深圳宝安区龙华中英文实验学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

深圳宝安区龙华中英文实验学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案一、压轴题1．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上动点(与点O不重合)，作AF⊥BE，垂足为G，交BO于H．连接OG、CG．(1)求证：AH=BE；(2)试探究：∠AGO的度数是否为定值？请说明理由；(3)若OG⊥CG，BG=，求△OGC的面积．2．已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且，求直线CE的解析式（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；（4）已知点，在抛物线对称轴上找一点F，使的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K，使的值最小，若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知函数均为一次函数，m为常数．（1）如图1，将直线绕点逆时针旋转45°得到直线，直线交y轴于点B．若直线恰好是中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；（2）若存在实数b，使得成立，求函数图象间的距离；（3）当时，函数图象分别交x轴，y轴于C，E两点，图象交x轴于D点，将函数的图象最低点F向上平移个单位后刚好落在一次函数图象上，设的图象，线段，线段围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）4．二次函数的图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B．（1）当m=1时，求顶点P的坐标；（2）若点Q（a，b）在二次函数的图象上，且，试求a的取值范围；（3）在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD．①求点D的坐标（用含m的代数式表示）；②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请直接写出符合条件的整数m的值．5．已知抛物线经过原点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点，与轴交于点，与轴交于点，点是线段上的一个动点(不与端点重合)，过点作交于点，连接（1）求抛物线的解析式及点的坐标；（2）当的面积最大时，求线段的长；（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点和点P，使为直角三角形，请直接写出点的坐标．6．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是_________，位置关系是_________；（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．7．如图1，抛物线的顶点在轴上，交轴于，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴交于，顶点为．（1）求点的坐标和平移后抛物线的解析式；（2）点在原抛物线上，平移后的对应点为，若，求点的坐标；（3）如图2，直线与平移后的抛物线交于．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图①，在中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．（1）观察猜想：图①中，线段与的数量关系是_____________，用含的代数式表示的度数是________________________；（2）探究证明：把绕点顺时针方向旋转到图②的位置，连接，，，当时，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把绕点在平面内任意旋转，若，，，请直接写出线段的最大值和最小值．9．定义：对于已知的两个函数，任取自变量的一个值，当时，它们对应的函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：正比例函数，它的相关函数为.（1）已知点在一次函数的相关函数的图像上，求的值；（2）已知二次函数.①当点在这个函数的相关函数的图像上时，求的值；②当时，求函数的相关函数的最大值和最小值.（3）在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，连结.直接写出线段与二次函数的相关函数的图像有两个公共点时的取值范围.10．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E，F分别在边BC，AB上，AF＝BE＝2，连结DE，DF，动点M在EF上从点E向终点F匀速运动，同时，动点N在射线CD上从点C沿CD方向匀速运动，当点M运动到EF的中点时，点N恰好与点D重合，点M到达终点时，M，N同时停止运动．（1）求EF的长．（2）设CN＝x，EM＝y，求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．（3）连结MN，当MN与△DEF的一边平行时，求CN的长．12．在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）.（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若P为线段BC上一点，过点P作轴的平行线，交抛物线于点D，当△BCD面积最大时，求点P的坐标；（3）若M（m，0）是轴上一个动点，请求出CM+MB的最小值以及此时点M的坐标.13．如图，在直角中，，，作的平分线交于点，在上取点，以点为圆心经过、两点画圆分别与、相交于点、（异于点）．（1）求证：是的切线；（2）若点恰好是的中点，求的长；（3）若的长为．①求的半径长；②点关于轴对称后得到点，求与的面积之比．14．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心的正方形ABCD的边长为4m，我们把轴时正方形ABCD的位置作为起始位置，若将它绕点O顺时针旋转任意角度时，它能够与反比例函数的图象相交于点E，F，G，H，则曲线段EF，HG与线段EH，GF围成的封闭图形命名为“曲边四边形EFGH”．（1）①如图1，当轴时，用含m，k的代数式表示点E的坐标为________；此时存在曲边四边形EFGH，则k的取值范围是________；②已知，把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转45º时，是否存在曲边四边形EFGH？请在备用图中画出图形，并说明理由．当把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转任意角度时，直接写出使曲边四边EFGH存在的k的取值范围．③若将图1中的正方形绕点O顺时针旋转角度得到曲边四边形EFGH，根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；（2）正方形ABCD绕点O顺时针旋转到如图2位置，已知点A在反比例函数的图象上，AB与y轴交于点M，，，试问此时曲边四边EFGH存在吗？请说明理由．15．在平面直角坐标系xoy中，点A(-4,-2)，将点A向右平移6个单位长度，得到点B.（1）若抛物线y＝-x2＋bx＋c经过点A,B，求此时抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下的抛物线顶点为C，点D是直线BC上一动点（不与B，C重合），是否存在点D，使△ABC和以点A,B,D构成的三角形相似？若存在，请求出此时D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线y＝-x2＋bx＋c的顶点在直线y＝x＋2上移动，当抛物线与线段有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．16．如图①，在矩形中，cm，，点从点出发，沿射线以(cm/s)的速度匀速移动．连接，过点作,与射线相交于点，作矩形，连接．设点移动的时间为(s)，的面积为(cm2),与的函数关系如图②所示．(1)=；(2)求矩形面积的最小值；(3)当为等腰三角形时，求的值．17．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在函数的图象上，顶点C、D在函数的图象上，其中，对角线轴，且于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当，时，①点B的坐标为________，点D的坐标为________，BD的长为________．②若点P的纵坐标为2，求四边形ABCD的面积．③若点P是BD的中点，请说明四边形ABCD是菱形．（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出m、n之间的数量关系．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．（1）当△ABD为等边三角形时，①依题意补全图1；②PQ的长为；（2）如图2，当α＝45°，且BD＝时，求证：PD＝PQ；（3）设BC＝t，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示）19．已知四边形是矩形．（1）如图1，分别是上的点，垂直平分，垂足为，连接．①求证：；②若，求的大小；（2）如图2，，分别是上的点，垂直平分，点是的中点，连接，若，直接写出的长．20．对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（-1，0）．（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标________；（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足，求点B的纵坐标t的取值范围；（3）直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是_____________________________．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．(1)见解析；(2)45°；(3)9.【解析】【分析】（1）利用正方形性质，证△ABH

