2024新高考数学二轮总复习专题六统计与概率643统计与概率问题综合应用学案含解析

6.4.3统计与概率问题综合应用

必备学问精要梳理

离散型随机变量的期望与方差

(l)E(X)=xipi+x2P2+…+他+…+X”p”为X的均值或数学期望.

⑵。(%)=。|-印0)2.〃|+(及•印0)20+・・・+8•风％))20+3+(用项制)20,叫做随机变量X的方

差.

⑶均值与方差的性质:艮'戊+8)=〃旦%)+氏旦4+〃)=E©+七(〃)；/)(,戊+份=42。(3.

关键实力学案突破

热点离散型随机变量的期

一望与方差

【例1】(2024山西临汾高三适应性训练,19)今年状况特别，小王在居家自我隔离时对周边的水

产养殖产业进行了探讨.A、3两个投资项目的利润率分别为投资变量X和V.依据市场分析,X

和r的分布列分别为：

|*.8|o.2j

(1)若在入出两个项目上各投资100万元《和”分别表示投资项目人和B所获得的利润，

求方差。(万。何);

(2)若在A,8两个项目上共投资20()万元,那么如何安排，能使投资A项目所得利润的方差与

投资B项目所得利润的方差的和最小，最小值是多少？

[&D(aX+b)=a2D(X)]

解题心得期望与方差的一般计算步骤

(1)理解离散型随机变量的意义，写出变量X的全部可能取的值；

(2)求X取各个值时的世率,写出分布列；

(3)依据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.

若变量X听从二项分布等特别分布时，期望与方差可干脆利用公式求解.

【对点训练1】(2024四川宜宾高三诊断,19)某烘焙店加工一个成本为60元的蛋糕然后以

每个120元的价格出售，假如当天卖不完,剩下的这种蛋糕作餐厨垃圾处理.

(1)若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,求当天的利润)，(单位:元)关于当天需求量〃(单位:个,〃

£N)的函数解析式；

(2)烘焙店记录了100天这种蛋糕的日需求量(单位:个)，整理得下表：

日

而

求141516171819

量

11

频

102()161615131(1

数

①若烘焙店一天加工16个这种蛋糕,X表示当天的利润(单位:元)，求X的分布列与数学期

望及方差；

葬烘焙店一天加工16个或17个这种蛋糕，仅从获得利润大的角度考虑,你认为应加工16

个还是17个?请说明理由.

热点统计数据及概率在现实决策

二问题中的应用

［例2］(2024山西太原5月模拟,20)为实现2024年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改

造.经市场调研和科学研判，打算大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种

设备可以独立生产该部件.如图是从甲设备生产的该核心部件中随机抽取400个，对其尺寸x进

行统计后整理的频率分布直方图.

依据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x满意:为一级品,1<|『12|W2为二级

品,|x-12|>2为三级品.

(1)现依据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400个部件中抽取40个，再

从所抽取的40个部件中却取出全部尺寸木£［12,15］的部件，再从全部尺寸12,15］的部件中

抽取2件，记为这2个部件中尺寸［14,15］的个数，求4的分布列和数学期望；

(2)将甲设备生产的部件成箱包装出售时,须要进行检验.已知每箱有100个部件，每个部件

的检验费用为50元.检验规定:若检验出三级品需更换为一级或二级品;若不检验,让三级品进入

买家，厂家需向买家每个支付200元补偿.现从一箱部件中随机抽检了10个，结果发觉有1个三

级品.若将甲设备的样本频率作为总体的概率，以厂家支付费用作为决策依据，问是否对该箱中

剩余部件进行一一检验?请说明理由；

（3）为加大生产力度，厂家需增购设备.已知这种部件的利润如下:一级品的利润为500元/个;

二级品的利润为400元/个;三级品的利润为200元/个.乙种设备生产的该部件中一、二、三级

品的概率分别是:1白若将甲设备的样本频率作为总体的概率,以厂家的利润作为决策依据，则

O乙XU

应选购哪种设备?请说明理由.

