高三数学（理）一轮复习习题听课-第九单元-计数原理概率随机变量及其分布

第九单元计数原理、概率、随机变量及其分布第55讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理课前双击巩固基本形式一般形式区别分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=种不同的方法

完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,…,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=种不同的方法

分类加法计数原理与分步乘法计数原理,都涉及完成一件事情的不同方法种数.它们的区别在于:分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任何一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成分步乘法计数原理完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=种不同的方法

完成一件事需要n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=种不同的方法

题组一常识题1.[教材改编]已知集合M=1,-2,3,N={4,5,6,7},从两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标2.[教材改编]6名同学争夺3项冠军,获得冠军的可能性有种.

3.[教材改编]由0,1,2,3,5组成无重复数字的五位数,其中偶数共有个.

4.[教材改编]李芳有4件不同颜色的衬衣,3件不同颜色的裙子,另有2套不同样式的连衣裙,现在需选择1套服装参加歌舞演出,则李芳选择服装的不同方法有种.

题组二常错题◆索引:分类、分步时出错或对概念的理解出错.5.有3女2男共5名志愿者要全部分到3个社区去参加志愿服务,每个社区1到2人,甲、乙2名女志愿者需到同一社区,男志愿者到不同社区,则不同的分法种数为.

6.在一次游戏中,三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者.三个人互相传递,每人每次只能传一下,由甲开始传,经过五次传递后,花又被传回给甲,则不同的传递方式有种.(用数字作答)

7.已知a,b∈{2,3,4,5,6,7,8,9},则logab的不同取值个数为.

8.有6名学生,其中有3名只会唱歌,2名只会跳舞,1名既会唱歌又会跳舞.现从中选出2名会唱歌的学生,1名会跳舞的学生,去参加文艺演出,则所有不同的选法种数为.

课堂考点探究探究点一分类加法计数原理1(1)图书馆的书架有三层,第一层有3本不同的数学书,第二层有5本不同的语文书,第三层有8本不同的英语书,现从中任取1本书,则不同的取法共有 ()A.120种 B.16种C.64种 D.39种(2)如图9551,从甲地到乙地有2条路,从乙地到丁地有3条路,从甲地到丙地有4条路,从丙地到丁地有2条路,则从甲地到丁地不同的路有 ()图9551A.11条 B.14条C.16条 D.48条[总结反思]解答此类问题的关键是充分理解题意,理解分类计数原理:(1)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类,即分类的标准是“不重不漏,一步完成”;(2)分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,在各个步骤中任取一种方法,即是完成这个步骤的一种方法,即步与步之间的方法“相互独立,分步完成”.式题(1)[2017·辽宁重点高中期末]甲、乙、丙3人从1楼乘电梯去商场的3到9楼,每层楼最多下2人,则下电梯的方法有 ()A.210种 B.84种C.343种 D.336种(2)[2017·东北三省三校模拟]在哈尔滨的中央大街的步行街同侧有6块广告牌,广告牌的底色可选用红、蓝两种颜色,若要求相邻两块广告牌的底色不都为蓝色,则不同的配色方案共有()A.20种 B.21种C.22种 D.24种探究点二分步乘法计数原理2(1)[2017·淮北一中检测]甲与其四位同事各有一辆私家车,车牌尾数分别是0,0,2,1,5,为遵守当地某月5日至9日5天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行,偶数日车牌尾数为偶数的车通行),五人商议拼车出行,每天任选一辆符合规定的车,但甲的车最多只能用一天,则不同的用车方案的种数为 ()A.5 B.24C.32 D.64(2)某公司准备在一幢“五角楼”的五个角装上五盏3种不同颜色的灯,要求相邻两盏灯的颜色不同,则不同的安装方法有种.

[总结反思]利用分步乘法计数原理解决问题时应注意:(1)要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,以元素(或位置)为主体的计数问题,通常先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置);(2)对完成每一步的不同方法种数要根据条件准确确定.式题(1)[2017·杭州萧山一中月考]有六种不同颜色,给如图9552所示的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,不同的涂色方法共有 ()A.4320种 B.2880种C.1440种 D.720种图9552(2)某学校高三年级有2个文科班,3个理科班,现每个班指定1人对各班的卫生进行检查,若每班只安排1人检查,且文科班学生不检查文科班,理科班学生不检查自己所在的班,则不同安排方法的种数是 ()A.24 B.32C.48 D.84探究点三两个计数原理的综合3(1)张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩,购票后排队依次入园,为安全起见,首尾一定要排2位大人,另外,2个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为()A.144 B.124C.72 D.36(2)如图9553,一个地区分为五个行政区域,现给该地图着色,要求相邻区域不得使用同一种颜色,现有四种颜色可供选择,则不同的着色方法共有种.(用数字作答)

图9553[总结反思](1)涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解,但也有几种常用方法:按区域的不同,以区域为主分步计数,用分步乘法计数原理分析;以颜色为主分类讨论,适用于区域、点、线段等问题,用分类加法计数原理分析;将空间问题平面化,转化成平面区域的涂色问题.(2)分类加法计数原理中,完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类;分步乘法计数原理中,各个步骤相互依存,只有完成每一步,整件事才算完成.若综合利用两个计数原理,一般先分类再分步.式题(1)若自然数n作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“开心数”.例如,32是“开心数”,因为32+33+34不产生进位现象;23不是“开心数”,因为23+24+25产生进位现象.那么,小于100的“开心数”的个数为 ()A.9 B.10C.11 D.12(2)“五一”周将至,小明一家五口决定外出游玩,购买的车票分布如图9554.图9554若爷爷喜欢走动,需要坐靠近走廊的位置,妈妈需要照顾妹妹,两人必须坐在一起,则座位的安排方式一共有种.