≌△BCE.可得AH=BE

.（2）证△AOH∽△BGH，，，再证△OHG∽△AHB.，得∠AGO=∠ABO=45°；（3）先证△ABG

∽△BFG.

得,所以，AG·GF=BG

2

=（）2=18.

再证△AGO

∽△CGF.得,所以，GO·CG

=AG·GF=18.所以，S△OGC

=CG·GO.

【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=90°，AB=CB，∠ABO=∠ECB

=45°∵AF⊥BE,∴∠BAG+∠ABG=∠CBE

+∠ABG=90°.∴∠BAH=∠CBE.

∴△ABH

≌△BCE.

∴AH=BE

.

（2）∵∠AOH=∠BGH=90°,

∠AHO=∠BHG,

∴△AOH∽△BGH∴∴

∵∠OHG

=∠AHB.∴△OHG∽△AHB.

∴∠AGO=∠ABO=45°,即∠AGO的度数为定值（3）∵∠ABC=90°,AF⊥BE,∴∠BAG=∠FBG,∠AGB=∠BGF=90°,∴△ABG

∽△BFG.

∴,∴AG·GF=BG

2

=（）2=18.

∵△AHB∽△OHG，∴∠BAH=∠GOH=∠GBF.∵∠AOB=∠BGF=90°,∴∠AOG=∠GFC.

∵∠AGO=45°,CG⊥GO,∴∠AGO=∠FGC=45°.∴△AGO

∽△CGF.

∴,∴GO·CG

=AG·GF=18.∴S△OGC

=CG·GO=9.

