浙江省杭州四校联盟2022-2023学年高二上学期数学1月期末试卷（含答案）

第第页浙江省杭州四校联盟2022-2023学年高二上学期数学1月期末试卷一、单选题1．已知集合A={−2，A．{−1，1C．{−1，12．若复数z满足z=2+A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知焦点在y轴上的椭圆x25+A．54 B．154 C．203 D．4．已知不同平面α，β，γ，不同直线A．若m⊥α，m⊥β，则α//C．若m⊥n，m⊥α，则n//α5．已知sin(θ2A．35 B．−35 C．46．关于函数f(A．f(B．f(x)C．f(D．π2为f7．已知2a=3，3bA．c>a>b B．b>a>c C．a>c>b D．a>b>c8．已知函数f(x)A．4 B．3 C．2 D．1二、多选题9．以下说法正确的有（）A．“x=0且y=0”是“xy=0”的充要条件B．若1a<C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈D．当x∈(0，π10．某校有甲、乙、丙三名学生是新冠阳性患者的密切接触者，已知密切接触者新冠病毒检测呈阳性的概率为12A．P(AC．P(C11．已知圆O：x2A．|PQ|的最小值为22C．OP⋅OQ的最大值为−212．在矩形ABCD中，AB=2AD=2，E为CD的中点，将△CBE沿直线BE翻折至△A．翻折过程中，直线AC1与BEB．翻折过程中，存在某个位置的C1，使得C．翻折过程中，四棱锥C1D．当四棱锥C1−ABED的体积最大时，以AC1三、填空题13．计算：log314．阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23，则该圆柱的体积与它的外接球的体积之比为15．已知正数x，y满足x+2y=1，则x2+4y16．已知F1、F2是双曲线x2a2−y2b2四、解答题17．已知锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a（1）求角A的大小；（2）求sinB+18．已知圆C的方程为x2（1）直线l过点P(1，（2）点P(x，19．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25)，第二组：[25，30（1）根据频率分布直方图，估计这m人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m20．如图，在三棱锥P−ABC中，△PAC是正三角形，AC⊥BC（1）证明：AC⊥PD；（2）若二面角P−AC−D为150°，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．21．设抛物线C：y2（1）求C的方程；（2）延长AF交C于点B，点M是C的准线上的一点，设直线MF，MA，MB的斜率分别是k0，k1，k2，若k22．设函数fk(x（1）若a=0，求F(x)（2）已知g(x)=(（3）若a=−1，且{x|f

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】因为A={−2，−1故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合交集的运算法则，进而得出集合A和集合B的交集。2．【答案】A【解析】【解答】依题意，z=(2+i)所以复数z在复平面内对应的点位于第一象限.故答案为：A

【分析】利用已知条件结合复数的乘除法运算法则得出复数z，再结合复数的几何意义得出复数z对应的点的坐标，再利用点的坐标确定点所在的象限。3．【答案】C【解析】【解答】因为焦点在y轴上，故m>5，该椭圆的离心率是12所以m−5m=1故答案为：C

【分析】利用已知条件结合椭圆的焦点的位置得出实数m的取值范围，再结合椭圆的离心率公式得出满足要求的实数m的值。4．【答案】A【解析】【解答】对于A，若m⊥α，m⊥对于B，若α⊥γ，对于C，若m⊥n，m⊥α，则n对于D，若m//α，

【分析】利用已知条件结合面面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、线线平行的判断方法，进而找出真命题的选项。5．【答案】B【解析】【解答】因为cos(故答案为：B

【分析】利用已知条件结合二倍角的余弦公式，进而得出cos(6．【答案】C【解析】【解答】由已知可得，f(x+π2)当0≤x≤π2时，因为π4≤x+π4≤3π4对于A项，因为f(−x)对于B项，因为当0<x<π4时，f(所以f(x)在(0，π4)上单调递增.由对于C项，由f(x)对于D项，因为f(x+π2)故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合绝对值的定义和辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合正弦型函数的图象判断其单调性，从而得出函数的最值，再结合偶函数的定义和正弦型函数的最小正周期公式，从而找出错误的选项。7．【答案】D【解析】【解答】由题可知，a=log23，因为ba所以b<a．另一方面，c=loga故答案为：D．

【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法和对数函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。8．【答案】A【解析】【解答】由已知可得f(解f(x)+1=0可得，x=2作出y=f(x)+1以及y=x−a的图象如下图，A(−7当y=f(x)+1与y=x−a的图象在如图1，当0≤a≤22，即y=x−a在图中由图象可知，在(−74，−14)内，有y=f(x)+1与y=k(x−a)的图象在x如图2，当a>22时，在(−74，−14)内，有y=f(x)+1与y=x−a的图象在x轴异侧，即f(x)当a<0时，有g(0)=f显然当−14≤a<0或a<−2当−2≤a<−74时，f(显然a=−7如图3，当−74<a<−由题意知，应有a≤−1，所以−7综上所述，满足条件的a的取值范围为−2≤a≤−1或0≤a≤1.所以，满足条件的整数a有−2，−1，0，1，共有4个.故答案为：A．