第56讲排列与组合课前双击巩固1.排列与组合的概念名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照排成一列

排列有序,组合无序组合合成一组2.排列数与组合数名称定义计算公式性质联系排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“AnAnm=(n,m∈N*,且m≤n)(1)Ann(2)0!=1Cnm组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“CnCnm==n!m!(n-m)!(n,m(1)Cnn=Cn(2)Cnm=(3)Cn+1m=题组一常识题1.[教材改编]世界华商大会的某分会场有A,B,C三个展台,将甲、乙、丙、丁4名“双语”志愿者选派3名分别到这三个不同的展台担任翻译工作,则不同的选派方法有种.

2.[教材改编]甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则不同的选法共有种.

3.[教材改编]某数学教研组准备从甲、乙等7名教师中选派4名教师发言,如果要求甲、乙两人至少有一人发言,那么不同的选派方法有种.

题组二常错题◆索引:分类讨论中分类标准不清楚导致重复计数;不能灵活使用间接法.4.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装计算机和组装计算机各2台,则不同的取法有种.

5.有大小和形状完全相同的3个红色小球和5个白色小球,将它们排成一排,共有种不同的排列方法.

6.现有6个人排成一排照相,其中甲、乙、丙3人不同时相邻的排法有种.

课堂考点探究探究点一排列问题1(1)[2017·江西重点中学盟校联考]将A,B,C,D,E这5名同学从左至右排成一排,则A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学的排法有 ()A.18种 B.20种C.21种 D.22种(2)四位男演员与五位女演员排成一排拍照,其中四位男演员互不相邻,且女演员甲不站两端的排法种数为 ()A.A55A642C.A55A542[总结反思](1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法和元素分析法.在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)有限制条件的排列问题的常用方法:相邻问题采用捆绑法,不相邻问题采用插空法.式题(1)5名学生进行知识竞赛.笔试结束后,甲、乙两名参赛者去询问成绩,回答者对甲说:“你们5人的成绩互不相同,很遗憾,你的成绩不是最好的”;对乙说:“你不是最后一名”.根据以上信息,这5人的笔试名次的所有可能的种数是 ()A.54 B.72C.78 D.96(2)现将5张连号的电影票分给甲、乙等5个人,每人1张,且甲、乙分得的电影票连号,则共有不同分法的种数为 ()A.12 B.24C.36 D.48探究点二组合问题2(1)[2017·辽宁实验中学模拟]篮球比赛中每支球队的出场阵容由5名队员组成,2017年的NBA篮球赛中,休斯顿火箭队采取了“八人轮换”的阵容,即每场比赛只有8名队员有机会出场,这8名队员中包含2名中锋,2名控球后卫.若要求每一套出场阵容中有且仅有1名中锋,至少包含1名控球后卫,则休斯顿火箭队的主教练出场阵容的选择方案共有 ()A.16种 B.28种C.84种 D.96种(2)现有12张不同颜色的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张,现从中任取3张,要求3张卡片不能全是同种颜色,且蓝色卡片至多1张,则不同的取法种数是 ()A.135 B.172C.189 D.162[总结反思]解决组合问题中两类题型的方法:(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.(2)对于“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型,若直接分类复杂,则间接求解.式题(1)[2017·银川二模]某地实行高考改革,考生除参加语文、数学、外语统一考试外,还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科,要求物理、化学、生物三科至少选一科,政治、历史、地理三科至少选一科,则可供考生选择的选考方法种数为()A.6 B.12C.18 D.24(2)[2017·郴州质检]把3名男生2名女生共5名新生分配到甲、乙两个班,每个班分配的新生不少于2名,且甲班至少分配1名女生,则不同的分配方案种数为.(用数字作答)

探究点三分组分配问题考向1整体均分问题3数学活动小组由12名同学组成,现将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题,并要求每组选出1名组长,则不同的分配方案有 ()A.C123C93C6C.C123C93C63A4[总结反思](1)平均分配给不同小组的分法种数等于平均分堆的分法种数乘堆数的全排列.(2)对于分堆与分配问题应注意三点:①处理分配问题要注意先分堆再分配;②被分配的元素是不同的;③分堆时要注意是否均匀.考向2部分均分问题4为防止部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这三种题型进行改编,则每种题型至少指派1名教师的不同分派方法种数为()A.150 B.180C.200 D.280[总结反思]对于部分均分问题,解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!.考向3不等分问题5A,B,C,D,E,F六人围坐在一张圆桌上开会,A是会议的中心发言人,必须坐最北面的椅子,B,C二人必须坐相邻的两把椅子,其余三人坐剩余的三把椅子,则不同的坐法有 ()A.24种 B.30种C.48种 D.60种[总结反思]对于不等分问题,首先要对分配数量的可能情形进行一一列举,然后再对每一种情形分类考虑.在每一类的计数中,又要考虑是分步计数还是分类计数,是排列问题还是组合问题.强化演练1.【考向1】[2017·汕头模拟]现有编号为A,B,C,D的四本书,将这四本书平均分给甲、乙两位同学,则A,B两本书不被同一位同学分到的概率为 ()A.14 B.C.23 D.2.【考向2】6位机关干部被选调到4个贫困自然村进行精准扶贫,要求每位机关干部只能参加一个自然村的扶贫工作,且每个自然村至少有1位机关干部扶贫,则不同的分配方案有种.

