EGO(AAS)，∴FO＝GO，∵∠DAE＝∠AEF＝45°，∠AFE＝∠AGD＝90°，∴DF＝FO＝OG＝EG，∴DO＝eq\r(2)OF＝eq\r(2)OG，∴DG＝DO＋OG＝eq\r(2)OG＋OG＝1，∴OG＝eq\f(1,1＋\r(2))＝eq\r(2)－1，∴OD＝eq\r(2)(eq\r(2)－1)＝2－eq\r(2).8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为(A)A．4eq\r(5)B．4eq\r(3)C．10D．89．已知：点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，如图所示．求证：DE∥BC，且DE＝eq\f(1,2)BC.证明：延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF，又AE＝EC，则四边形ADCF是平行四边形，接着以下是排序错误的证明过程：①∴DF綊BC；②∴CF綊AD.即CF綊BD；③∴四边形DBCF是平行四边形；④∴DE∥BC，且DE＝eq\f(1,2)BC.则正确的证明顺序应是(A)A．②→③→①→④B．②→①→③→④C．①→③→④→②D．①→③→②→④10．(2021·十堰中考)如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为__20__．11．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是__8eq\r(5)__．12.(2021·来宾质检)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.(1)若AO＝eq\f(1,2)BD，求证：四边形ABCD为矩形；(2)若AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，求证：AE＝CF.【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝eq\f(1,2)BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形；(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE与△CDF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEB＝∠CFD，,∠ABE＝∠CDF，,AB＝CD，))∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AE＝CF.13.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF.(1)求证：四边形OEFG是矩形；(2)若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO＝∠BAO.∵E是AD的中点，∴AE＝OE＝eq\f(1,2)AD，∴∠EAO＝∠AOE，∴∠AOE＝∠BAO，∴OE∥FG.∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形．∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG是矩形；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，∴∠AOD＝90°，∵E是AD的中点，∴OE＝AE＝eq\f(1,2)AD＝5；由(1)知，四边形OEFG是矩形，∴FG＝OE＝5，∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝eq\r(AE2－EF2)＝3，∴BG＝AB－AF－FG＝10－3－5＝2.【核心素养题】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E，F移动过程中：(1)∠EAF的大小是否有变化？请说明理由；(2)△ECF的周长是否有变化？请说明理由．【解析】(1)∠EAF的大小没有变化．理由如下：根据题意，知AB＝AH，∠B＝90°，又∵AH⊥EF，∴∠AHE＝90°，∵AE＝AE，∴Rt△BAE≌Rt△HAE(HL)，∴∠BAE＝∠HAE，同理，△HAF≌△DAF，∴∠HAF＝∠DAF，∴∠EAF＝∠EAH＋∠FAH＝eq\f(1,2)∠BAH＋eq\f(1,2)∠HAD＝eq\f(1,2)(∠BAH＋∠HAD)＝eq