解题心得利用均值和方差进行决策的方法

利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策.其中随机变量4的均值的意义

在于描述随机变量的平均程度，而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.品

种的优劣、仪器的好坏、预报的精确与否、机器的性能好坏等许多指标都与这两个特征量有

关.

⑴若我们希望实际的平均水平较志向时，则先求随机变量前，。的均值.当E©）二E©）时，不

应误认为它们一样好.须要用。（币）,。@）来比较这两个随机变量的偏离程度.

（2）若我们希望比较稳定时,应先考虑方差，再考虑均值是否相等或者接近.

【对点训练2】（2024广东惠州一模,20）安排在某水库建一座至多安装3台发电机的水电

站，过去50年的水文资料显示,水库年入流量X（年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:

亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年，

超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流

量相互独立.

（1）求将来4年中,至多有1年的年入流最超过120的概率；

（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电巩最多可运行台数受年入流量X限制,

并有如下关系：

什

入

流40Vx<8080WXW120X>12()

¥

X

发

电

机

123

多

可

运

行

台

数

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元;若某台发目机未运行，则该台年亏损800万元

欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？

热点统计与概率和函数、导

数的综合

【例3】（2024山东威海一模,22）新药在进入临床试验之前,须要先通过动物进行有效性和平安

性的试验.现对某种新药进行5000次动物试验，一次试验方案如下:选取3只白鼠对药效进行检

验，当3只白鼠中有2只或2只以上运用“效果明显”，即确定“试验胜利”;若有且只有1只“效果

明显;则再取2只白鼠进行二次检验,当2只白鼠均运用“效果明显即确定“试验胜利其余状

况则确定“试验失败''.设对每只白鼠的试验相互独立，且运用“效果明显”的概率均为〃（0</.，<1）.

（1）若〃三,设该新药在一次试验方案中“试验胜利”的概率为po,求po的值；

（2）若动物试验预算经费700万元,对每只白鼠进行试峻须要30（）元，其他费用总计为100万

元，问该动物试验总费用是否会超出预算,并说明理由.

解题心得解决统计与概率和函数、导数的综合问题，关键是读懂题意,将与概率有关的问题

（尤其是最值问题）转化为函数问题，再利用函数或导数学问解决.在转化过程中，对已知条件进行

适当的变形、整理,使之与求解的结论建立联系，从而解决问题.

【对点训练3】（2024东北师大附中模拟,20）随着现代电子技术的迅猛发展,关于元件和系

统牢靠性的探讨已发展成为•门新的学科——牢靠性理诒.在牢靠性理论中，•个元件正常工

作的概率称为该元件的牢靠性.元件组成系统,系统正常工作的概率称为该系统的牢靠性.现有

心2)种电子元件，每种2个，每个元件的牢靠性均为p(Ovpvl).当某元件不能正常工作

时,该元件在电路中将形成断路.现要用这2〃个元件组成一个电路系统，有如下两种连接方案可

供选择，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常工作.

百❷唱!曝…墙，

(1)(,)分别写出按方案①和方案至建立的电路系统的牢靠性。1,尸2(用〃和〃表示);

(力)比较Pl与P2的大小，说明哪种连接方案更稳定牢靠；

(2)设〃=4,“W，已知按方案例立的电路系统可以正常工作，记此时系统中损坏的元件个数

为X,求随机变量X的分布列和数学期望.

热点统计与概率和数

四列的综合

【例4】(2024山东青岛二模,22)中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.

女排精神的详细表现为:扎扎实实，勤学苦练，无所艮惧，坚韧拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，

勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，赐予全国人民巨大的鼓

舞.

(1)看过中国女排的纪录片后，某高校掀起“学习女排精神,塑造健康体魄”的年度主题活动,

一段时间后，学生的身体素养明显提高，将该高校近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下

表格：

月份X12345

体重超

重的人6405U)42030()

数y