3.【考向3】将7名应届师范大学毕业生分配到3所中学任教,若4个人分到甲学校,2个人分到乙学校,1个人分到丙学校,则有种不同的分配方案.

4.【考向2】在“心连心”活动中,五名党员被分配到甲、乙、丙三个村子进行入户走访,每个村子至少安排一名党员参加,且A,B两名党员必须在同一个村子的不同分配方法种数为.

5.【考向2】现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察,要求每个兴趣小组的带队教师至多有2名,若其中教师甲和教师乙均不能单独带队,则不同的带队方案有种.(用数字作答)

第57讲二项式定理课前双击巩固1.二项式定理二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an1b+…+Cnranrbr+…+Cnn二项展开式的通项Tr+1=Cnranrbr,它表示第二项式系数二项展开式中各项的系数为Cn0,Cn12.二项式系数的性质(1)当0≤k≤n时,Cnk与Cn(2)二项式系数先增后减中间项最大.当n为偶数时,第n2+1项的二项式系数最大,最大值为Cn2n;当n为奇数时,第n+12项和第n+3(3)各二项式系数和:Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=,Cn0+Cn2+Cn题组一常识题1.[教材改编]已知(x3y)n的展开式中,第5项的二项式系数与第12项的二项式系数相等,则展开式共有项.

2.[教材改编]二项式x+2x12的展开式中常数项是第项.

3.[教材改编]在二项式x1x8的展开式中,含x5项的系数是.(用数字作答)

4.[教材改编]若x13x24=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+a3+a5=.

题组二常错题◆索引:二项展开式的通项记错致误;混淆二项式系数之和与各项系数之和致误.5.(12x)7的展开式中第4项的系数是.

6.在二项式x22xn的展开式中,所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为.

7.已知(1+x)10=a0+a1(1x)+a2(1x)2+…+a10(1x)10,则a8=.

8.[2017·惠州模拟](x+1)5(x2)的展开式中x2的系数为.

课堂考点探究探究点一求展开式中的特定项或特定系数1(1)(12x)5的展开式中x3的系数为 ()A.80 B.80C.10 D.10(2)二项式x1x6的展开式中常数项为 ()A.15 B.15C.20 D.20[总结反思]本类题主要考查二项展开式的通项与系数,考查的核心是通项Tr+1=Cnranrbr.求解此类问题可以分两步完成:第一步,根据给出的条件(特定项)和通项,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件,即n,r均为非负整数,且n≥r);第二步,式题(1)[2017·贵阳二模]若xax5的展开式中x3的系数为30,则实数a= ()A.6 B.6C.5 D.5(2)[2017·株洲一模]在14x+2x5的展开式中,x3的系数为.(用数字作答)

探究点二二项式系数与各项的系数问题2(1)在x+3xn的展开式中,各项系数和与二项式系数和之比为64∶1,则x3的系数为()A.15 B.45C.135 D.405(2)[2017·唐山三模]若(1x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a9|= ()A.1 B.513C.512 D.511[总结反思](1)“赋值法”普遍应用于恒等式,是一种处理与二项式相关问题的比较常用的方法.对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和,只需令x=1即可.(2)当n为偶数时,展开式中第n2+1项的二项式系数最大,最大值为Cnn2;当n为奇数时,展开式中第n+12项和第n+3式题(1)在(x2)6的展开式中,二项式系数的最大值为m,含x5项的系数为n,则nm= ()A.53 B.C.35 D.(2)[2017·西宁一模]若x2+axn的展开式中,二项式系数和为64,所有项的系数和为729,则a的值为.

探究点三多项式展开式中的特定项考向1几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题3在(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)11的展开式中,x2项的系数是 ()A.55 B.66C.165 D.220[总结反思]几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:先分别求出每一个多项式中的特定项,再合并.通常要用到方程或不等式的知识求解.考向2几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题4在(x1)4·(x1)2的展开式中,含x项的系数为 ()A.4 B.2C.2 D.4[总结反思]几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:先分别化简或展开为多项式和的形式,再分类考虑特定项产生的每一种情形,求出相应的特定项,最后进行合并即可.考向3三项展开式中的特定项(系数)问题5[2017·长沙三模]x21x+34的展开式中常数项是.

[总结反思]三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法:(1)通常将三项式转化为二项式积的形式,然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解;(2)将其中某两项看成一个整体,直接利用二项式定理展开,然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形.强化演练1.【考向2】(a+x)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a的值为 ()A.3 B.3C.5 D.52.【考向1】已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),若a0+a1+…+an=62,则logn25等于.

3.【考向3】[2017·锦州质检](x2x2)3的展开式中含x项的系数为.

4.【考向2】在多项式(1+2x)6(1+y)5的展开式中,xy3的系数为.

5.【考向2】在x1x(2x1)6的展开式中,x3的系数是.(用数字作答)

6.【考向2】[2017·赣州二模]若(1+y3)x1x2yn(n∈N+)的展开式中存在常数项,则常数项为探究点四二项式定理的简单应用考向1利用二项式定理证明不等式6设函数f(x,y)=(1+my)x(m>0,y>0).已知正整数n与正实数t,满足f(n,1)=mnfn,1t.求证:f2017,11000t>6f2017,1t.