【点睛】此题为综合题，要熟练掌握正方形性质和相似三角形判定方法还有相似三角形的性质.2．（1）；（2）；（3）点P的坐标为；（4）存在，点K的坐标为【解析】【分析】（1）由于点A、B为抛物线与x轴的交点，可设两点式求解；也可将A、B、C的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可；（2）根据两个三角形的高相等，则由面积比得出，求出AE,根据点A坐标可解得点E坐标,进而求得直线CE的解析式；（3）分两种情况讨论①当四边形为平行四边形时；②当四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答；（4）根据抛物线的对称性，AF=BF，则HF+AF=HF+BF，当H、F、B共线时，HF+AF值最小，求出此时点F的坐标，设，由勾股定理和抛物线方程得，过点K作直线SK，使轴，且点的纵坐标为，则点S的坐标为，此时，,∴KF+KG=KS+KG,当S、K、G共线且平行y轴时，KF+KG值最小，由点G坐标解得，代入抛物线方程中解得，即为所求K的坐标．【详解】解：（1）方法1：设抛物线的解析式为将点代入解析式中，则有．∴抛物线的解析式为．方法二：∵经过三点抛物线的解析式为，将代入解析式中，则有，解得：，∴抛物线的解析式为．（2），．．．．的坐标为．又点的坐标为．直线的解析式为．（3）．∴顶点D的坐标为．①当四边形为平行四边形时，由DQ∥CP，DQ=CP得：，即．．令，则．．∴点P的坐标为．②当四边形为平行四边形时，由CQ∥DP，CQ=DP得：，即．令，则．．∴点P的坐标为．∴综合得：点P的坐标为（4）∵点A或点B关于对称轴对称∴连接与直线交点即为F点．∵点H的坐标为，点的坐标为，∴直线BH的解析式为：．令，则．当点F的坐标为时，的值最小．11分设抛物线上存在一点，使得的值最小．则由勾股定理可得：．又∵点K在抛物线上，代入上式中，．如图，过点K作直线SK，使轴，且点的纵坐标为．∴点S的坐标为．则．（两处绝对值化简或者不化简者正确．）．当且仅当三点在一条直线上，且该直线干行于y轴，的值最小．又∵点G的坐标为，，将其代入抛物线解析式中可得：．∴当点K的坐标为时，最小．【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、平行四边形的性质、、三角形面积、求线段和的最小值（即将军饮马模型）等知识，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．3．（1）（0,1）；1或0（2）（3）【解析】【分析】（1）由题意，可得点B坐标，进而求得直线的解析式，再分情况讨论即可解的m值；（2）由非负性解得m和b的值，进而得到两个函数解析式，设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH，证得四边形GPTH是正方形，求出GP即为距离；（3）先根据解析式，用m表示出点C、E、D的坐标以及y关于x的表达式为，得知y是关于x的二次函数且开口向上、最低点为其顶点,根据坐标平移规则，得到关于m的方程，解出m值，即可得知点D、E的坐标且抛物线过D、E点，观察图象，即可得出S的大体范围，如：，较小的可为平行于DE且与抛物线相切时围成的图形面积．【详解】解：（1）由题意可得点B坐标为（0,1），设直线的表达式为y=kx+1，将点A（-1,0）代入得：k=1，所以直线的表达式为：y=x+1,若直线恰好是的图象，则2m-1=1,解得：m=1，若直线恰好是的图象，则2m+1=1,解得：m=0，综上，，或者（2）如图，，，，设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH，四边形GPTH是正方形，，即；（3），分别交x轴，y轴于C，E两点，图象交x轴于D点二次函数开口向上，它的图象最低点在顶点顶点抛物线顶点F向上平移,刚好在一次函数图象上且，∴，由，得到，，由得到与x轴，y轴交点是，，，抛物线经过，两点的图象，线段OD，线段OE围成的图形是封闭图形，则S即为该封闭图形的面积探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积．探究过程：①观察大于S的情况．很容易发现，，（若有S小于其他值情况，只要合理，参照赋分．）②观察小于S的情况．选取小于S的几个特殊值来估计更精确的S的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种方法，选取以下三种特殊位置：位置一：如图当直线MN与DE平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN与x，y轴分别交于M，N，直线设直线，直线点，位置二：如图当直线DR与抛物线有唯一交点时，直线DR与y轴交于点R设直线，直线，直线点，位置三：如图当直线EQ与抛物线有唯一交点时，直线EQ与x轴交于点Q设直线，直线点，我们发现：在曲线DE两端位置时的三角形的面积远离S的值，由此估计在曲线DE靠近中间部分时取值越接近S的值探究的结论：按上述方法可得一个取值范围（备注：不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案．只要来龙去脉清晰、合理，即可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在0.01之间不得分．）【点睛】本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、坐标平移规则、非负数的性质、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程、不规则图形面积的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计算．4．（1）P（2，）；（2）a的取值范围为：a＜0或a＞4；（3）①D（m，m+3）；②2，3，4．