2025届高考数学二轮专题复习与测试大题基础练四概率统计

大题基础练（四）概率统计

1.（2024•广东模拟）某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时

发生故障的概率都是3,且一台机器的故障能由一个修理工处理.已知此厂共有甲，乙，丙

3名修理工，现有两种配备方案，方案一：由甲，乙，丙三人维护，每人负责2台机器；方

案二：由甲乙两人共同维护6台机器.

（D对于方案一，设乃为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求I的分布列与数学期望

£（力；

（2）在两种方案下，分别L算机器发生故障时不能得到刚好修理的概率，并以此为依据来推

断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？

解：（1）由题意可知，X〜BG,；）,

Qg

则户(>=0)=^2=正,

A/=D=cJ-1-1=|,

fU=2)=(j)2-

所以随机变量才的分布列如下表所示:

X012

931

P

16ft76

所以£(a=2X^=1.

*乙

（2）对于方案一：“机器发生故障时不能刚好修理”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一

人负责的2台机器同时发生故障”，考查反而处理这个问题.

其概率为4=1—[1—/V=2）『=l—（1—十1）3=丁72京1：

104uyb

对于方案二：机器发生故障时不能刚好修理的概率为：

c/3、671,3、5Q/、2,3、」36+6x35+15x3'347

;

月=1—（/-Cs.j-（-）-C6.（-）•（-）=1-------获丽-----=F048

所以月＜4,即方案二能让故障机器更也许率得到刚好修理，使得工厂的生产效率更高.

2.（2024•汕头濠江区校级模拟）平安教化越来越受到社会的关注和重视.为了普及平安教

化，学校组织了一次学生平安学问竞赛，学校设置项目/I“地震逃命学问问答”和项目B“火

灾逃命学问问答”.甲、乙两班每班分成两组，每组参与一个项目，进行班级对抗赛.每一

个竞赛项目均实行五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，竞赛结束），假设在项目力中甲班

2I

每一局获胜的概率为？在项目6中甲班每•局获胜的概率为5,且每•局之间没有影响.

(1)求乙班在项目力中获胜的概率；

(2)设乙班获胜的项目个数为尤求1的分布列及数学期望.

解：(1)设“乙班在项目力中获胜”为事务4

2121

则乙班在项目中每局获胜的概率为1一鼻=鼻，不胜的概率为可，所以m=3

AOOJ(TO)+C?

X(i)^x|+dx(^x(^x!=g,

所以乙班在项目月中获胜的概率为

O1

⑵设“乙班在项目8中获胜”为事务员

则P⑦=(»+c次(1)4+dx(|)5=1,

依据题意可知1=0,1,2,

所以P(X=Q)=(1—X(1—1)=|y,

17117

・X=,

又P(X=2)=P(M)=〃(⑷P(B)=7olrL97l7b/o

所以P(X=1)=1一2(1=C)一夕(1=2)=1,

所以x的分布列为：

X012

32117

P

822W2

所以双心=°x||+lX：+2X^=找'

所以乙班获胜的项目个数的数学期望为署.

3.(2024•茂名•模)学校举办学生与智能机器人的围棋竞赛，现有来自两个班的学生报名

表，分别装入两袋，第一袋有5名男生和4名女生的报名表，其次袋有6名男生和5名女生

的报名表，现随机选择一袋，然后从中随机抽取2名学生，让他们参与竞赛.

(1)求恰好抽到一名男生和一名女生的概率；

(2)竞赛记分规则如下：在一轮竞赛中，两人同时赢积2分，一赢一输积0分，两人同时输

Q2

积一2分.现抽中甲、乙两位同学，每轮竞赛甲赢概率况，乙赢概率为(竞赛共进行二轮.

00

(i)在一轮竞赛中，求这两名学生得分的分布列；

(ii)在两轮竞赛中，求这两名学生得分的分布列和均值.

解：(1)设4="抽到第一袋”，出="抽到其次袋”，

B="随机抽取2张，恰好抽到一名男生和一名女生的报名表”，(加=尸(4)=[,〃(。4)=

C；C1205,川，、cfcs6

三=而=]P㈤㈤F=TT

由全概率公式得2(8=P(4)P(84)+P(A"⑻a=9意+9聋=黑：

乙C7乙111i/0

(2)(i)设在一轮竞赛中得分为％则X的可能取值为一2,0,2,

则P(X=-2)=(1-1)X(1-|)=£,

/、3/2、-3、213

m=0)=-x(i--)+(i--)x-=-,

P(X=2)='X、=焉

得分为I的分布列如下：

才-202

6136

p

252525

(ii)设在二轮竞赛中得分为匕

则P的可能取值为-4,-2,0,2,4,

则〃(，.—4)=而乂加=扇，

…a613,136156

P(J=-2)=西义赤+^X酝=四，

…小66,1313,66241

=0)=25X25+25X25+25X25=625,

…、、613,136156

P(~2)-25^25+25X25-625,

36

P(r=4)=1~K=0)-MK=-4)-7>(r=2)-P(r=-2)=—,

oZo

得分为J，的分布列如下:

