2025版高考数学一轮总复习知识第九章概率与统计95随机事件与概率

9.5随机事务与概率

课程标准有的放矢

1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事务与样本点的关系.

了解随机事务的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事务的并、交运算.

2.结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概型中简洁随机事务的概率.

3.通过实例，理解概率的性质，驾驭随机事务概率的运算法则.

4.结合具体事例，会用频率估计概率.

必备学问温故知新

【教材梳理】

1.有限样本空间与随机事务

概念定义

随机试验L

我们把对随机现象的实现和对它的视察称为随机试验，简称试验,常用字母E表

示

样本占

把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点.一般用3表示

样本空间

全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般用。表示

有限样本

方向（）为有限集时的样本空间称为有限样本空间

随机事务

样本空间c的子集称为随机事务,简称事务,并把只包含一个样本点的事务称为

基本事件.在每次试验中，当且仅当事务A中某个样本点出现时，称为事务4发生.

称Q为必定事务,。为不行能事务

2.事务的关系和运算

概念含义符号表示

包含

若事务4发生，则事务B确定发生（或力QB）

相等A=B

事务B包含事务4.事务4也包含事务

B

并事务（和

事务）事务4与事务8至少有一个发生AU8（或4+8）

交事务（积

事务）'事务4与事务8同时发生AC8（或48）

互斥（互不，cAClB=0

相容）事务'与事务B不能同时发生

互为对立

事务4和事务B在任何一次试验中有AU8=C,且力C8=0

且仅有一个发生

3.古典概型

(1)概率的定义：对随机事务发生可能性大小的度量(数值)称为事务的鲜，事务

4的概率用P(4)表示.

(2)古典概型：我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为

占典概率模型，简称占典概型.

有限性：样本空间的样本点只有宜阻仝；

等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

(3)古典概型的概率计算：一般地，试验E是古典概型，样本空间包含几个样本点，事

kn(/l),,八、

务4包含其中的攵个样本点，则定义事务4的概率P(4)=[=而-其中几(A),兀(。)

分别表示4与。包含的样本点个数.

4.概率的基本性质

性质1：对随意的事务4都有££412

性质2：必定事务的概率为I,不行能事务的概率为0,即BLm三四)三出

性质3：假如事务力与事务B互斥，那么PG4U8)=£⑷土"回J—.

推广：假如事务41,人2,…，4八两两互斥，那么

p(4U4U…U4n)=P(A1)+P(A2)+…+P(4n).

性质4：假如事务4与事务B互为对立事务，那么

P(B)=上BLUPG4)=IZLEISI_.

性质5：假如力qB,那么&PLB\_.

特别地，对随意事务A,因为。G月£Q,所以0<P(4)<1.

性质6：设A8是一个随机试验中的两个事务，我们有

P(AU8)=P⑷±P(B}-P(A04).

明显，性质3是性质6的特别状况.

5.频率与概率

(1)频率的稳定性：在任何确定次数的随机试验中，一个随机事务4发生的频率具有

随机性.一般地，随着试验次数几的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事务4发生的频率

外(“)会慢慢检定于事务A发生的概率.

(2)用频率估计概率：为(4)==P(4).

(3)随机模拟：用计算器或计算机软件产生随机数模拟试验，这类随机数是依照确定

的算法产生，具有周期性(周期很长)，故称为伪随机数.

自主评价牛刀小试

1.推断下列命题是否正确，正确的在括号内画“J”，错误的画“X”.

(1)事务发生的频率与概率是相同的.(x)

(2)两个事务的和事务发生是指这两个事务至少有一个发生.(J)

(3)若4UB是必定事务，则4与B是对立事务.(X)

(4)P(AU8)=P(4)+P(8).(x)

(5)若4B为互斥事务，则P(A)+P(B)=1.(X)

2.(教材题改编)一个人汀靶时连续射击两次，事务“至多有一次中靶”的互斥事务是(B)

A.至少有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶

解：射击两次中“至多有一次中靶”，即“有一次中靶”或“两次都不中靶”，与该事务不

能同时发生的是“两次都中靶”.故选B.

3.【多选题】关于频率和概率，下列说法正确的是(BD)

2

A.某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为W

B.数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷12()0()次硬币，得到正面对上的频率为0.5016；

抛掷24000次硬币，得到正面对上的频率为0・5005.假如他抛掷36000次硬币，正面对上

的频率可能大于0.5005

C.某类种子发芽的概率为0903,当我们抽取2000粒种子试种，确定会有1806粒种子

发芽

D.将一个匀整的骰子抛掷6000次，则出现点数大于2的次数大约为4000

2

解：对于AA,某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮中命中的频率为多不能说

概率，故错误.

对于B,进行大量的试验，硬币正面对上的频率在0.5旁边摇摆，可能大于0.5,也可能小

丁0.5,故正确.

对于c,只能说明可能有1806粒种子发芽，具有随机性，故错误.

r2

对于D,每次出现点数大于2的概率为？则抛掷6000次，出现点数大于2的次数大约为

4000,正确.

故选BD.

4.[2024年全国乙卷]从甲、乙