河北省石家庄重点中学2023-2024学年高二上学期第三次调研数学试题（含答案）

第第页河北省石家庄重点中学2023-2024学年高二上学期第三次调研数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．以椭圆x2A．x24−y24=1 B．2．已知椭圆C：x29+A．−3 B．−13 C．3 3．如图所示某拱桥的截面图可以看作双曲线y227−x2m=1A．7 B．2 C．3 D．64．双曲线y2a2A．33 B．3 C．32 5．已知A(0，4)，双曲线xA．10 B．12 C．14 D．166．已知椭圆x2a12+y2A．b1=b2 B．b1=7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”在这首诗中含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图，在平面直角坐标系中，军营所在区域的边界为x2+y2=1A．5 B．5−1 C．10 D．8．已知A，B分别为椭圆C：x2a2A．33 B．23 C．12二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知平面直角坐标系中，|AB|=6A．当a=0时，点P的轨迹为一条直线B．当a=3时，点P的轨迹为一条射线C．当a=−3时，点P的轨迹不存在D．当a=2时，点P的轨迹是双曲线10．已知直线l的方程为ax−y+1=0，A．l与直线x+ay+1=0有唯一的交点B．l与椭圆x2C．l与圆(x−1D．满足与双曲线x211．已知双曲线C：x2−yA．双曲线C的离心率为2 B．焦点到渐近线的距离为2C．四边形OPMQ可能为正方形 D．四边形OPMQ的面积为定值212．已知曲线C：A．曲线C关于x轴对称 B．y0的取值范围为C．x02+y0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知方程x22+m−14．已知圆C1：x2+y2=r215．双曲线x24−y212=1的左、右焦点分别是F1，F2，Q16．如图，双曲线E⋅x2a2−y2四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）经过A(（2）与双曲线x22−18．动点M(x，y)与定点F（1）求曲线C的方程；（2）若动点M在y轴右侧，定点A(5，19．已知直线l：y=kx−1与双曲线C：（1）求实数k的取值范围；（2）若△POQ的面积为520．如图所示，半椭圆C1：x24+y2b2=1(0<b<2（1）求曲线C1（2）直线l过点F2与半椭圆C1交于A，与半圆C321．动点P(x，（1）求动点P的轨迹T的方程；（2）设过原点的直线l与轨迹T相交于A，B两点，设A(x1，y1)，F22．已知椭圆T：x2a2+y2b（1）求椭圆T的方程；（2）作直线AB的平行线交椭圆于C，D两点，记直线AC，BD的斜率分别为

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：椭圆x28+y2∴双曲线的顶点为(±2，0即a=2，c=22则b=c∴双曲线的方程为x2故答案为：A.

【分析】本题考查双曲线的标准方程.先求出椭圆x28+2．【答案】B【解析】【解答】解：设A(x1，y1)联立①②整理得y2又x1+x所以kAM=−13，即直线故答案为：B.

【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系.设A(x13．【答案】D【解析】【解答】解：由题意，双曲线y227−x2即4827−7m=1，解得所以双曲线的虚轴长为2b=6.故答案为：D.

【分析】本题考查双曲线的标准方程.根据题意可知点B(7，4．【答案】D【解析】【解答】解：∵双曲线y2a2由题意得ab=tan60°=3，∴∴该双曲线的离心率为e=c故答案为：D.

【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.先表示出渐近线的方程为y=±abx，根据题意可得期中一条渐近线的倾斜角为：60°，根据斜率与倾斜角的关系可得：ab=5．【答案】C【解析】【解答】解：由双曲线x24−y25=1，可得a2=4如图所示，根据双曲线的定义，可得：

|PA当且仅当A，所以△PAF1周长最小值为9+|故答案为：C.

【分析】本题考查双曲线的定义.根据双曲线的定义可得：|PF1|=2a+6．【答案】B【解析】【解答】解：不妨设P在第一象限，由椭圆和双曲线的定义，得|P解得|PF1|=∴4=2a即a12−故答案为：B.

【分析】本题考查椭圆的定义和双曲线的定义.根据椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2可列出方程组：|PF1|+|P7．【答案】D【解析】【解答】解：如图，设将军去河岸的B点喝水，回到军营的C点，所以需求出|AB圆x2+y2=1设A(0，2)关于直线x+y=3的对称点为M所以M(1，所以“将军饮马”的最短路程为12故答案为：D.

【分析】本题考查点关于直线对称.先求出A(0，2)关于直线x+y=3的对称点为M，观察图形可得|8．【答案】D【解析】【解答】解：设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），y02=．A（﹣a，0），B（a，0），则m=，n=y0a−∴mn==b2a∴ab−13mn==﹣（﹣）2+可知：当=时，表达式取得最大值，∴b2a2=4解得e==53．故选：D．【分析】设P（x0，y0），则Q（x0，﹣y0），求出y02．通过A（﹣a，0），B（a，0），利用斜率计算公式得到：mn的表达式，化简ab【解析】【解答】解：A、当a=0时，|PA|=|PBB、当a=3时，|PA|−|PBC、当a=−3时，|PA|−|PBD、当a=2时，|PA|−|PB|=4<|AB故答案为：AB.