[总结反思]利用二项式定理证明不等式,常取展开式的部分项朝预定目标进行不等放缩,从而得证.考向2有关整除问题7若等差数列{an}的首项为a1=C5m11-2mA11-3m2m-2(m∈N),公差是52x253x2

[总结反思]用二项式定理处理整除问题,通常把被除数写成除数(或与余数密切相关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,但要注意两点:一是余数的范围,a=cr+b,其中余数b∈[0,r),r是除数,切记余数不能为负;二是二项式定理的逆用.强化演练1.【考向2】883+6被49除所得的余数是 ()A.14 B.0C.14 D.352.【考向2】若n是正整数,则7n+7n1Cn1+7n2Cn2+…+7Cn3.【考向1】利用二项式定理证明:23n-1<2n+1(n∈N

第58讲随机事件的概率与古典概型课前双击巩固1.事件的分类确定事件必然事件在条件S下,一定会发生的事件叫作相对于条件S的必然事件不可能事件在条件S下,一定不会发生的事件叫作相对于条件S的不可能事件随机事件在条件S下,的事件叫作相对于条件S的随机事件

2.频率与概率(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=nAn为事件A(2)对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的稳定在某个常数上,把这个记作P(A),称为事件A发生的概率,简称为A的概率.

3.事件的关系与运算定义符号表示包含关系若事件A发生,事件B一定发生,则称事件B事件A(或称事件A包含于事件B)

(或A⊆B)相等关系若B⊇A且A⊇B,则称事件A与事件B相等

并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的(或和事件)

A∪B(或A+B)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当且,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)

A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件,则称事件A与事件B互斥A∩B=⌀对立事件若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,则称事件A与事件B互为对立事件A∩B=⌀且P(A∪B)=P(A)+P(B)=14.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围:.

(2)必然事件的概率P(E)=.

(3)不可能事件的概率P(F)=.

(4)①若事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=.

②若事件B与事件A互为对立事件,则P(A)=.

5.古典概型(1)基本事件的特点:①任何两个基本事件是的;

②任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和.

(2)古典概型的特点:①试验中所有可能出现的基本事件只有个,即;

②每个基本事件发生的可能性,即.

(3)概率公式:P(A)=.

题组一常识题1.[教材改编]在天气预报中,有“降水概率预报”.例如,预报“明天降水概率为85%”,对这句话理解正确的说法序号是.

①明天该地区有85%的地区降水,其他15%的地区不降水;②明天该地区约有85%的时间降水,其他时间不降水;③气象台的专家中,有85%的专家认为会降水,另外15%的专家认为不降水;④明天该地区降水的可能性为85%.2.[教材改编]抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件为.

3.[教材改编]从含有两件正品a1,a2和一件次品b的三件产品中,每次任取一件.若每次取后放回,连续取两次,则取出的两件产品中恰有一件次品的概率为.

4.[教材改编]中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,甲夺得冠军的概率为37,乙夺得冠军的概率为14,那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为5.[教材改编]已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次,至少击中3次的概率.先由计算器算出0~9之间取整数值的随机数,指定0,1表示没有击中目标,2,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,因为射击4次,所以以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了20组随机数:57270293714098570347437386369647141746980371623326168045601136619597742467104281据此估计,该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为.

题组二常错题◆索引:求基本事件时出错;确定对立事件时出错;互斥事件判定出错.6.甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏,则平局的概率为;甲赢的概率为.

7.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为.

课堂考点探究探究点一随机事件的频率与概率1(1)下列说法正确的是 ()A.某人打靶,射击10次,击中7次,则此人中靶的概率为0.7B.一位同学做抛硬币试验,抛6次,一定有3次“正面朝上”C.某地发行福利彩票,回报率为47%,若有人花了100元钱买彩票,则一定会有47元的回报D.发生的概率等于1的事件不一定为必然事件(2)有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表:所用的时间(天数)10111213通过公路1的频数20402020通过公路2的频数10404010假设汽车A只能在约定日期(某月某日)的前11天出发,汽车B只能在约定日期的前12天出发(将频率视为概率),为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙,估计汽车A和汽车B选择的最佳路径分别为 ()A.公路1和公路2 B.公路2和公路1C.公路2和公路2 D.公路1和公路1[总结反思]随机事件的频率与概率问题应注意:(1)理解频率与概率的区别:概率可看成是频率在理论上的稳定值,频率随着试验次数的变化而变化,概率却是一个常数.(2)理解概率的基本性质:①0≤P(A)≤1;②P(Ω)=1,P(⌀)=0.式题[2017·福州一中质检]规定:投掷飞镖3次为一轮,若3次中至少2次投中8环以上为优秀.根据以往经验,某选手投掷1次命中8环以上的概率为45.现采用计算机做模拟试验来估计该选手获得优秀的概率.用计算机产生0到9之间的随机整数,用0,1表示该次投掷未在8环以上,用2,3,4,5,6,7,8,9表示该次投掷在8环以上,经随机模拟试验产生了如下20组随机数:907966191925271932812458569683031257393527556488730113537989据此估计,该选手投掷一轮,可以拿到优秀的概率为 ()A.45 B.C.112125 D.探究点二互斥事件与对立事件的概率2[2017·浏阳一中模拟]公元五世纪,数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是3.<π<3..为纪念祖冲之在圆周率上的成就,把3.称为“祖率”,这是中国数学的伟大成就.某小学教师为帮助同学们了解“祖率”,让同学们从小数点后的7位数字1,4,1,5,9,2,6中随机选取2位数字,整数部分3不变,那么得到的数大于3.14的概率为()A.2831 B.C.2231 D.[总结反思]求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:(1)直接求法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率,再运用互斥事件概率的加法公式计算.(2)间接求法:先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1P(A)求概率,即运用逆向思维(正难则反).特别是对“至多”“至少”型题目,用间接求法更简便.式题[2017·临汾一中月考]现有4张卡片,正面分别标有1,2,3,4,背面完全相同.将卡片洗匀,背面向上放置,甲、乙二人轮流抽取卡片,每人每次抽取一张,抽取后不放回,甲先抽,若二人约定,先抽到标有偶数的卡片者获胜,则甲获胜的概率是 ()A.23 B.C.12 D.探究点三古典概型的概率3学校为了奖励数学竞赛中获奖的优秀学生,将“梅”“兰”“竹”“菊”四幅名画送给获奖的甲、乙、丙三名学生,每名学生至少获得一幅,则甲得到名画“竹”的概率是 ()A.23 B.C.13 D.[总结反思]古典概型中基本事件的探求方法:(1)列举法.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.式题(1)[2017·大同三模]现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀的各1人,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1或B1仅1人被选中的概率为 ()A.13 B.C.12 D.(2)一个三位自然数abc的百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b且c>b时称为“凹数”.若a,b,c∈{4,5,6,7,8},且a,b,c互不相同,任取一个三位数abc,则它为“凹数”的概率是 ()A.23 B.C.16 D.探究点四古典概型的交汇命题考向1古典概型与平面向量相结合4设平面向量a=(m,1),b=(2,n),其中m,n∈{2,1,1,2}.(1)记“使得a∥b成立的(m,n)”为事件A,求事件A发生的概率;(2)记“使得a⊥(a2b)成立的(m,n)”为事件B,求事件B发生的概率.

