2025年上海市华二附中高一上学期期中数学试卷及答案解析

华二附中高一期中数学试卷2025.11一、填空题1.集合可用列举法表示为_______．2.不等式的解集为_______．3.若是偶函数，则_______．4.若，则_______（填“>”或“<”）5.已知全集，集合，则_______．6.已知函数和的部分取值如表所示．则_______．12369102347.已知方程的两个根为、，则_______．8.满足的集合M的个数为_____个.9.函数的定义域为_______．10.已知或，或．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______．11.设，．已知定义在上的两个函数和具有相同的最大值，则的最大值为_______．12.已知，，则的最小值是___二、选择题13.若集合，则（）A. B. C.D.14.若函数的定义域为，则实数a不可能等于（）A.0 B.1 C.2 D.315.已知，则“”是“”的（）条件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分也非必要16.设，已知A、B是两个数集．若对任意，都存在，使得，则称A是B的一个“邻集”．有下列两个命题：①是Q的一个邻集；②若A是B的一个邻集，则B也是A的一个邻集．则（）A.①真②假 B.①假②真 C.①真②真D.①假②假三．解答题17.已知，集合．（1）若，求k的值；（2）若，求k的取值范围．18.已知，关于x不等式的解集为开区间A．（1）若，求a、b的值；（2）若，求A．19.已知函数，的图像如图所示．（1）写出函数解析式；（2）若对一切恒成立，求实数m的取值范围．20.设，记．（1）若是上的奇函数，求a的值；（2）若，解关于x的不等式；（3）若满足不等式的x的最大值为0，求a的值．21.已知．设，．（1）当时，用定义证明：在上严格减函数；（2）若在区间上是严格减函数，求的取值范围；（3）若集合恰有个元素，求的所有可能取值．华二附中高一期中数学试卷2025.11一、填空题1.集合可用列举法表示为_______．【答案】【解析】【分析】由集合的描述，应用列举法写出集合即可.【详解】由.故答案为：2.不等式的解集为_______．【答案】【解析】【分析】应用分式不等式的解法求解即可.【详解】由题意，即，则.故答案为：.3.若是偶函数，则_______．【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的性质得到在R上恒成立，即可得.【详解】由题设，函数定义域为R，且恒成立，所以，即恒成立，则对于，恒有或，若，则，不合题意；故，所以.故答案为：14.若，则_______（填“>”或“<”）【答案】>【解析】【分析】根据不等式的性质即可得到答案.【详解】因为且，利用不等式性质得，故答案为：>.5.已知全集，集合，则_______．【答案】【解析】【分析】根据补集的概念求解.【详解】根据题意得.故答案为：.6.已知函数和的部分取值如表所示．则_______．1236910234【答案】10【解析】【分析】根据表格求出对应函数值即可.【详解】当时，，则.故答案为：107.已知方程的两个根为、，则_______．【答案】4【解析】【分析】应用根与系数关系及，即可求值.【详解】由题设，，则.故答案为：48.满足的集合M的个数为_____个.【答案】3【解析】【分析】通过列举法即可求解.【详解】由题意可知：可以是：，，共3个，故答案为：3.9.函数的定义域为_______．【答案】【解析】【分析】应用根式、分式的性质求函数定义域.【详解】由解析式知，可得且，故定义域为.故答案：10.已知或，或．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】将问题转化为两个集合之间的包含关系，然后再利用集合的包含关系列出不等式组，解不等式组即可求解.【详解】设集合，集合，由题意可知集合是集合的真子集，所以，解得，得，当时，，不满足题意，故，所以实数的取值范围是.故答案为：11.设，．已知定义在上的两个函数和具有相同的最大值，则的最大值为_______．【答案】3【解析】【分析】由对勾函数的性质求得上最大值为5，再由二次函数的性质及分类讨论研究的最值得到参数关系，进而求的最大值.【详解】由在上单调递减，在上单调递增，且或4时，根据二次函数的性质知，的图象开口向上且对称轴为，而，且，当时，，则，此时，所以，当且仅当时取等号；当时，，则，此时，所以；综上，当时最大故答案为：312.已知，，则的最小值是___【答案】##【解析】【分析】应用换元法，结合基本不等式求目标式的最小值，注意取值条件.【详解】由题设，原式，当且仅当，即，时取等号，故目标式的最小值为.