江苏省南通市2024-2025学年高三下学期四模数学试题（解析版）

PAGE1江苏省南通市2024-2025学年高三下学期四模数学试题数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求并集，再求补集即可.【详解】，，则，又，则.故选：B.2.设，为纯虚数，则（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘法，结合纯虚数的定义求解.【详解】依题意，，而，则，解得.故选：A3.已知向量，，若，则（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用向量数量积的运算律和数量积坐标公式计算即可.【详解】因，，则，，由可得，解得.故选：D.4.记数列的前项和为，若，，且是公比为2的等比数列，则（）A.93 B.1023 C.2047 D.3069【答案】B【解析】【分析】先求出，从而得到的值，相加即可.【详解】的首项为，故，所以，，，，故.故选：B5.一个数阵有行4列，第一行中的4个数互不相同，其余行都由这4个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，那么的值最大可取（）A.6 B.12 C.24 D.48【答案】C【解析】【分析】根据排列的意义结合排列数的计算，即可得答案.【详解】由于4个数互不相同，故将这4个数全排列共有种排序方法，而一个数阵有m行4列，要使任意两行的顺序都不相同，故m的值最大为24，故选：C.6.若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，可得正三棱柱的高和底面正三角形的内切圆半径，可求出底面正三角形的外接圆半径，可求出外接球的半径和表面积．【详解】因为半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，所以正三棱柱的高，底面正三角形的内切圆半径为1，则底面正三角形的外接圆半径，所以该正三棱柱外接球半径为，所以外接球的表面积为．故选：D．7.已知抛物线的焦点是双曲线的一个顶点，为与的交点，，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出，得到，由抛物线焦半径公式得到，进而求出，代入双曲线方程，得到，求出渐近线方程.【详解】由题意得，的一个顶点坐标为，故，由于为与的交点，，故，解得，将代入中得，将，代入中得，又，故，所以的渐近线方程为.故选；B8.已知函数若对于任意，，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据的解析式，结合函数的单调性可得：等价于且，从而可知不等式在,上恒成立，然后根据基本不等式求最值，算出的最小值为，进而可得实数的取值范围．【详解】对于，函数在上为常数1，在处连续，且在上为增函数，因此等价于，对任意恒成立，由①可知，，结合②可得，而，当时，即时，等号成立，结合，可知在,上为增函数，可得，所以，即实数的取值范围是．故选：C．【点睛】思路点睛：本题是含参数的不等式恒成立问题；解决此类问题的思路是转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某研究机构随机选取了100位高三女生及其父亲的身高数据进行研究，计算得到样本相关系数，女生身高（单位：）关于父亲身高（单位：）的经验回归方程为，下列判断正确的是（）A.女生身高和父亲身高正相关B.女生身高和父亲身高不存在相关关系C.已知父亲身高为，估计女儿的身高为D.若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8985【答案】AC【解析】【分析】利用经验回归方程求解判断AC；利用相关系数的意义判断BD.【详解】对于A，由经验回归方程为，得，则女生身高和父亲身高正相关，A正确；对于B，由知，女生身高和父亲身高有较强的相关关系，B错误；对于C，当时，，估计女儿的身高为，C正确；对于D，从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的相关系数不一定是0.8985，D错误.故选：AC10.已知函数，，则（）A.B.C.在上有3个零点D.有3个零点【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，求出参数，进而求出函数，再利用余弦函数的图象性质逐项判断即可.详解】依题意，，则，而，则，函数，对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，于是或，而，解得，C正确；对于D，由，得，则函数的零点即为函数的图象与直线的交点横坐标，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图：观察图象得函数的图象与直线有3个交点，因此有3个零点，D正确.故选：BCD11.在棱长为2的正方体中，是其表面上一点，且与所成的角为，下列说法正确的是（）A.若是的中点，则B.若在线段上，则C.若，则的轨迹长度是D.若，则不在面上【答案】ABD【解析】【分析】利用几何法求出异面直线的夹角判断AB；由异面直线夹角的定义确定轨迹推理判断CD.【详解】对于A，由，得，又平面，则，A正确；对于B，过作交于，连接，则，，，，B正确；对于C，由，，得射线的轨迹是以为轴，轴截面等腰三角形顶角为的圆锥侧面，当点在底面内时，，点的轨迹是以为圆心，所含圆心角为的圆弧，轨迹长度为；当点在侧面内时，点的轨迹分别是圆锥一条母线的一部分，长度为，因此的轨迹长度是，C错误.对于D，，射线的轨迹是以为轴，轴截面等腰三角形顶角为的圆锥侧面，当点在平面内时，，不在底面上，D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若直线与椭圆交于，两点，，则的离心率为________.【答案】【解析】【分析】根据椭圆的对称性结合点在椭圆上计算求解.【详解】直线与椭圆交于，两点，，则，点在椭圆上可得，即得，所以的离心率为.