【解析】【分析】（1）把m=1代入二次函数解析式中，进而求顶点P的坐标即可；（2）把点Q（a，b）代入二次函数解析式中，根据得到关于a的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a的取值范围即可；（3）①过点D作DE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥DE于点F，求出二次函数与y轴的交点A的坐标，得到OA的长，再根据待定系数法求出直线AP的解析式，进而求出与x轴的交点B的坐标，得到OB的长；通过证明△ADF≌△ABO，得到AF=OA=m，DF=OB=3，DE=DF+EF=DF+OA=m+3，求出点D的坐标；②因为二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，由①同理可得：C（m+3，3），分当x等于点D的横坐标时与当x等于点C的横坐标两种情况，进行讨论m可能取的整数值即可．【详解】解：（1）当m=1时，二次函数为，∴顶点P的坐标为（2，）；（2）∵点Q（a，b）在二次函数的图象上，∴，即：∵，∴＞0，∵m＞0，∴＞0，解得：a＜0或a＞4，∴a的取值范围为：a＜0或a＞4；（3）①如下图，过点D作DE⊥x轴于点E，过点A作AF⊥DE于点F，∵二次函数的解析式为，∴顶点P（2，），当x=0时，y=m，∴点A（0，m），∴OA=m；设直线AP的解析式为y=kx+b(k≠0)，把点A（0，m），点P（2，）代入，得：，解得：，∴直线AP的解析式为y=x+m，当y=0时，x=3，∴点B（3，0）；∴OB=3；∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAF+∠FAB=90°，且∠OAB+∠FAB=90°，∴∠DAF=∠OAB，在△ADF和△ABO中，，∴△ADF≌△ABO（AAS），∴AF=OA=m，DF=OB=3，DE=DF+EF=DF+OA=m+3，∴点D的坐标为：（m，m+3）；②由①同理可得：C（m+3，3），∵二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，∴当x=m时，，可得，化简得：．∵，∴，∴，显然：m=1，2，3，4是上述不等式的解，当时，，，此时，，∴符合条件的正整数m=1，2，3，4；当x=m+3时，y≥3，可得，∵，∴，即，显然：m=1不是上述不等式的解，当时，，，此时，恒成立，∴符合条件的正整数m=2，3，4；综上：符合条件的整数m的值为2，3，4．【点睛】本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．5．（1）抛物线的解析式为，点的坐标为；（2）；（3）点的坐标为或【解析】【分析】（1）因为抛物线经过原点，A,B点，利用待定系数法求得抛物物线的解析式，再令y=0，求得与x轴的交点F点的坐标。（2）过点作轴于点，先求出直线与坐标轴的两个交点，利用三角函数求出OM与OE的比值，再利用配方法求得面积的最值．（3）利用两点间的距离公式求得，，，再利用勾股定理与分类讨论求出P点的坐标．【详解】解：抛物线经过原点两点在抛物线上解得故抛物线的解析式为令，则解得（舍去），故点的坐标为过点作轴于点，对于当时，；当时，设直线与轴交于点，直线的解析式为则，易求直线的解析式为令，解得故点的横坐标为又当时，的面积最大，此时点的坐标为【提示】把代入，得设点的坐标为则，当时，即解得，故点的坐标为当时，即解得(不合题意，舍去)，故点的坐标为当时．过点作轴．交抛物线于点，连接解得，此时故点与点重合，此时综上可知．点的坐标为【点晴】本题主要考查的是待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，抛物线与xx轴的交点，二次函数与一次函数的交点，勾股定理，三角形的面积，两点间的距离公式，运用了分类讨论思想．6．（1），；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）【解析】【分析】（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN与PM等于DE或CE的一半，又△ABC为等腰直角三角形，AD=AE，所以得PN=PM，且互相垂直；（2）由旋转可推出，再利用PM与PN皆为中位线，得到PM=PN，再利用角度间关系推导出垂直即可；（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM，且PM⊥PN，利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1），；已知点，，分别为，，的中点，根据三角形的中位线定理可得，，，根据平行线性质可得，在中，，，可得，即得，故答案为：；．（2）等腰直角三角形，理由如下：由旋转可得，又，∴∴，，∵点，分别为，的中点∴是的中位线∴，且，同理可证，且∴，，，∴，，∴，即为等腰直角三角形．（3）把绕点旋转的如图的位置，此时，且、的值最长，由（2）可知，所以面积最大值为．【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．7．（1）B点坐标(0，-1)，平移后的抛物线为；（2）点M的坐标为或；（3）存在，，，，，详解见解析．【解析】【分析】（1）将x=0代入抛物线公式求出y值，即可得到抛物线与y轴交点B的坐标，平移后的抛物线的顶点为E(1,4)，可根据顶点式求出平移后抛物线的解析式；（2）因为抛物线向上平移4个单位，所以MN=4，又因为OM=ON，可知点M的纵坐标为-2，将y=-2代入原抛物线，即可求出x值，点M的坐标就可以表示出来．（3）要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，可以画一个以C、F为直径的圆（直径对应圆周角为直角），交抛物线对称轴x=-1可得点、的坐标解，另外可以使∠PCF=90°或∠CFP=90°，可分别得出点、的坐标解．【详解】解：（1）抛物线与y轴相交于点B，将x=0代入，求得y=-1，∴B点坐标(0，-1)．∵设平移后的抛物线为，顶点为E(1,4)，即h=1，k=4，∴，即平移后的抛物线为．（2）如上图所示，∵原坐标顶点A(1，0)，平移后抛物线顶点为E(1,4)，∴抛物线向上平移了4个单位，即MNy轴，MNx轴，又∵OM=ON，MN=4，∴点O在垂直平分线上，点M、N关于x轴对称，∴M点的纵坐标为–2，将代入，得：解得：，∴点M的坐标为或．