-4-2024

3615624115636

P

625625625625625

q、36一、156,241,156,36

故E⑺=(-4)X—+(-2)X^+0X^+2X—+4X—=0

4.（2024•东莞模拟）在2024年卡塔尔世界杯亚洲区预选赛十二强赛中,中国男足以1胜3

平6负进9球失19球的成果惨败出局.甲、乙足球爱好者确定加强训练提高球技，两人轮

番进行定位球训练（每人各踢一次台为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置,

一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次台球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得

1分，不进球者得一1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概

率为右乙每次踢球命中的概率为弓，甲扑到乙踢出球的概率为:，乙扑到甲踢出球的概率最

且各次踢球互不影响，

（1）经过一轮踢球，记甲的得分为用,求才的分布列及数学期望；

（2）若经过两轮踢球，用R表示经过笫2轮踢球后甲累计得分高于乙累计得分的概率，求0.

解：（1）经过一轮踢球，记事务力为甲进球，事务〃为乙进球，事务力与事务/相互独立，

112

所以尸（4=?（1一§）=.

P⑵=|x(1—1)=1,

甲的得分才的可能取值为一1，0,1，

211

/?(/=-1)=(1-7)X-=-,

O33

o1o1o

PU=0)=-x-4-(l--)X(1

214

m=i)=7x(i--)

□315

所以X的分布列为：

X-101

184

P

5?515

所以£0）=—1X，+OX、+1X^=白.

0101010

（2）依据题意，经过第2轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的状况有三种,

①甲两轮中第1轮得。分，第2轮得1分；

②甲第1轮得1分，第2轮得。分；

③甲两轮各得1分，

84484

所以R=〃Cr=o)•尸(X=I)+P(才=1)・[/?(了=0)+〃(*=1)]=/义/+乂(+正)=

15157157715715

16

45,

5.(2024•广州天河区三模)某学校开展“争做文明学生，共创文明城市”的创文学问问答

竞赛活动，现从全校参与该活动的学生中随机抽取100名学生的竞赛成果(单位：分)，并以

此为样本绘制了如下频率分布直方图.

(1)求该10()名学生竞赛成果的第80百分位数；

(2)学校拟对被抽取的100名学生进行嘉奖，嘉奖方案如下：用频率估计概率，得分小于或

等于70的学生获得1次拍奖机会，得分高于70的学生获得2次抽奖机会.假定每次抽奖抽

Q1

到价值10元的学习用品的概率为彳，抽到价值20元的学习用品的概率为才从这100名学生

中任取一位，记该同学在抽奖活动中获得学习用品的价值总额为《元，求4的分布列和数

学期望(用分数表示)，并估算此次抽奖要打算的学习用品的价值总额.

解：(1)由题意得，0.06+0.12+0.18+0.34=0.7,

0.06+0.12+0.18+0.344-0.16=0.86,

所以第80百分位数大于70,小于80,

设第80百分位数为x,则0.7+(x-70)X0.016=0.8,

所以x=76.25,

所以该10()名学生竞赛成果的第8()百分位数为76.25.

(2)由已知S的取值可能为：10,20,30,40,

由已知从100人中任取一名同学，该同学成果不超过70的概率为0.7,

又每次抽奖抽到价值10元的学习用品的概率为i

抽到价值20元的学习用品的概率为:

7321

/>(^=10)=-X-=-,

小=20)=毫+合沁福，

户(f=30)$X2+^X,X9看

3113

A^=40)=-x-x-=—,

所以f的分布列为：

£10203040

211193

rn

4()3280160

21]]93

所以10X—+20X—+3GX--+40X—=16.25,

4032oOIbO

所以此次抽奖要打算的学习用品的价值总额估计为1625元.

6.(2024•潮州模拟)为了使更多人参与到冰雪运动中，某校组织了一次简易冰壶竞赛.每

场竞赛由两支队伍对抗进行，每队由2名成员组成，共进行3局.每局竞赛时，两队成员交

替发球，每名成员只能从发球区(业V,左侧)掷冰壶一次台.当全部成员全部掷完冰壶后，起

先计分.若冰壶未到达营垒区，计一1分；若冰壶能精确到达营垒区，计2分，整场竞赛累

计得分多者获得竞赛成功.己知力队两名成员甲、乙每次将冰壶投掷到营垒区的概率分别为

4和:，〃队两名成员丙、丁每次将冰壶投掷到营垒区的概率均为J.假设两队投掷的冰壶在运

动过程中无碰撞，每名成员投掷冰壶相互独立，每局竞赛互不影响.

