2022年广西桂林中考数学复习训练：解答题对应练(12)及答案

解答题对应练(十二)(26题)26．(2021·海南中考)已知抛物线y＝ax2＋eq\f(9,4)x＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，3).(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，若该抛物线的顶点为P，求△PBC的面积；(3)如图2，有两动点D，E在△COB的边上运动，速度均为每秒1个单位长度，它们分别从点C和点B同时出发，点D沿折线COB按C→O→B方向向终点B运动，点E沿线段BC按B→C方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：①当t为何值时，△BDE的面积等于eq\f(33,10)；②在点D，E运动过程中，该抛物线上存在点F，使得依次连接AD，DF，FE，EA得到的四边形ADFE是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标．【解析】(1)∵抛物线y＝ax2＋eq\f(9,4)x＋c经过A(－1，0)，C(0，3)两点，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－\f(9,4)＋c＝0,c＝3))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(3,4),c＝3))，∴该抛物线的函数表达式为y＝－eq\f(3,4)x2＋eq\f(9,4)x＋3；(2)∵抛物线y＝－eq\f(3,4)x2＋eq\f(9,4)x＋3＝－eq\f(3,4)(x－eq\f(3,2))2＋eq\f(75,16)，∴抛物线的顶点P的坐标为(eq\f(3,2)，eq\f(75,16))，∵y＝－eq\f(3,4)x2＋eq\f(9,4)x＋3，令y＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∴B点的坐标为(4，0)，OB＝4，如图，连接OP，则S△PBC＝S△OPC＋S△OPB－S△OBC＝eq\f(1,2)·OC·|xp|＋eq\f(1,2)·OB·|yp|－eq\f(1,2)·OB·OC＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)×4×eq\f(75,16)－eq\f(1,2)×4×3＝eq\f(9,4)＋eq\f(75,8)－6＝eq\f(45,8)，∴△PBC的面积为eq\f(45,8)；(3)①∵在△OBC中，BC＜OC＋OB，∴当动点E运动到终点C时，另一个动点D也停止运动，∵OC＝3，OB＝4，∴在Rt△OBC中，BC＝eq\r(OB2＋OC2)＝5，∴0＜t≤5，当运动时间为t秒时，BE＝t，如图，过点E作EN⊥x轴，垂足为N，则△BEN∽△BCO，∴eq\f(BN,BO)＝eq\f(EN,CO)＝eq\f(BE,BC)＝eq\f(t,5)，∴BN＝eq\f(4,5)t，EN＝eq\f(3,5)t，∴点E的坐标为(4－eq\f(4,5)t，eq\f(3,5)t)，下面分两种情形讨论：Ⅰ.当点D在线段CO上运动时，0＜t＜3，此时CD＝t，点D的坐标为(0，3－t)，∴S△BDE＝S△BOC－S△CDE－S△BOD＝eq\f(1,2)BO·CO－eq\f(1,2)CD·|xE|－eq\f(1,2)OB·OD＝eq\f(1,2)×4×3－eq\f(1,2)×t×(4－eq\f(4,5)t)－eq\f(1,2)×4×(3－t)＝eq\f(2,5)t2，当S△BDE＝eq\f(33,10)时，eq\f(2,5)t2＝eq\f(33,10)，解得t1＝－eq\f(\r(33),2)(舍去)，t2＝eq\f(\r(33),2)＜3，∴t＝eq\f(\r(33),2)；Ⅱ.如图，当点D在线段OB上运动时，3≤t≤5，BD＝7－t，∴S△BDE＝eq\f(1,2)BD·EN＝eq\f(1,2)×(7－t)×eq\f(3,5)t＝－eq\f(3,10)t2＋eq\f(21,10)t，当S△BDE＝eq\f(33,10)时，－eq\f(3,10)t2＋eq\f(21,10)t＝eq\f(33,10)，解得t3＝eq\f(7＋\r(5),2)，t4＝eq\f(7－\r(5),2)＜3，又∵3≤t≤5，∴t＝eq\f(7＋\r(5),2)，综上所述，当t＝eq\f(\r(33),2)或t＝eq\f(7＋\r(5),2)时，S△BDE＝eq\f(33,10)；②当点D在线段OC上，根据平行四边形的性质得，F坐标为(eq\f(10,3)，eq\f(13,6))，当点D在线段OB上，根据平行四边形的性质，F坐标为(3，3).综上所述：F坐标为(eq\f(10,3)，eq\f(13,6))或(3，3).26．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为(1，0).抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点．(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝eq\f(1,2)DE.①求点P的坐标；②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】(1)∵B(1，0)，∴OB＝1，∵OC＝2OB＝2，∴C(－2，0)，Rt△ABC中，tan∠ABC＝2，∴eq\f(AC,BC)＝2，∴eq\f(AC,3)＝2，∴AC＝6，∴A(－2，6)，把A(－2，6)和B(1，0)代入y＝－x2＋bx＋c得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4－2b＋c＝6，,－1＋b＋c＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－3，,c＝4，))∴抛物线的表达式为y＝－x2－3x＋4；(2)①∵A(－2，6)，B(1，0)，易得AB的表达式为：y＝－2x＋2，设P(x，－x2－3x＋4)，则E(x，－2x＋2)，∵PE＝eq\f(1,2)DE，∴－x2－3x＋4－(－2x＋2)＝eq\f(1,2)(－2x＋2)，x＝1(舍)或x＝－1，∴P(－1，6)；②∵M在直线PD上，且P(－1，6)，设M(－1，y)，∴AM2＝(－1＋2)2＋(y－6)2＝1＋(y－6)2，BM2＝(1＋1)2＋y2＝4＋y2，AB2＝(1＋2)2＋62＝45，分三种情况：(ⅰ)当∠AMB＝90°时，有AM2＋BM2＝AB2，∴1＋(y－6)2＋4＋y2＝45，解得y＝3±eq\r(11)，∴M(－1，3＋eq\r(11))或(－1，3－eq\r(11))；(ⅱ)当∠ABM＝90°时，有AB2＋BM2＝AM2，∴45＋4＋y2＝1＋(y－6)2，y＝－1，∴M(－1，－1)，(ⅲ)当∠BAM＝90°时，有AM2＋AB2＝BM2，∴1＋(y－6)2＋45＝4＋y2，y＝eq\f(13,2)，∴Meq