2022年广西桂林中考数学复习训练：桂林五年真题 第13讲 二次函数的应用(含答案)

(2021·桂林中考)如图，已知抛物线y＝a(x－3)(x＋6)过点A(－1，5)和点B(－5，m)，与x轴的正半轴交于点C.(1)求a，m的值和点C的坐标；(2)若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当eq\f(PB,PA)＝eq\f(2,5)时，求点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)将点A(－1，5)代入y＝a(x－3)(x＋6)，解得a＝－eq\f(1,4).将点B(－5，m)代入y＝－eq\f(1,4)(x－3)(x＋6)，解得m＝2.令y＝0，解得x1＝－6，x2＝3，∴点C的坐标是(3，0).(2)∵点A(－1，5)，B(－5，2)，过A作AN⊥x轴于N，过B作BM⊥x轴于M，则N(－1，0)，M(－5，0)，BM＝2，AN＝5.∴eq\f(BM,AN)＝eq\f(2,5).∵∠ANP＝∠BMP＝90°，∴当eq\f(PB,PA)＝eq\f(2,5)时，eq\f(PB,PA)＝eq\f(BM,AN)＝eq\f(2,5)，∴Rt△PAN∽Rt△PBM.∴eq\f(PM,PN)＝eq\f(2,5).设点P的横坐标为t，当t＜－5时，eq\f(－5－t,－1－t)＝eq\f(2,5)，解得t＝－eq\f(23,3)，符合题意；当－5≤t≤－1时，eq\f(t－（－5）,－1－t)＝eq\f(2,5)，解得t＝－eq\f(27,7)，符合题意；当t＞－1时，eq\f(t－（－5）,t－（－1）)＝eq\f(2,5)，解得t＝－eq\f(23,3)＜－1，不符合题意；∴点P的坐标是Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23,3)，0))或Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,7)，0)).(3)存在．①连接AB，若MC与直线AB没有交点，由平行线间的距离都相等可知，当MC∥AB时，A，B两点到直线MC的距离相等．由直线AB过A(－1，5)和B(－5，2)，易得直线AB的表达式为y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(23,4).当MC∥AB时，设直线MC的表达式为y＝eq\f(3,4)x＋n，代入C(3，0)，解得直线MC的表达式为：y＝eq\f(3,4)x－eq\f(9,4).联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4)（x－3）（x＋6），,y＝\f(3,4)x－\f(9,4)，))解得x1＝－9，x2＝3(舍去).∴M点的横坐标是－9.②若MC与直线AB有交点，设MC交AB于Q，连接CA，CB.当A，B两点到直线MC的距离相等时，有S△CBQ＝S△CAQ，此时Q为AB中点．由A(－1，5)和B(－5，2)，易得Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(7,2)))，设直线MC的函数表达式为y＝kx＋p，∴将C(3，0)，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，\f(7,2)))代入直线MC表达式，解得y＝－eq\f(7,12)x＋eq\f(7,4)，联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,4)（x－3）（x＋6），,y＝－\f(7,12)x＋\f(7,4)，))解得x1＝－eq\f(11,3)，x2＝3(舍去).∴M点的横坐标是－e