【分析】利用已知条件结合绝对值的定义得出分段函数的解析式，再结合分段函数的解析式画出分段函数的图象，再利用分类讨论的方法结合不等式求解方法以及方程的解与函数和x轴交点的横坐标的等价关系，进而得出满足条件的整数a的个数。9．【答案】B,C【解析】【解答】对于A，当x=0且y=0时，有xy=0；当xy=0时，x=0或y=0，得不出x=0且y=0.所以，“x=0且y=0”是“xy=0”的充分不必要条件，A不符合题意；对于B，由1a<1b<0对于C，由存在量词命题的否定可知命题“∃x∈R，使得x2+x+1≥0”的否定是“∀x∈对于D，令t=sinx∈(0，1)故答案为：BC．

【分析】利用已知条件结合充要条件判断方法、不等式的基本性质、全称命题与特称命题互为否定的关系、均值不等式求最值的方法，进而找出说法正确的选项。10．【答案】A,B,D【解析】【解答】对于A：∵P(A对于B：∵事件A与事件B不能同时发生，∴事件A与事件B互斥，∴B符合题意；对于C：∵事件C与事件D为同一事件，∴P(C)对于D：∵A∩C为不可能事件，A∪C为必然事件，故答案为：ABD．

【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式、互斥事件的定义、对立事件的定义和对立事件求解方法，从而找出正确的选项。11．【答案】B,C,D【解析】【解答】对于A：当l⊥x轴时，|PQ|PQ|的最小值为2×4−1对于B：设N是PQ的中点，连接ON，则ON⊥PQ，PO⋅|PQ|的最小值为23，最大值为4，∴对于C：当直线l的斜率为0时，OP⋅当直线l的斜率不为0时，设l：x=my−1，P(联立x=my−1x2+y2∴=−4∴OP⋅OQ∈[当且仅当m=0，即l：x=−1时取等号，对于D：由于MN⊥ON，则点N在以MO为直径的圆上，圆心为(−12∴点N的轨迹方程为(x+∴线段PQ中点的轨迹为圆，∴D符合题意．故答案为：BCD

【分析】当l⊥x轴时，|PQ|最小，再结合弦长公式得出|PQ|的最小值；设N是PQ的中点，连接ON，再结合等腰三角形三线合一，则ON⊥PQ，再结合数量积的定义得出PO→⋅PQ→=12|PQ→|2，再结合几何法得出|PQ|的最值，从而得出PO→⋅PQ12．【答案】A,D【解析】【解答】在矩形ABCD中，取AB中点F，连接CF与BE交于点O，∵AB=2，∴BF=CB=1，∴CF⊥BE，且CF=BE=2∴以O为原点，OF，OB所在直线分别为x轴，y轴，过O与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系如上图，则B(0，22∵F为AB中点，∴A(将△CBE沿直线BE翻折至△C1BE的位置的过程中，C1∴C1在平面zOx内，设C1(x，0，z)∴AC1=(x−|A对于A，设直线AC1与BE所成角为cosθ易知，当x∈[−2∴当x=22时，对于B，翻折过程中，AC∴不存在某个位置的C1，使得BE⊥A对于C，连接AE，直角△ADE有以AE又∵∠ABE=π4≠π2，∴B∴四棱锥C1对于D，当四棱椎C1−ABED的体积最大时，C1∴此时C1(0，0，2∴以AC1为直径的球的球心为AC∴球心M到平面C1BE即平面yOz的距离为又∵该球的直径AC1=|A由球的几何性质，以AC1为直径的球面被平面该圆的半径r=R∴该圆的周长为2π故答案为：AD.

【分析】在矩形ABCD中，取AB中点F，连接CF与BE交于点O，再结合已知条件和等腰三角形三线合一得出CF⊥BE，且CF=BE=2，所以以O为原点，OF，OB所在直线分别为x轴，y轴，过O与平面ABCD垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，再结合中点的性质得出点的坐标，将△CBE沿直线BE翻折至△C1BE的位置的过程中，C1在以O为圆心，直径为CF=2的圆弧上，所以C1在平面zOx内，设|AC1→|=3−2cosθ=16−42x，当x∈[−22，22]时结合函数y=1再利用∠ABE=π4≠π2，所以B不在△ADE的外接圆上，即四边形ABED无外接圆，所以四棱锥C1−ABED不存在外接球；当四棱椎C1−ABED的体积最大时，C1到平面ABED距离最大，所以此时C1(0，0，22)在13．【答案】7【解析】【解答】原式=−ln故答案为：7.