（3）存在，且，，，．如图所示，点P一共有四种结果，∵C点为平移后的解析式与x轴的左交点，将y=0代入，得，∴C(-1，0)，且点B(0，-1)，将点B(0，-1)、C(-1，0)代入直线BC解析式为：，∴，解得：，即直线BC解析式：，根据题意可知，直线BC与平移后的解析式相交于点F，∴，解得：x=-1（舍）或4，y=-5，即F(4，-5)，∵要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，可以画一个以C、F为直径的圆，该圆与抛物线对称轴x=-1交点即为点P（因为圆的直径对应的圆周角为90°，即∠CPF=90°）∴以C、F为直径的圆，圆心为线段CF的中点(，)，直径为线段CF的长，∴圆的方程为：，将x=1代入圆的方程，得：y=1或-6，即，，∵直线CF解析式：，即斜率k=-1，即直线CF与x轴夹角为45°，要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，则使∠PCF=90°，直线CP与x轴夹角也为45°，即直线CP斜率为1，直线CP的解析式为：，此时该直线与抛物线对称轴x=1的交点为，又∵直线CF解析式：，即斜率k=-1，即直线CF与x轴夹角为45°，要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，则使∠CFP=90°，直线FP与x轴夹角也为45°，即直线FP斜率为1，直线FP的解析式为：，此时该直线与抛物线对称轴x=1的交点为．【点睛】本题考查了一元二次函数与坐标轴、直线的交点，一元二次函数的平移及应用，圆的直径所对应的圆周角为直角等知识点，该题有一定的难度，所以一定要结合图形进行分析，这样才不会把解遗漏．8．（1）MP=NP，180°－；（2）是等边三角形，证明见解析；（3）的最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）由三角形的中位线的判定与性质不难得出，MP=BD，MPBD以及NP=CE，NPCE，因此MP=NP，将利用平行线的性质转化为与的和求解即可．（2）有（1）同理可证MP=NP，MPBD，NPCE，在根据平行线的性质以及三角形外角的性质将转化为，，，这四个角的和，求出的度数，判断的形状即可．（3）由题意不难得出M的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的一个圆，分别找出MN最大与最小时M的位置，分别求出最大最小值即可．【详解】（1）AB=AC，AD=DE，BD=EC，M、P分别是DE、BE的中点，MP=BD，MPBD，，同理可证：NP=CE，NPCE，MP=NP，，=+=+=180°－．（2）由旋转可得：，AD=AE，，在与中，，≌，CE=BD，由（1）同理可证MP=BD，MPBD，NP=CE，NPCE，MP=NP，是等腰三角形，==+，=+=+，=+=+++=180°－120°=60°，是等边三角形．（3）等腰直角中，AD=3，DE=3，M是DE的中点，AM=，M的运动轨迹是以点A为圆心，为半径的一个圆，如图，连接NA并延长分别交⊙A于点M1、M2，等腰直角中，AB=7，BC=7，N是BC的中点，AN=，ANBC，当点M旋转至M1位置时，最大，=+=；当点M旋转至M2位置时，最小，=－=．【点睛】本题较为综合，主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线以及点的运动轨迹，本题关键在于利用平行线的性质将角进行转化以及分析出点的运动轨迹为圆．9．（1）1；（2）①、；②，；（3），【解析】【分析】（1）先求出的相关函数，然后代入求解，即可得到答案；（2）先求出二次函数的相关函数，①分为m＜0和m≥0两种情况将点B的坐标代入对应的关系式求解即可；②当-3≤x＜0时，y=x2-4x+，然后可此时的最大值和最小值，当0≤x≤3时，函数y=-x2+4x-，求得此时的最大值和最小值，从而可得到当-3≤x≤3时的最大值和最小值；（3）首先确定出二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．【详解】解：（1）根据题意，一次函数的相关函数为，∴把点代入，则，∴；（2）根据题意，二次函数的相关函数为，①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2-4x+得m2-4m+，解得：m=2+（舍去）或m=．当m≥0时，将B（m，）代入y=-x2+4x-得：-m2+4m-=，解得：m=2+或m=2．综上所述：m=或m=或m=．②当-3≤x＜0时，y=x2-4x+，抛物线的对称轴为x=2，此时y随x的增大而减小，∴当时，有最大值，即，∴此时y的最大值为．当0≤x≤3时，函数y=-x2+4x，抛物线的对称轴为x=2，当x=0有最小值，最小值为，当x=2时，有最大值，最大值y=．综上所述，当-3≤x≤3时，函数y=-x2+4x的相关函数的最大值为，最小值为；（3）如图1所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．∴当x=2时，y=1，即-4+8+n=1，解得n=-3．如图2所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n与y轴交点纵坐标为1，∴-n=1，解得：n=-1．∴当-3＜n≤-1时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．如图3所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．∵抛物线y=-x2+4x+n经过点（0，1），∴n=1．如图4所示：线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．∵抛物线y=x2-4x-n经过点M（，1），∴+2-n=1，解得：n=．∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y=-x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．