故答案为：二、选择题13.若集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知集合判断元素与集合、集合与集合间的关系，即可得.【详解】由，则，，.故选：C14.若函数的定义域为，则实数a不可能等于（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】问题化为在上恒成立，结合二次函数的性质求参数范围，即可得.【详解】由题意，在上恒成立，显然时不等式恒成立，当时，情况如下：若，此时不等式为在上不恒成立，若，则，可得.，综上，.故选：D15.已知，则“”是“”的（）条件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分也非必要【答案】B【解析】【分析】通过举例子得到充分性不成立，对进行化简得到从而证明必要性成立，再利用必要非充分条件的判定方法即可得到答案.【详解】充分性：当时，此时，，等式不成立，故不能保证成立，充分性不成立.必要性：当时，两边同时平方得：，即，即，故能推出，故必要性成立.综上，是的必要非充分条件.故选：B.16.设，已知A、B是两个数集．若对任意，都存在，使得，则称A是B的一个“邻集”．有下列两个命题：①是Q的一个邻集；②若A是B的一个邻集，则B也是A的一个邻集．则（）A.①真②假 B.①假②真 C.①真②真 D.①假②假【答案】A【解析】【分析】根据邻集的定义，并应用反例判断各命题的正误，即可得.【详解】由于任意实数均可被有理数逼近，故①真；注意到邻集的定义关于A，B不对称，如，时，A是B的一个邻集，而B不是A的一个邻集，故②假.故选：A三．解答题17.已知，集合．（1）若，求k的值；（2）若，求k的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用交集的结果求解.（2）利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解.【小问1详解】集合，，则，解得，所以k的值为4.【小问2详解】由，得，当时，，解得；当时，，解得，所以k的取值范围是.18.已知，关于x的不等式的解集为开区间A．（1）若，求a、b的值；（2）若，求A．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知有是的两个根，利用根与系数关系求参数值；（2）问题化为不等式与不等式解集相同，进而求出参数值，代入集合中的不等式求集合.【小问1详解】由已知是两个根，则；【小问2详解】由，可得，所以不等式与不等式解集相同，所以，所以.19.已知函数，的图像如图所示．（1）写出函数的解析式；（2）若对一切恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据图象，分类讨论依次求出不同区间上的解析式，进而写出函数解析式的分段形式；（2）由题图有，即，进而有，再列不等式求参数范围.【小问1详解】由图象，时，时，函数图象对应为直线的一部分，且该直线过点，所以，可得，则，时，函数图象对应为直线的一部分，且该直线过点，所以，可得，则，综上，；【小问2详解】如图及（1）中解析式，得时有，故．因此，解得.20.设，记．（1）若是上的奇函数，求a的值；（2）若，解关于x的不等式；（3）若满足不等式的x的最大值为0，求a的值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质求参数值即可；（2）根据已知，不等式等价于且，求解集；（3）由题设有，从而有，再应用分类讨论，结合不等式性质及反证思想求参数值.【小问1详解】因是R上的奇函数，故，得，所以的定义域R，对任意，，即是R上的奇函数，故；【小问2详解】当时，，所以等价于且，所以且，则或或，所以；【小问3详解】由题意，必有，故，若，则，且，矛盾，若，设，，则，从而，矛盾，当时，对任意，．综上，.21.已知．设，．（1）当时，用定义证明：在上是严格减函数；（2）若在区间上是严格减函数，求的取值范围；（3）若集合恰有个元素，求的所有可能取值．【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用函数单调性定义进行证明即可；（2）由题意得函数在区间上是严格减函数，从而得到或求出的取值范围，在验证在此条件下在区间上是严格减函数；（3）令，，则从而，再按，和三种情况分类求解得到答案.【小问1详解】当时，．对任意，．由三角不等式得，故．即函数在R上严格减．【小问2详解】在区间上是严格减函数，所以在区间上是严格减函数，因此函数也在区间上是严格减函数．从而，或对前者，解得；对后者，解得．