*M_______________________

营垒区

(D求力队每局得分I的分布列及期望；

(2)若第一局竞赛结束后，力队得1分，夕队得4分，求力队最终获得本场竞赛成功且总积分

比6队高3分的概率.

解：(1)因为若冰壶未到达营垒区，计一1分；若冰壶能精确到达营垒区，计2分，

且已知力队两名成员甲、乙每次将冰壶投掷到营垒区的概率分别为3和最

所以A队每局有三种状况，即两个人的冰壶都未到达营垒区，•个人的冰壶到达营垒区一个

人的冰壶未到达营垒区，以及两个人的冰壶都到达营垒区，

所以才的全部可能取值为-2,1,4,

所以P(X=-2)=(l-1)X(l-1)=|,

乙Oo

P(X=1)=|x(1_；)+(1-1)X1=1，

乙o乙3乙

夕(1=4)=|x|=^,

所以才的分布列为：

才-214

11_

P

326

所以£(加=-2义打M+4X：g.

(2)设4对每局得分为匕同理可得V的分布列为:

X-214

111

P424

记力队，6队在后面两局总得分分别为%则包含的状况如下:

A队总得分x258

4队总得分y-4-12

所以P〈x=2,y=—4)=(|x|x2+|x|)x|x|=^,

P(x=5,y=-l)=|x|x2x|x1x2=^r,

乙O'上乙乙1

P(X=St7=2)=6X6X(2X2+4X4X2)=576-

故力队最终获得本场竞赛成功且总积分比0队高3分的概率为品+/+提=薨.

7.(2024•韶关二模)探讨表明，假如温差太大，人们不留意保暖，可能会导致自身受到风

寒刺激，增加感冒患病概率，特殊是对于儿童以及年老体弱的人群，要多加防范.某中学数

学建模社团成员探讨了昼夜温差大小与某小学学生患感冒就诊人数多少之间的关系，他们记

录了某六天的温差，并到校医室查阅了这六天中每天学生新增感冒就诊的人数，得到数据如

下：

日期第一天其次天第三天第四天第五天第六天

昼夜温差47891412

x/℃

新增感冒

就诊人数J2必

力位

(1)已知第一天新增感冒就诊的学生中有4位男生，从第一天新增的感冒就诊的学生中随机

抽取2位，其中男生人数记为尤若抽取的2人中至少有一位女生的概率为、，求随机变量4

0

的分布列和数学期望；

(2)已知两个变量x与y之间的样本相关系数居，请用最小二乘法求出y关于x的阅历

回来方程y="+a,据此估计昼夜温差为15℃时，该校新增感冒就诊的学生人数.

参考数据：£=3463,£(y,-y)2=289.

/=!.'=1

所以y(y-l)=4X3X6=9X8=y=9,

即第一天新增患感冒而就诊的学生有9位，其中男生4位，女生5位,

则随机变量才的可能取值为:0,1,2,

且才听从超几何分布，其中,V=9,JU4,n=2,

PCr=o)户(才=i)=甯哥,

P(¥=2)=否=五=1，

则1的分布列为

X012

55]_

P

1896

数学期望9=°%+喈+24哮

（2）因为E%=54,所以彳=9,（£一才）所以=64,

所以£=（%—*）（匕一/）=16X8,

X（4l/）（修一y）

*/=1

16X8

所以b=--------------------------------------=2,

64

z（X-7）2

i=i

因为£炉=3463,£（y/-J2=f炉_2；・£n+6；2=£4-6）=289=；=23,

/=!/=1/=1J=1/=1

所以a=—b=23—2X9=5,

yA

所以y=2x+5,当x=15时，y=2X15+5=35,

所以可以估计，昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生人数35人.

8.（2024•佛山禅城区校级一模）在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩

是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障.

（1）在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩

的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检.已知批次/的成

品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为4=/，月=々，月=/.

ob34

①求批次/成品口罩的次品率几

②第四道工序中红外线自动检测为次品的11罩会被自动淘汰，合格的11罩进入流水线并由工

人进行抽查检验.已知批次/的成品口罩红外线自动检测显示合格率为92%,求工人在流水

线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.

（2）已知某批次成品口罩的次品率为〃（0＜火1）,设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概

率为。⑺，记。（内的最大值点为改进生产线后批次，的口罩的次品率e=“某医院

获得批次1,J的口罩捐赠并分发给该院医务人员运用.经统计，正常佩戴运用这两个批次

的口罩期间，该院医务人员核酸检测状况如卜面条形图所示，求并推断是否有99.9%的

把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？

口核酸检测呈阳性

口核酸检测呈阴性

批次

〃(ad-be)2___________

附:

(a+Z?)(c+d)(a+c)(Z?+d).

Pg2a0.0500.0100.0050.001

k3.8416.6357.87910.828

解：(1)在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品

口革的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检.已知批次/

的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为4=白，曰=3，R=5,

oO34

3433323

①批次£成品口罩的次品率为R=