综上所述，n的取值范围是-3＜n≤-1或1＜n≤．【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y=-x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．10．（1）1；（2）y=；（3）PD的长为±1或．【解析】试题分析：（1）根据矩形ABCD，A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，可得，，得一，从而可得；（2）先证明∽，从而得到，由AD//BC，可得，从而根据三角函数可得，由得，代入，即可得；（3）分∠CPF的∠FPE的内部与外部两种情况进行讨论即可得.试题解析：（1）∵矩形ABCD，∴，∴，∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）∵PF⊥BP，∴，∴，∵，∴，∴，又∵∠BAP=∠FPE，∴∽，∴，∵AD//BC，∴，∴，即，∵，∴，∴，∴；（3）∠CPF=∠BPE，①如图所示，当点F在CE上时，∵∠BPF=∠FPD=90°，∴∠DPC=∠FPE，∵∠FPE=∠BAP，∴∠DPC=∠BAP，∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，∴△PAB∽△CPD，∴PB：CD=AB：PD，∴PB·PD=CD·AB，∴x（）=2×2，∴x=；②如图所示，当点F在EC延长线上时，过点P作PN⊥CD于点N，在CD上取一点M，连接PM，使∠MPF=∠CPF，则有PC：PM=CH：MH，∵∠BPF=∠DPF=90°，∴∠BPC=∠DPM，∵∠BPE=∠CPF，∴∠BPE=∠EPF，∵∠BAP=∠FPE，∴∠BAP=∠DPM，∵∠ABD=∠BDC，∴△PAB∽△MPD，∴PB：MD=AB：PD，由PD=x，tan∠PDM=tan∠PFC=2，易得：DN=，PN=，CN=2-，PH=2x，FH=，CH=2-x，由PB：MD=AB：PD可得MD=，从而可得MN，在Rt△PCN中利用勾股定理可得PC，由PC：PM=CH：MH可得PM，在在Rt△PMN中利用勾股定理可得关于x的方程，解得x=，综上：PD的长为：或.【点睛】本题考查了相似综合题，涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，三角函数的应用，三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例等，解题的关键是根据图形正确地确定相似的三角形，添加适当的辅助线等.11．（1）EF=2；（2）y＝x（0≤x≤12）；（3）满足条件的CN的值为或12．【解析】【分析】（1）在Rt△BEF中，利用勾股定理即可解决问题．（2）根据速度比相等构建关系式解决问题即可．（3）分两种情形如图3﹣1中，当MN∥DF，延长FE交DC的延长线于H．如图3﹣2中，当MN∥DE，分别利用平行线分线段成比例定理构建方程解决问题即可．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝90°，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵AF＝BE＝2，∴BF＝6﹣2＝4，∴EF＝＝＝2．（2）由题意：＝，∴＝，∴y＝x（0≤x≤12）．（3）如图3﹣1中，延长FE交DC的延长线于H．∵△EFB∽△EHC，∴＝＝，∴＝＝，∴EH＝6，CH＝12，当MN∥DF时，＝，∴＝，∵y＝x，解得x＝，如图3﹣2中，当MN∥DE时，＝，∴＝，∵y＝x，解得x＝12，综上所述，满足条件的CN的值为或12．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．12．（1）；（2）P（，），面积最大为；（3）CM+MB最小值为，M（，0）【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，设P（a，a-3），得出PD的长，列出S△BDC的表达式，化简成顶点式，即可求解；（3）取G点坐标为（0，），过M点作MB′⊥BG，用B′M代替BM，即可得出最小值的情况，再将直线BG、直线B′C的解析式求出，求得M点坐标和∠CGB的度数，再根据∠CGB的度数利用三角函数得出最小值B′C的值.【详解】解：（1）∵抛物线经过点A、B、C，A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），代入表达式，解得a=1，b=-2，c=-3，∴故该抛物线解析式为：.（2）令，∴x1=-1，x2=3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y=kx+b′，将B、C代入得：k=,1，b′=-3，∴直线BC的解析式为y=x-3，设P（a，a-3），则D（a，a2-2a-3），∴PD=（a-3）-（a2-2a-3）=-a2+3aS△BDC=S△PDC+S△PDB=PD×3=，∴当a=时，△BDC的面积最大，且为为，此时P（，）；（3）如图，取G点坐标为（0，），连接BG，过M点作MB′⊥BG，∴B′M＝BM，当C、M、B′在同一条直线上时，CM+MB最小.可求得直线BG解析式为：，∵B′C⊥BG故直线B′C解析式为为，令y=0，则x=，∴B′C与x轴交点为（，0）∵OG=，OB=3，∴∠CGB=60°，∴B′C=CGsin∠CGB==，综上所述：CM+MB最小值为，此时M（，0）.【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．13．（1）见解析；（2）；（3）①或；②或【解析】【分析】（1）连接DO，如图，先根据角平分线的定义以及平行线的性质，得出∠1=∠3，从而得到DO∥BC，再根据∠C=90°，可得出结果；（2）连接FO，根据E为中点，可以得出，在Rt△AOD中，可以求出sinA的值，从而得出∠A的度数，再证明△BOF为等边三角形，从而得出∠BOF的度数，根据弧长公式可得出结果；（3）①设圆的半径为r，过作于，则，四边形是矩形．再证明，得出，据此列方程求解；②作出点F关于BD的对称点F′，连接DE，DF，DF′，FF′，再证明，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解．