[总结反思]古典概型与平面向量交汇问题的处理方法:(1)根据平面向量的知识进行坐标运算,得出事件满足的约束条件;(2)根据约束条件(等式或不等式)列举出所有符合条件的结果;(3)利用古典概型的概率计算公式求解概率.考向2古典概型与直线、圆相结合5已知实数a,b∈{2,1,1,2}.(1)求直线y=ax+b不经过第四象限的概率;(2)求直线y=ax+b与圆x2+y2=1有公共点的概率.

[总结反思]古典概型与直线、圆相结合问题的处理方法:(1)根据平面几何中直线与圆的相关知识,求出事件满足的约束条件;(2)根据约束条件(等式或不等式)列举所有符合条件的结果;(3)利用古典概型的概率计算公式求解概率.考向3古典概型与函数结合6已知关于x的二次函数fx=ax2bx+1,设集合P=1,2,3,Q=-1,1,2,3,4(1)列举出所有的数对a,b,并求函数y=fx(2)求函数y=fx在区间1,+

[总结反思]古典概型与函数交汇问题的处理方法:(1)根据函数的相关性质,确定相关系数应满足的条件;(2)根据系数满足的条件进行分类考虑,求出所有符合条件的基本事件个数;(3)利用古典概型的概率计算公式求解概率.强化演练1.【考向3】[2017·黄山二模]已知函数f(x)=12ax2+bx+1,其中a∈{2,4},b∈{1,3},则f(x)在(∞,1]上是减函数的概率为 (A.12 B.34 C.16 2.【考向2】以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m,n作为点P的坐标(m,n),则点P在直线x+y=7上的概率为.

3.【考向1】[2017·赣州二模]连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向量b=(1,1)的夹角为θ,则θ为锐角的概率是.

4.【考向3】设集合P={1,2,3},Q={1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b组成数对(a,b),并构成函数f(x)=ax24bx+1.(1)写出所有可能的数对(a,b),并计算a≥2且b≤3的概率;(2)求函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.

第59讲几何概型课前双击巩固1.几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

2.几何概型的概率公式P(A)=.

题组一常识题1.[教材改编]如图9591,A,B,C,D,E,F是圆O的六个等分点,则转盘指针不落在阴影部分的概率为.

图95912.[教材改编]已知一个路口的信号灯,绿灯亮40秒后,黄灯亮若干秒,然后红灯亮30秒,如果一辆车到达路口时,遇到红灯的概率为25,那么黄灯亮的时间为秒3.[教材改编]一位同学家里订了一份报纸,送报人每天都在早上5:20~6:40之间将报纸送到,该同学的爸爸需要在早上6:00~7:00之间出发去上班,则这位同学的爸爸在离开家前能拿到报纸的概率是.

题组二常错题◆索引:选用的几何测度不准确导致出错.4.设x是一个锐角,则sinx>12的概率为5.如图9592,A是圆上固定的一点,在圆上其他位置任取一点A',连接AA',它是一条弦,它的长度小于或等于半径长的概率为.

图95926.在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,如果在该矩形内随机找一点P,那么使得△ABP与△CDP的面积都不小于1的概率为.

7.已知函数f(x)=log2x,x∈[1,8],则不等式1≤f(x)≤2成立的概率是.

