拓展拔高2阿波罗尼斯圆

拓展拔高12阿波罗尼斯圆【高考考情】动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点,尤其是阿波罗尼斯圆在高考中频频出现.处理此类问题的关键是通过建立平面直角坐标系,寻找动点满足的条件,得出动点的轨迹是一个定圆,从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关系问题.【知识链接】如图,点A,B为两定点,动点P满足|PA|=λ|PB|,则λ=1时,动点P的轨迹为直线;当λ>0且λ≠1时,动点P的轨迹为圆,此圆称之为阿波罗尼斯圆.【证明】设|AB|=2m(m>0),|PA|=λ|PB|,以AB的中点为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系(图略),则A(-m,0),B(m,0).又设P(x,y),则由|PA|=λ|PB|得(x+m)2+y2=λ(x-m)2+y2,两边平方并化简整理得(λ2-1)x2-2m(λ2+1当λ=1时,x=0,轨迹为线段AB的垂直平分线;当λ>0且λ≠1时,(x-λ2+1λ2-1m)2+y2=4λ2m2(λ2-类型一求轨迹方程及分析点的轨迹【例1】(1)已知平面直角坐标系中,A(-2,0),B(2,0),则满足|PA|=2|PB|的点P的轨迹的圆心坐标为______________.

【解析】设P(x,y),由|PA|=2|PB|,得(x+2)2+y2=2(x-2)2+y2,整理得(x-10答案:(103(2)正方形ABCD的边长为3,P为正方形ABCD边界及内部的动点,且|PB|=2|PA|,则动点P的轨迹长度为___________.

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),设P(x,y),又因为|PB|=2|PA|,所以(x-3化简为x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4,所以P点的轨迹是以Q(-1,0)为圆心,半径为2的圆.又因为P为正方形ABCD边界及内部的动点,所以动点P与y轴正半轴的交点为M(0,3),动点P与x轴正半轴的交点为N(1,0),则动点P的轨迹长度为MN的长度,在△QMA中,AM=3,MQ=2,所以sin∠MQA=MAMQ=32,∠MQA=所以MN的长度=π3×2=2π答案:2π思维升华阿波罗尼斯圆的逆用当题目给了一个圆的方程和一个定点,我们可以假设另一个定点,构造相同的阿氏圆,利用两圆是同一个圆,便可以求出定点的坐标.对点训练1.阿波罗尼斯圆指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0,且λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,圆O:x2+y2=1,点A(-12,0)和点B(0,12),M为圆O上的动点,则2|MA|-|MB|的最大值为(A.52 B.172 C.32 【解析】选B.设点M(x,y),令2|MA|=|MC|,则|MA||MC|=12,由题知圆x2+y2=1是关于点A,C的阿波罗尼斯圆设点C(m,n),则|MA||MC|整理得x2+y2+2m+43x+2n比较两个方程可得2m+43=0,2n3=0,m2+n2-13=1,即m=-2,n=0,点C(-2,0),当点M位于图中M1的位置时,2|MA|-|MB|=|M1C|-|2.如图,在等腰△ABC中,已知AB=AC,B(-1,0),AC边的中点为D(2,0),则点C的轨迹所包围的图形的面积等于________.

【解析】因为AB=2AD,所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆,易知其方程为(x-3)2+y2=4(y≠0).设C(x,y),由AC边的中点为D(2,0),知A(4-x,-y),所以C的轨迹方程为(4-x-3)2+(-y)2=4(y≠0),即(x-1)2+y2=4(y≠0),所求的面积为4π.答案:4π类型二求三角形面积的最值问题【例2】(1)(一题多法)满足条件AB=2,AC=2BC的△ABC的面积的最大值为________.

【解析】法一(直解法):建立如图的平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设C点的坐标为(x,y),因为|AC|=2|BC|,所以(x+1)2+整理得(x-3)2+y2=8,所以点C的轨迹是以(3,0)为圆心,22为半径的圆(除去与x轴的交点).设圆心为M,当CM⊥x轴时,△ABC的面积最大,此时|CM|=22,(S△ABC)max=12|AB|·r=12×2×22=2法二(秒解法):由题意可知,动点C的轨迹是圆M,且半径r=ABλ-1λ=22-12=22,分析可得,当且仅当CM⊥AB时,△ABC面积最大,(S△ABC)max答案:22(2)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA=2sinB,acosB+bcosA=2,则△ABC面积的最大值为___________.

【解析】依题意,sinA=2sinB,得BC=2AC,acosB+bcosA=a2+c2-b22c+b2+c2-a22则A(1,0),B(-1,0),设C(x,y),x≠0,由BC=2AC,则C的轨迹为阿波罗尼斯圆,其方程为(x-53)2+y2=169,x≠0,边AB高的最大值为43,所以(答案:4对点训练1.(一题多法)(2024·柳州模拟)在等腰△ABC中,AB=AC,BD是腰AC的中线,且BD=3,则S△ABC的最大值为________.

【解析】法一(直解法):以BD中点为原点,BD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则B(-32,0),D(32,0),设A(x,y),因为AB=2所以(x+32)2+y2=4(整理得(x-536)2+y2=即有|y|≤23所以S△ABC=2S△ABD=BD·|y|≤2,当|y|=233所以S△ABC的最大值为2.法二(秒解法):因为AB=AC,中线BD=3,S△ABC=2S△ABD.又AB=2AD,所以点A的轨迹是以B,D为定点的阿波罗尼斯圆,其半径为r=BDλ-1λ=所以(S△ABC)max=2×12|BD|·r=2×1答案:22.已知圆O:x2+y2=1和点A(-12,0),若定点B(b,0)(b≠-12)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则λ=________,△MAB面积的最大值为【解析】设点M(x,y),由|MB|=λ|MA|,得(x-b)2+