【详解】（1）证明：连结，∵平分，∴，∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴是的切线．（2）解：∵是中点，∴．∴，∴，．连接FO，又BO=OF，∴△BOF为等边三角形，∴．∴．（3）解：①过作于，则，四边形是矩形．设圆的半径为，则，．∵，∴．而，∴．∴即，解之得，．②作出点F关于BD的对称点F′，连接FF′，DE，DF，DF′，∵∠EBD=∠FBD，∴．∵是直径，∴，而、关于轴对称，∴，，DF=DF′，∴DE∥FF′，DE=DF′，∠DEF′=∠DF′E，∴，∴.当时，，，，由①知，而，∴.又易得△BCD∽△BDE,∴，∴BD2=.在Rt△BED中，DE2=BE2-BD2=4-=，∴DE==DF′.∴与的面积比．同理可得，当时，与的面积比．∴与的面积比为或．【点睛】本题是圆与相似的综合题，主要考查切线的判定，弧、弦长与圆周角的关系，弧长的求法，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线再求解．14．（1）①，；②不存在，作图与理由见解析，；③四边形EFGH是平行四边形，是中心对称图形；（2）存在，理由见解析【解析】【分析】（1）①首先确定点的纵坐标为，点又是反比例函数的图象上的点即满足反比例函数关系式，代入即可求得相对应的横坐标；点是双曲线和正方形能够相交的临界点，从而得到的取值范围．（2）根据（1）的情况，类比进而求解．【详解】解：（1）①∵以原点为中心的正方形的边长为，∴点的纵坐标为∵点在反比例函数的图象上∴∴∴∵存在曲边四边形EFGH，在反比例函数的图象上∴∴又∵∴的取值范围是：②结论：此时不存在曲边四边形理由：将正方形绕点顺时针旋转后位置如图：∵以原点为中心的正方形的边长为∴正方形的对角线为∴∴的中点的坐标为∵对于反比例函数来说，能否构成曲边四边形的临界点是的中点当时，∴∴此时不存在曲边四边形．当把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转45°时，若存在曲边四边形，则旋转任意角度时，存在曲边四边形对于反比例函数来说，能否构成曲边四边形的临界点是的中点当，时，存在曲边四边形∴∴使曲边四边EFGH存在的k的取值范围是：．③将图1中的正方形绕点O顺时针旋转角度得到曲边四边形EFGH，如图所示，由正方形和双曲线的对称性可知，E，G关于原点对称，F，H关于原点对称即OE=OG，OF=OH，∴四边形EFGH是平行四边形，曲边四边形是中心对称图形．（2）存在，理由如下：如图所示，连接OB，OA，OD，作ON⊥AB于N，AP⊥y轴于P，DQ⊥x轴于Q，∵ABCD为正方形，∴OA⊥OB，OA⊥OD，OA=OB=OD，即△OAB为等腰直角三角形∴ON=AB=AN=4，∴MN=AN-AM=4-1=3∴OM=∵∠ONM=∠APM=90°，∠OMN=∠AMP∴△ONM∽△AMP∴，即∴AP=，PM=∴OP=OM+PM=，则A点坐标为∴则反比例函数为由正方形的对称性和旋转的性质可得△OAP≌△ODQ∴OQ=OP=，DQ=AP=∴D点坐标为设直线AD解析式为将A，D代入得解得，∴直线AD解析式为令整理得则方程有两个不相等的实数根，∴直线AD与反比例函数有两个不同的交点∴曲边四边EFGH存在【点睛】本题考查了正方形的性质、反比例函数图象与性质，全等三角形与相似三角形的判定和性质，是一道新定义问题．15．（1）y＝-x2-2x＋6；（2）存在，D(,)；（3）-4≤t＜-3或0＜t≤5．【解析】【分析】（1）根据点A的坐标结合线段AB的长度，可得出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）由抛物线解析式，求出顶点C的坐标，从而求出直线BC解析式，设D(d,-3d+4)，根据已知可知AD=AB=6时，△ABC∽△BAD，从而列出关于d的方程，解方程即可求解；（3）将抛物线的表达式变形为顶点时，依此代入点A，B的坐标求出t的值，再结合图形即可得出：当抛物线与线段AB有且只有一个公共点时t的取值范围．【详解】（1）∵点A的坐标为（-4，-2），将点A向右平移6个单位长度得到点B，∴点B的坐标为（2，-2）．∵抛物线y＝-x2+bx＋c过点，∴,解得∴抛物线表达式为y＝-x2-2x＋6（2）存在.如图由（1）得，y＝-x2-2x＋6＝-(x+1)2＋7，∴C(-1,7)设直线BC解析式为y＝kx＋b∴解之得，∴lBC：y＝-3x＋4设D(d,-3d+4)，∵在△ABC中AC=BC∴当且仅当AD=AB=6时，两三角形相似即(-4-d)2+(-2+3d-4)2=36时，△ABC∽△BAD，解之得，d1=、d2=2(舍去)∴存在点D，使△ABC和以点A,B,D构成的三角形相似，此时点D(,)；（3）如图：抛物线y＝-x2+bx＋c顶点在直线上∴抛物线顶点坐标为∴抛物线表达式可化为．把代入表达式可得解得．又∵抛物线与线段AB有且只有一个公共点，∴-4≤t＜-3．把代入表达式可得．解得，又∵抛物线与线段AB有且只有一个公共点，∴0＜t≤5．综上可知的取值范围时-4≤t＜-3或0＜t≤5．【点睛】本题考查了点的坐标变化、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形相似，解题的关键是：（1）根据点的变化，找出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）假设△ABC∽△BAD，列出关于d的方程，（3）代入点A，B的坐标求出t值，利用数形结合找出t的取值范围．16．（1）1；（2）矩形DEFG面积的最小值为；（3）当△CDG为等腰三角形时，t的值为或4或【解析】【分析】（1）由函数图象可知，△ADC的面积为6，求出AC=5cm，再由图象可知运动时间为5s，则可得出答案；（2）过点E作MN⊥BC，MN与射线BC相交于点N，与AD相交于点M，证明△ENF∽△DME，得出，证明△ENC∽△ABC，得出EF=DE，则S矩形DEFG=EF•DE=DE2．当DE⊥AC时，DE取得最小值，则可得出答案；（3）证明△CDG∽△ADE，得出，可分三种情况：当CG=DG时，当CG=CD时，当CD=DG时，分别求出t的值即可．