课堂考点探究探究点一随机模拟方法1[2016·全国卷Ⅱ]从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 ()A.4nm BC.4mn D[总结反思]对于应用几何概型模拟求解面积的问题,先构造出随机事件A对应的几何图形,再利用概率等于面积的比值构建方程求解.式题已知正六边形ABCDEF内接于圆O,连接AD,BE,现在往圆O内投掷2000粒小米,则可以估计落在阴影区域内的小米的粒数大约是参考数据:π3≈1.82,3π≈0.55 ()A.550 B.600C.650 D.700图9593探究点二与长度﹑角度有关的几何概型2在区间[1,1]上随机取一个数k,使直线y=k(x+3)与圆x2+y2=1有两个交点的概率为()A.12 B.C.23 D.[总结反思]求与长度(角度)有关的几何概型概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度),然后求解,要特别注意“长度型”与“角度型”的不同.解题的关键是构建事件的区域(长度、角度).式题(1)事件“在正方形ABCD的边CD上随机选取一点P,使∠ABP为三角形APB中最大的角”发生的概率为 ()A.12 B.C.13 D.(2)[2017·宁德质检]若在区间[0,e]内随机取一个数x,则代表数x的点到区间两端点的距离均不小于e3的概率为 (A.14 B.C.13 D.探究点三与体积有关的几何概型3有一个底面半径为1、高为2的圆柱,点O为这个圆柱底面圆的圆心,在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点O的距离大于1的概率为.

[总结反思]对于与体积有关的几何概型问题,关键是计算总体积(总空间)以及事件的体积(空间),对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件去求解.式题在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1内随机取一点P,则点P到正方体各顶点的距离都大于1的概率为.

探究点四与面积有关的几何概型考向1与三角形﹑矩形﹑圆等平面图形面积有关的问题4[2017·锦州质检]三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文,弦图是一个以勾股之弦为边的正方形,其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形,分别涂成红(朱)色及黄色,其面积称为朱实、黄实,利用2×勾×股+(股勾)2=4×朱实+黄实=弦实,化简得勾2+股2=弦2.设勾股形中勾、股之比为1∶3,若向弦图内随机抛掷1000颗图钉(大小忽略不计),则落在黄色图形内的图钉颗数大约为 ()A.134 B.866C.300 D.500图9594[总结反思]求与面积有关的几何概型概率的方法:(1)确定所求事件构成的区域图形,判断是否为几何概型;(2)分别求出Ω和所求事件对应的区域面积,用几何概型的概率公式求解.考向2与线性规划交汇命题的问题5设点(a,b)在不等式组a+b-4≤0,a>0,b>0表示的平面区域内,则函数f(x)=ax22bx+3在区间A.13 B.C.12 D.[总结反思]与线性规划交汇问题的处理方法:(1)根据线性规划的知识求出可行域,确定所求事件构成的区域图形,判断是否为几何概型;(2)分别求出Ω和所求事件对应的区域面积,用几何概型的概率公式求解.考向3与定积分计算交汇命题的问题6如图9595,图9595在边长为2的正方形ABCD中,M是AB的中点,过C,M,D三点的抛物线与CD围成阴影部分,则向正方形内撒一粒黄豆,落在阴影部分的概率是 ()A.16 B.C.12 D.[总结反思]求解与定积分计算交汇的几何概型问题的关键是:利用积分公式求解事件对应的区域面积,注意一定要计算准确.强化演练1.【考向1】[2017·长沙二模]在如图9596所示的锐角三角形空地中,有一内接矩形花园(阴影部分),其一边长为x(单位:m).将一颗豆子随机地扔到该空地内,用A表示事件“豆子落在矩形花园内”,则P(A)的最大值为 ()A.14 B.C.12 D.图95962.【考向1】在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在矩形ABCD内随机取一点,则取到的点到点O的距离大于1的概率为 ()A.π8 B.1C.π4 D.13.【考向2】已知Ω={(x,y)|x+y≤6,x≥0,y≥0},Γ={(x,y)|x≤4,y≥0,x2y≥0},若向区域Ω内随机投一点P,则点P落入区域Γ内的概率是 ()A.13 B.C.19 D.4.【考向3】[2017·成都三诊]已知A={(x,y)|x2+y2≤π2},B是曲线y=sinx与x轴围成的封闭区域.若向区域A内随机投入一点M,则点M落入区域B内的概率为 ()A.2π B.C.2π3 D5.【考向1】在区间[0,2]内随机取出两个数,则这两个数的平方和在区间[0,2]内的概率为 ()A.22 B.C.12 D.第60讲离散型随机变量及其分布列课前双击巩固1.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为,常用字母X,Y,ξ,η,…表示.所有取值可以一一列出的随机变量,称为.

2.离散型随机变量的分布列及其性质(1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则以表格的形式表示如下:Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn将上表称为离散型随机变量X的,简称为X的,有时为了表达简单,也用等式表示X的分布列.

(2)离散型随机变量的分布列的性质:①;

②.

3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布:若随机变量X服从两点分布,即其分布列为X01P

p其中p=称为成功概率.

(2)超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}发生的概率P(X=k)=CMkCN-Mn-kCNn,X01…mPCC…C其中m=,且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.

如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布.题组一常识题1.[教材改编]若随机变量η的分布列如下:η210123P0.10.20.20.30.10.1则当P(η<x)=0.8时,实数x的取值范围是.

2.[教材改编]设随机变量X的概率分布列为P(X=k)=ck+1,k=0,1,2,3,则c=3.[教材改编]在一次招聘中,主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,并独立完成所抽取的3道题.甲能正确完成其中的4道题,且每道题完成与否互不影响.记所抽取的3道题中,甲能正确完成的题数为X,则X的分布列为.