【分析】本题考查双曲线的定义的应用.当a=0时，点P为线段AB的垂直平分线，利用垂直平分线的定义可判断A选项；根据|PA|−|PB|=6=|AB【解析】【解答】解：直线l过定点M(A、ax−y+1=0， a∈R法向量为n1因为n1⋅nB、M为椭圆的上顶点，则直线l与椭圆相交或相切，有一个或两个交点，B错误；C、因为(0−1)2+1D、如图，满足题意的直线l有4条，两条与双曲线相切，两条与渐近线平行，D错误.故答案为：AC.

【分析】本题考查直线与直线的位置关系，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线的位置关系.通过求解可得直线过定点M(0，1).求出两条直线的法向量，并证明n1⊥n2，据此可推出两条直线垂直，有唯一交点，可判断A选项；易知M11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、等轴双曲线的离心率为2，A错误；B、双曲线C的一条渐近线方程为x−y=0，F2(2C、当点M在顶点时，四边形OPMQ为正方形，C正确；D、因为渐近线互相垂直，四边形OPMQ为矩形.又设M(x，故答案为：BCD.

【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.对于A，根据等轴双曲线定义可进行判断；对于B，根据C为等轴双曲线，则双曲线两条渐近线互相垂直，则可求出渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求出答案；对于C，当点M在顶点时，此时四边形OPMQ为正方形；对于D，设M(x，12．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：A、用−x代换x，方程不变，所以曲线C关于y轴对称，用−y代换y，方程不变，方程变为x2+4y|y|B、由x02−4y0C、由x02+y0当−1≤y0<0时，x02D、当−1≤y0<0当y0≥0时，由x02−4y0故答案为：BCD..

【分析】本题考查双曲线方程和双曲线的简单几何性质.已知曲线C：x2−4y|y|=4，用−x代换x，用−y代换y，化简方程可得出曲线的对称性；先表示出x02=4y0|y0|13．【答案】m＜﹣2或m＞﹣1【解析】【解答】解：因为方程x22+m−y2m+1=1表示双曲线，所以故答案为：(−∞，

【分析】本题考查双曲线的标准方程.根据方程表示双曲线，可得到不等式(2+m14．【答案】2【解析】【解答】解：由题意知，C2所以C1因为两圆外切，所以r+3=|C1故答案为：2.

【分析】本题考查圆与圆的位置关系.先求出两个圆的圆心和半径，根据两个圆的位置关系可列出方程：r+3=|15．【答案】9；2【解析】【解答】解：由双曲线x24−y2因为点Q是双曲线上的一点，且|Q所以Q在双曲线的右支上，所以|Q如图所示，延长F2M交QF1于在△QPF2中，QM又因为|QF1|−在△PF1F2中，由MO故答案为：9；2.

【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据题意，得到点Q在双曲线的右支上，根据双曲线的定义，变形可得：|QF1|=|QF2|+2a，据此可求出|QF1|的值；延长16．【答案】10【解析】【解答】解：在直角△AF1B中，cos∠F1AB=cos∠F1A又|AF1|−解得t=a，从而可得|B在直角△F2F1B中，所以10a=2c，则e=故答案为：102

【分析】本题考查双曲线的定义和双曲线的简单几何性质.由题意设|AF1|=5t，|BF1|=3t，17．【答案】（1）解：可设双曲线的标准方程为mx则有49m−72n=1，28m−9n=1则双曲线的标准方程为x（2）解：设所求双曲线的标准方程为x2将点(2，2)代入双曲线方程得因此，所求双曲线的标准方程为y【解析】【分析】本题考查双曲线标准方程的求法.（1）先设出双曲线的方程为mx2−n（2）因为有公共的渐近线，所以先设所求双曲线的标准方程为x22−18．【答案】（1）解：由题意得：(x−5化简得：x（2）解：过点M作MN垂直于直线l：x=95，垂足为设|MN|=d，则|所以|MA显然，当M，N，为x【解析】【分析】本题考查轨迹方程的求法和双曲线的定义.（1）根据题意可得：(x−5（2）过点M作MN垂直于直线l：x=95，垂足为N，设|MN|=d，得到19．【答案】（1）解：联立方程，得y=kx−1消去y整理，得(1−由题意知，1−k2≠0，（2）解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+xS△所以(x即(−2k1−k2又±65【解析】【分析】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用.（1）联立直线与双曲线方程可得：y=kx−1，x2−y2=4（2）先根据韦达定理可得：x1+x2=−2k1−20．【答案】（1）解：依题意，F1(−1，0于是曲线C1的方程为（2）解：设l：y=k(x−1)，点A所以|A又AF2=2F2即2−x12=2，所以x1可得直线l的方程为y=【解析】【分析】本题考查椭圆标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用.（1）由题得出椭圆的焦点坐标，根据椭圆中的关系式：a2=b（2）设出A的坐标，利用条件将|AF2|表示出来，再根据21．【答案】（1）解：方程x2表示平面内到定点(0，−1)、∴它的轨迹是以(0，−1)、(0∴a=2，c=1，b=4−1∴轨迹T的方程是y（2）解：设A(x1，y1)，x1≠0，B与T的方程联立，消去y得3（即15−6y1x12同理x2∴S1即S1S2=|4y12则9<|4【解析】【分析】本题考查轨迹方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用.（1）根据椭圆的定义可知：方程表示的轨迹是以(0，−1)、(0，1)为焦点，长轴（2）先设A(x1，y1)，x1≠0，B(−