【详解】（1）由图象可知，△ADC的面积为6，∵矩形ABCD中，AB=3cm，∴CD=3cm，∴S△ADC=×AD×CD=6，∴AD=4cm，∴AC=(cm)，由图象可知当t=5时，点E移动到点C，∴(cm/s)．故答案为：1；（2）如图1，过点E作MN⊥BC，MN与射线BC相交于点N，与AD相交于点M，则在Rt△ENF和Rt△DME中，∵∠NEF+∠MED=90°，且∠MDE+∠MED=90°，∴∠NEF=∠MDE，又∵∠ENF=∠DME=90°，∴△ENF∽△DME，∴，∵EN∥AB，∴△ENC∽△ABC，∴，∴，∴，∴，∴，由垂线段最短知，当DE⊥AC时，DE取得最小值，此时，即，∴矩形DEFG面积的最小值为；（3）∵∠EDG=∠ADC=90°，∴∠EDG-∠EDC=∠ADC-∠EDC，∴∠CDG=∠ADE，又∵，∴△CDG∽△ADE，∴，①如图2，当CG=DG时，有AE=DE，此时点E为AC的中点，，∴；②如图2，当CG=CD时，有AE=AD，此时AE=4，∴t=4；③如图3，当CD=DG时，有AD=DE，∴DE=4，过点D作DH⊥AC于点H，∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，∴△ADH∽△ACD，∴，即，∴，∴，∴．综合以上可得，当△CDG为等腰三角形时，t的值为或4或．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，矩形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．17．（1）①（4，1）；（4，5）；4；②16；③见解析；（2）m+n=32．【解析】【分析】(1)①把点B的横坐标4代入双曲线得出其坐标，利用D点的横坐标与B点的横坐标相等可得出D点坐标由B、D坐标可求出BD的长；②由BD∥y轴，BD⊥AC，点P的纵坐标，可得出A、C两点坐标，从而求出AC长，根据AC、BD的值求出ABCD的面积；③先确定出点D坐标，进而确定出点P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论；（2）先确定出B（4，），D（4，），进而求出点P的坐标，再求出A，C坐标，最后用AC=BD，即可得出结论．【详解】解：（1）①∵，点B得横坐标为4，且在图像上，∴B点的坐标为（4，1）∵，点D的横坐标等于点B的横坐标为4，且在图像上，∴D点坐标为（4，5），∵B（4，1），D（4，5）∴BD=5-1=4．②∵BD∥y轴，BD⊥AC，点P的纵坐标为2，∴A（2，2），C（10，2）．∴AC=8．∴．③∵B（4，1），D（4，5），点P是线段BD的中点，∴P（4，3）．∵BD∥y轴，BD⊥AC，∴A（，3），C（，3）．∴PA=4-=，PC=-4=．∴PA=PC．∵PB=PD，∴四边形ABCD为平行四边形．∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形．（2）∵当四边形ABCD是正方形时，∴BD=AC当x=4时，∴B（4，），D（4，），∴P（4，）∴A（，），C（，）∵AC=BD∴-=-，∴m+n=32．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的判定以及正方形的性质，解题的关键是：（1）①利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出点A，B的坐标；②利用A、C坐标，求出四边形ABCD面积；③利用AC，BD互相垂直平分，找出四边形ABCD为菱形；（2）利用反比例函数图象上点的坐标特征，找出m，n之间的关系．18．（1）①详见解析；②2；（2）详见解析；（3）BD＝．【解析】【分析】（1）①根据题意画出图形即可．②解直角三角形求出PA，再利用全等三角形的性质证明PQ＝PA即可．（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．通过计算证明DF＝FQ即可解决问题．（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t，，利用相似三角形的性质构建方程求解即可解决问题．【详解】（1）解：①补全图形如图所示：②∵△ABD是等边三角形，AC⊥BD，AC＝1∴∠ADC＝60°，∠ACD＝90°∴∵∠ADP＝∠ADB＝60°，∠PAD＝90°∴PA＝AD•tan60°＝2∵∠ADP＝∠PDQ＝60°，DP＝DP．DA＝DB＝DQ∴△PDA≌△PDQ（SAS）∴PQ＝PA＝2．（2）作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H，如图：∵PA⊥AD，∴∠PAD＝90°由题意可知∠ADP＝45°∴∠APD＝90°﹣45°＝45°＝∠ADP∴PA＝PD∵∠ACB＝90°∴∠ACD＝90°∵AH⊥PF，PF⊥BQ∴∠AHF＝∠HFC＝∠ACF＝90°∴四边形ACFH是矩形∴∠CAH＝90°，AH＝CF∵∠ACH＝∠DAP＝90°∴∠CAD＝∠PAH又∵∠ACD＝∠AHP＝90°∴△ACD≌△AHP（AAS）∴AH＝AC＝1∴CF＝AH＝1∵，BC＝1，B，Q关于点D对称∴，∴∴F为DQ中点∴PF垂直平分DQ∴PQ＝PD．（3）如图3中，作PF⊥BQ于F，AH⊥PF于H．设BD＝x，则CD＝x﹣t，∵PD＝PQ，PF⊥DQ∴∵四边形AHFC是矩形∴∵△ACB∽△PAD∴∴∴∵△PAH∽△DAC∴∴解得∴．故答案是：（1）①详见解析；②2；（2）详见解析；（3）．【点睛】本题是三角形综合题目，主要考查了三角形的旋转、等边三角形的性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质，构造全等三角形、相似三角形、直角三角形是解题的关键．19．（1）①详见解析；②30°；（2）【解析】【分析】（1）①过G作MN⊥CD于N，与AB交于点M，则MN∥AD，证明AM=BM，再证明四边形ADNM是矩形，得MN垂直平分CD，再根据垂直平分线定理得结论；②连接CF，证明CF=2CD，延长CD至H，使得DH=CD，连接EH，则CF=CH，由垂直平分线的性质得CF=HF=C