4.[教材改编]数学老师从6道习题中随机抽取3道让同学解答,规定至少要解答正确2道题才能及格.某同学只能正确解答其中的4道题,则他能及格的概率是.

题组二常错题◆索引:X所有可能取值的概率之和为1;概率非负;X的所有可能取值情况考虑不周.5.已知离散型随机变量X的分布列如下所示:X01P9c2c38c据此求得常数c=.

6.某射手有5发子弹,射击一次命中目标的概率为0.9,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,则耗用子弹数X的分布列为.

7.袋中有4个红球和3个黑球,从袋中任取4个球,取到1个红球得1分,取到1个黑球得3分,设得分为随机变量ξ,则P(ξ≤7)=.(用分数表示结果)

课堂考点探究探究点一离散型随机变量的分布列的性质1随机变量X所有可能取值的集合是-2,0,3,5,且P(X=2)=14,P(X=3)=12,P(X=5)=112,则P(A.13 B.C.23 D.[总结反思]利用分布列中的各概率之和为1可求出参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.式题设随机变量X等可能取值为1,2,3,…,n,如果P(X<4)=12,那么n=.

探究点二离散型随机变量分布列的求法2[2017·衡水中学三模]如图9601,小华和小明两个小伙伴在一起做游戏,他们通过划拳(剪刀、石头、布)比赛决定谁先登上第3个台阶.他们规定从平地开始,每次划拳赢的一方登上一级台阶,输的一方原地不动,平局时两个人都上一级台阶,如果一方连续两次赢,那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励,除非已经登上第3个台阶,当有任何一方登上第3个台阶时,游戏结束,记此时两个小伙伴划拳的次数为X.(1)求游戏结束时小华在第2个台阶的概率;(2)求X的分布列.图9601

[总结反思]求随机变量分布列的主要步骤:①明确随机变量的取值,并确定随机变量服从何种概率分布;②求每一个随机变量取值的概率;③列成表格.式题[2017·江西六校联考]一个盒子中装有六张卡片,上面分别写着如下六个定义域为R的函数:f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sinx,f5(x)=cosx,f6(x)=2.(1)现从盒子中任取两张卡片,将卡片上的函数相加得到一个新函数,求所得函数是奇函数的概率;(2)现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后均不放回,若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取,否则继续进行,求抽取次数ξ的分布列.

探究点三超几何分布3盒内有大小相同的9个球,其中2个红色球,3个白色球,4个黑色球.规定取出1个红色球得1分,取出1个白色球得0分,取出1个黑色球得1分,现从盒内任取3个球.(1)求取出的3个球中至少有1个红色球的概率;(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率;(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数,求ξ的分布列.

[总结反思](1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.(2)超几何分布的特征是:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体个数X的概率分布.(3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.式题对某城市一天内单次租用共享自行车的时间在50分钟到100分钟的n人进行统计,按照租车时间(单位:分钟)[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分组作出如下频率分布直方图,并作出租用时间的茎叶图(图中仅列出了时间在[50,60),[90,100]的数据).图9602图9603(1)求n及频率分布直方图中x,y的值;(2)从租用时间在80分钟以上(含80分钟)的人中随机抽取4人,设随机变量X表示所抽取的4人中租用时间在[80,90)内的人数,求随机变量X的分布列.

第61讲n次独立重复试验与二项分布课前双击巩固1.条件概率条件概率的定义条件概率的性质设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=P(AB)P(A)(1)0≤P(B|A)≤1;(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=

2.事件的相互独立性(1)定义:设A,B为两个事件,如果P(AB)=,则称事件A与事件B相互独立.

(2)性质:①若事件A与B相互独立,则P(B|A)=,P(A|B)=P(A),P(AB)=.

②如果事件A与B相互独立,那么A与B,A与B,A与B也都相互独立.3.独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率是p,此时称随机变量X服从二项分布,记作,并称p为

计算公式Ai(i=1,2,…,n)表示第i次试验的结果,则P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)…P(An)在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率P(X=k)=Cnkpk(1p)nk(k=0,1,2,…,题组一常识题1.[教材改编]某地区气象台统计,该地区下雨的概率是415,刮风的概率是25,既刮风又下雨的概率为110,设A表示“该地区下雨”,B表示“该地区刮风”,那么P(B|A)2.[教材改编]甲、乙两人各射击1次,击中目标的概率分别是23和12,假设两人击中目标与否相互之间没有影响,每人各次击中目标与否相互之间也没有影响,则两人各射击4次,甲恰好有2次击中目标且乙恰好有3次击中目标的概率为3.[教材改编]已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球,它们的大小和形状完全相同,甲每次不放回地从盒中任取1球,则在他第一次拿到白球的条件下,第二次拿到红球的概率为.

4.[教材改编]某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是13,那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为题组二常错题◆索引:间接法适用于计算对立事件的概率;条件概率公式套用错误;相互独立事件恰有一个发生的概率的理解有误.5.甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码,他们能译出的概率分别为15,13,14,6.由0,1组成的三位数编号中,若事件A表示“第二位数字为0”,事件B表示“第一位数字为0”,则P(A|B)=.