故答案：.13.心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在后该学生记忆了20个单词.该学生记忆38个单词大约需要________.【答案】10【解析】【分析】根据已知条件求出记忆率，再据此求出记忆38个单词所需的时间.【详解】步骤一：根据已知条件求出记忆率已知函数，其中表示需要记忆的量，表示记忆率，表示时间（min），表示在时间内能够记忆的量.已知，当时，，将这些值代入函数中，可得：，可得：，即，可得：，两边同时取自然对数可得：可得：，则.步骤二：求出记忆38个单词所需的时间当，，时，代入函数中，可得：可得：，即，可得：，两边同时取自然对数可得：可得：因为，所以，可得：，解得.故该学生记忆38个单词大约需要10min.故答案为：10.14.在中，若，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】先得到均为锐角，，利用三角恒等变换，换元后，得到，，由基本不等式求出最小值.【详解】，若，则，此时均钝角，不合要求，故，，即均为锐角，，，故，令，因为，所以，，则，令，则，，其中，当且仅当，即时，等号成立，故.故答案：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为，是首项和公差均为1的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列通项求出，再利用前项和与第项的关系求出.（2）由（1）求出，再作差判断单调性求出最小值.【小问1详解】由是首项和公差为1的等差数列，得，则，当时，，由，得满足上式，所以数列的通项公式.【小问2详解】由（1）得，则，当，时，，当，时，，所以当时，的最小值为.16.如图，在三棱台中，平面，，.（1）证明：平面平面；（2）若二面角的正切值为2，求.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由平面得，又，利用面面垂直的判定定理即可求证；（2）法1：建立空间直角坐标系，设，，分别求平面与平面的法向量，利用二面角的正切值为2即可求解；法2：在平面中，过点作，在平面内，过点作，垂足为，连接，即证，则是二面角的平面角，利用几何法求即可求解.【小问1详解】因为平面，平面，所以.又因为，，平面，，所以平面.因为平面，所以平面平面.【小问2详解】法1：设，，因为平面，平面，所以，，因为，所以两两垂直，所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，.设平面的法向量为，则令，得，，所以.又是平面的一个法向量，所以，化简得，.又因为，解得或（舍），所以.法2：在平面中，过点作，垂足为，在平面内，过点作，垂足为，连接.由（1）平面，平面，所以，又因为，平面，，所以平面.因为平面，所以.又因为，平面，，所以平面，又平面，即，所以是二面角的平面角.设，，则，，所以，因为，，所以，所以，所以.因为二面角的正切值为2，所以，得，所以，因为，所以，所以，得，所以.17.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若在单调递减，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.（2）利用给定单调性建立恒成立不等式，分离参数并构造函数，利用导数求出最小值即可.【小问1详解】函数，求导得，则，所以曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】由在上单调递减，得对恒成立，则对恒成立，设，求导得，令，求导得，函数在上单调递减，，因此，函数在上单调递减，则，，所以实数的取值范围是.18.某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为.（1）求的分布列及数学期望；（2）求的通项公式；（3）证明：.参考公式：若，是离散型随机变量，则.【答案】（1）分布列见解析，（2）（，2，……，）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）设“甲第次在处投进”为事件，“甲第次在处投进”为事件，，2，依题意，的可能取值为0，2，3，4，根据独立事件概率乘法公式分别求解随机变量对应的概率即可得分布列，从而得数学期望；（2）当时，甲第次在处投篮分两种情形：①第次在处投篮且投进；②第次在处投篮且未投进.分别确定概率，结合数列的递推关系得等比数列，根据等比数列的通项公式求解的通项公式即可；（3）第次在处投篮的概率为，在处投篮的概率为，记第次得分，则的可能取值为0，2，3，分别求解概率即可计算数学期望，结合指数函数的性质证明结论即可.【小问1详解】设“甲第次在处投进”为事件，“甲第次在处投进”为事件，，2，依题意，的可能取值为0，2，3，4.，，，，所以的概率分布为0234（分）.【小问2详解】当时，甲第次在处投篮分两种情形：①第次在处投篮且投进，这种情形概率为；②第次在处投篮且未投进，这种情形概率为.所以，故，因为，所以是以为首项，为公比的等比数列.所以，即，，2，……，.【小问3详解】因为第次在处投篮的概率为，在处投篮的概率为，记第次得分，则的可能取值为0，2，3，，，，所以，因为，所以，因为，所以.19.在平面直角坐标系中，已知圆，直线，动圆与圆外切且与相切，记圆心的轨迹为曲线.（1）求的方程；（2）经过点的直线与交于，两点.（i）是上异于的点，设直线，，，的斜率分别为，，，，若，证明：；（ii）记线段的中点为，，是否存在直线，使得，，均为正整数，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）设圆心，圆的半径为，进而根据两圆外切及直线与圆相切列方程求解即可；（2）（i）设，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及可得，进而求证即可；（ii）先假设存在直线，使得，，均为正整数，进而推出矛盾即可求解.【小问1详解】设圆心，