【分析】利用已知条件结合换底公式和指数幂的运算法则，进而化简求值。14．【答案】3【解析】【解答】设圆柱的底面半径为a，则圆柱的内切球的半径为a，∴圆柱的高为2a，∴圆柱的体积为V1=π×a2×2a=2πa3，又圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，故答案为：32

【分析】利用已知条件结合圆柱和球的位置关系，再结合圆柱和球的表面积公式和体积公式，进而得出该圆柱的体积与它的外接球的体积之比。15．【答案】12【解析】【解答】由题意，(x+2y∴x2+4y2原式=2当y=1故答案为：12．

【分析】利用已知条件结合二次函数的图象求最值的方法，进而得出x216．【答案】4【解析】【解答】设双曲线渐近线l1：y=−如图，设F1关于渐近线l1：y=−bax设线段F1M交渐近线l1又F1M与圆相切与M点，所以F2因为点O是F1F2所以，|ON又|F2M因为tan∠NO又在Rt△ONF1所以tan∠NO所以ba=15所以c2所以c2a2故答案为：4．

【分析】设双曲线渐近线l1：y=−bax的倾斜角为θ，设F1关于渐近线l1：y=−bax的对称点为M，连接F1M、F2M，设线段F1M交渐近线l17．【答案】（1）解：由题意可得2acosC+c=2b．由正弦定理得又sinB=sin(A+C)因为sinC≠0，所以cosA=12．又（2）解：sinB+因△ABC为锐角三角形，所以0<2π所以π6所以3sin(B+π6【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和三角形内角和为180度的性质，再结合诱导公式和两角和的正弦公式，进而得出角A的余弦值，再结合三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值。

（2）利用已知条件结合角A的值和三角形内角和为180度的性质，再结合两角和的正弦公式和辅助角公式化简函数为正弦型函数，再结合锐角三角形中角的取值范围和正弦型函数的图象求值域的方法，进而得出sinB+18．【答案】（1）解：圆C的圆心为坐标原点O，半径为r=2.设圆心O到直线l的距离为d，则d=r①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，满足题意；②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y−2=k(x−1)由题意可得d=|2−k|k2综上所述，直线l的方程为x=1或3x−4y+5=0．（2）解：方法一：设x+y+2=t.联立x2+y因为直线与圆有交点，所以Δ≥0又Δ=(所以t2−4t−4≤0，解得所以x+y+2的最大值是22+2，最小值是方法二：因为(x+y)2所以−22所以x+y+2的最大值是22+2，最小值是方法三，换元：令x=2cosθ，y=2sin则x+y+2=2cos因为θ∈[0，2所以x+y+2的最大值是22+2，最小值是【解析】【分析】（1）利用圆的标准方程得出圆C的圆心坐标和半径长，设圆心O到直线l的距离为d，再结合勾股定理得出d的值，再利用分类讨论的方法，①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，满足题意；②当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y−2=k(x−1)，再转化为直线的一般式方程为kx−y−k+2=0，再利用点到直线的距离公式和已知条件得出k的值，从而得出此时直线l的方程，进而得出直线l的方程。

（2）方法一：设x+y+2=t方法二：利用已知条件结合均值不等式求最值的方法得出x+y+2的最值；方法三，利用已知条件结合换元法，令x=2cosθ，y=2sinθ，θ∈[019．【答案】（1）解：设这m人的平均年龄为x，则x=22设第80百分位数为a，方法一：由5×0.02+(方法二：由0.05+0.（2）解：（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，对应的样本空间为：Ω(C设事件M=“甲、乙两人至少一人被选上”，则M={(所以，P(（ii）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为x4，x5，方差分别为s4则x4=37，x5=43，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z，方差为s2则z=s2因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这m人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图，利用组中值乘以相应的频率，即可得这m人的平均年龄；设第80百分位数为a，计算从左到右频率和为0.8或计算从右到左频率和为0.2，即可求出a=37.5；

(2)（i）由题意可得，第四组应抽取4人，记为A，B，C，甲，第五组抽取2人，记为D，乙，根据古典概型计算方法求解即可；20．【答案】（1）证明：取AC的中点O，连接OP，OD，因为△PAC是正三角形，所以PO⊥AC因为D是AB的中点，所以DO∥因为AC⊥BC，所以又PO∩DO=O，PO，DO⊂面POD，所以又因为PD⊂面POD，所以AC⊥PD．（2）解：以OA，OD为x轴，y轴，过O作z轴⊥底面ABC，建立如图空间直角坐标系，则O(0，0，0)，易得∠POD=120°，又PO=3，则P由DO∥BC得直线BC的一个方向向量为设平面PAB的法向量为n=(x，y则−2x+2y+0=0−x−32y+3记直线BC与平面PAB所成角为α，那么sinα【解析】【分析】（1）取AC的中点O，连接OP，OD，利用三角形△PAC是正三角形结合正三角形三线合一，所以PO⊥AC，再利用D是AB的中点，所以DO∥BC，再结合AC⊥BC，所以DO⊥AC，再利用线线垂直证出线面垂直，所以AC⊥面POD，再结合线面垂直的定义证出线线垂直