7.计算机毕业考试分为理论与操作两部分,每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”,只有两部分考试都“合格”者,才给颁发计算机“合格证书”.甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为45,23,在操作考试中“合格”的概率依次为12,56,所有考试是否合格相互之间没有影响.则甲、乙进行理论与操作两项考试后课堂考点探究探究点一条件概率1(1)[2017·铜仁一中期末]现抛掷两枚骰子,记事件A为“朝上的两个数之和为偶数”,事件B为“朝上的两个数均为偶数”,则P(B|A)= ()A.18 B.C.25 D.(2)如图9611,四边形EFGH是以O为圆心,1为半径的圆的内接正方形,将一颗豆子随机地扔到圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形HOE(阴影部分)内”,则P(B|A)=.

图9611[总结反思]条件概率的求法:(1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=P(AB)P(A(2)基本事件法:用古典概型的概率公式,先求事件A包含的基本事件个数n(A),再求事件AB所包含的基本事件个数n(AB),得P(B|A)=n(式题(1)先后抛掷同一枚骰子两次,落在水平桌面后,记正面朝上的点数分别为x,y,设事件A为“x+y为偶数”,事件B为“x≠y”,则P(B|A)= ()A.14 B.C.12 D.(2)在5道题中有3道代数题和2道几何题.如果不放回地依次抽取2道题,则在第1次抽到代数题的条件下,第2次也抽到代数题的概率为 ()A.15 B.C.12 D.探究点二相互独立事件的概率2本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人独立来该租车点租车骑游(各租一车一次).已知甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14,12,两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12,14(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率;(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列.

[总结反思]求相互独立事件同时发生的概率的方法:(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积;(2)当正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.式题一家医药研究所,从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H病毒”的药物,经试验,服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为12,13.现已进入药物临床试用阶段,每个试用组由4位该病毒的感染者组成,其中2人试用甲种抗病毒药物,2人试用乙种抗病毒药物,如果试用组中,甲种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数,则称该组为“甲类组”.求一个试用组为“甲类组”的概率

探究点三独立重复试验与二项分布3甲、乙两人做定点投篮游戏,已知甲每次投篮命中的概率均为p,乙每次投篮命中的概率均为12,甲投篮3次均未命中的概率为127,甲、乙每次投篮是否命中相互之间没有影响(1)若甲投篮3次,求至少命中2次的概率;(2)若甲、乙各投篮2次,设两人命中的总次数为X,求X的分布列和数学期望.

[总结反思]二项分布满足的条件:(1)每次试验中,事件发生的概率是相同的;(2)各次试验中的事件是相互独立的;(3)每次试验只有两种结果,即事件发生或不发生;(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数.式题某学校设有甲、乙两个实验班,为了了解各班学生的成绩情况,采用分层抽样的方法从甲、乙两班分别抽取8名和6名学生测试他们的数学与英语成绩(单位:分),用(m,n)表示.下面是乙班6名学生的测试成绩:A(138,130),B(140,132),C(140,130),D(134,140),E(142,134),F(134,132).当学生的数学、英语成绩满足m≥135且n≥130时,该学生定为优秀生.(1)已知甲班共有80名学生,用上述样本估计乙班优秀生的人数;(2)已知甲、乙两班优秀生的频率相同,以频率作为概率,从甲、乙两班学生中各随机抽取1名,其中优秀生人数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望.

第62讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布课前双击巩固1.离散型随机变量的均值(1)一般地,若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)=为随机

变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的.

(2)若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量,且E(aX+b)=.

(3)若X服从两点分布,则E(X)=;

若X~B(n,p),则E(X)=.

2.离散型随机变量的方差(1)设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度.而D(X)=

为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量X与其均值E(X)的.称D(X)为随机变量X的方差,其为随机变量X的标准差.

(2)D(aX+b)=.

(3)若X服从两点分布,则D(X)=.

(4)若X~B(n,p),则D(X)=.

3.正态分布(1)正态曲线的特点:①曲线位于x轴,与x轴不相交;

②曲线是单峰的,它关于直线对称;

③曲线在处达到峰值1σ④曲线与x轴之间的面积为;

⑤当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“”,表示总体的分布越.

(2)正态分布的三个常用数据:①P(μσ<X≤μ+σ)=;

②P(μ2σ<X≤μ+2σ)=;

③P(μ3σ<X≤μ+3σ)=.

题组一常识题1.[教材改编]已知随机变量X~N(3,σ2),若P(X<a)=0.8,则P(6a<X<a)=.

2.[教材改编]在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.7,则他罚球2次(每次罚球的结果互不影响)得分的数学期望是.

3.[教材改编]随机变量ξ的分布列为ξ0123Px0.20.30.4则随机变量ξ的方差D(ξ)=.

4.[教材改编]在一次招聘中,主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,并独立完成所抽取的3道题.乙能正确完成每道题的概率为23,且每道题完成与否互不影响.记乙能答对的题数为Y,则Y的数学期望为题组二常错题◆索引:利用正态曲线对称性求值时出错;随机变量取值取错;期望与方差的公式用错.5.某班有50名同学,一次数学考试的成绩X服从正态分布N(110,100),已知P(100≤X≤110)=0.34,估计该班学生数学成绩在120分以上的有人.

6.已知两个随机变量X,Y满足X+2Y=4,且X~N1,22,则EY,DY7.某学生在参加政治、历史、地理三门课程的学业水平考试中,取得A等级的概率分别为45,35,25,且三门课程的成绩是否取得A等级相互独立.记ξ为该学生取得A等级的课程数,则ξ的数学期望Eξ8.已知离散型随机变量X的分布列为X012Pa11则随机变量X的数学期望E(X)=,方差D(X)=.

课堂考点探