2025年上海市上海中学高一上学期期中数学试卷及答案解析

上海中学东校2025学年度第一学期中期素质评估高一数学2025.11（满分：110分时间：90分钟）一、填空题（每题3分，共42分）1.已知集合，则______．2.不等式的解集是________.3.函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为________.4.若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________.5.已知一元二次方程有一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是______.6.关于的方程的解集为______．7.已知，则__________.8.若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个．9.设，则的最小值为______.10.已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是________.11.已知为实数，用表示有限集合的元素个数，则所有可能的值是_________.12.已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______.13.设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为________．14.已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个．二、单选题（每题3分，共12分）15.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件16.下列结论中，正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.17.数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（）．A.607 B.608 C.609 D.61018.在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（）A.6 B.7 C.8 D.9三、解答题（共56分）19.已知常数，集合，集合．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．20.已知幂函数的图象关于轴对称，且，．（1）求；（2）若，求的取值范围．21.对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点．（1）已知函数，求该函数不动点；（2）若对于任意的，二次函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围．22.某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为;方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为．（其中）（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；（2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）．23.桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果．这一现象就是我们所说的“抽屉原理”．抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有个元素放到n个集合中去，共中必定有一个集合里至少有两个元素．应用抽屉原理，解答下列问题：设n为正整数，集合.对于集合A中的任意元素和，记.（1）当时，岩，，求和的值；（2）当时，对于A中的任意两个不同的元素，，证明：.（3）给定不小于2的正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素，，.写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明由.上海中学东校2025学年度第一学期中期素质评估高一数学2025.11（满分：110分时间：90分钟）一、填空题（每题3分，共42分）1.已知集合，则______．【答案】【解析】【分析】应用集合的交运算求结果.【详解】.故答案为：2.不等式的解集是________.【答案】【解析】【分析】将分式不等式等价变形为，解此不等式即可.【详解】不等式等价于，解得，因此，不等式的解集是.故答案为.【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.3.函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为________.【答案】【解析】【分析】根据题意，令，求得和，即可求解.【详解】由函数（且），令，解得，则，所以函数恒经过定点.故答案为：.4.若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________.【答案】2【解析】【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解.【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即，则方程有两个不相等的实数根，则，所以.故答案为：2.5.已知一元二次方程有一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】结合二次函数的图象与性质判断求解．【详解】令函数，则其图象开口向上，顶点坐标为，对称轴是，若二次函数有两个零点，则必有一个零点小于0，即小于1，要使另一个零点比1大，则需满足，解得，即时，二次方程有一个根比1大，另一个根比1小.所以满足题意的实数a的取值范围是.故答案为：．6.关于的方程的解集为______．【答案】【解析】【分析】根据绝对值不等式可得，结合等号成立条件分析求解即可.【详解】因为，当且仅当，即或，所以由，可得或，所以的方程的解集为.故答案为：.7.已知，则__________.【答案】4【解析】【分析】根据题意结合对数的运算性质可得到，解出，即可求得答案；另解：可利用对数的运算性质结合基本不等式求解.【详解】由，整理得，得，解得，所以.另解：由题知，则，利用基本不等式可得，当且仅当时取等号，解得.故答案为：48.若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个．【答案】4【解析】【分析】作出函数图象，结合图象分析交点个数，进而可得集合A.【详解】分别作出函数、、和的图象，如图所示，可知与、、的交点个数分别为1、1、2；与、的交点个数分别为2、2；与的交点个数为2；可知集合或或或，所以满足条件的不同集合有4个.故答案为：4.9.设，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．【详解】，当且仅当，即或时成立，故所求的最小值为．【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．10.已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】先由三人各自的论述入手分别化简求解的范围，再按范围分类判断即可得.【详解】由题意，.若甲正确，则且，即，则；若乙正确，则且，即，则；若丙正确，则由二次函数的对称轴为，得，所以.若，则乙丙两人论述错误，不满足题意；若，则甲乙两人论述错误；若，则乙丙两人论述正确，只有甲一人论述错误，满足题意.综上所述，，即a的取值范围是.故答案为：.11.已知为实数，用表示有限集合的元素个数，则所有可能的值是_________.【答案】【解析】【分析】令，由时，，的零点一一对应求解.【详解】解：令，设，显然，则，所以除外，的零点一一对应，又存在，，，使得，所以或，则或，故答案为：或12.已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由必要条件得，进而有A可能为，，，结合集合A的描述列不等式组求对应x范围，根据可能集合情况确定参数范围即可.【详解】由“”是“”的必要条件，即，由A中元素为整数，故A只可能为，，，由点不在第一、三象限，得：或，即①或②，当时，①无解，由②得，此时，故，有；当时，由①②得，此时，因，只须，有；综上：实数a的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点点睛：由必要条件确定集合A的可能情况，根据其描述求集合A中元素的范围，再综合所得考虑参数范围.13.设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为________．【答案】【解析】【分析】分析可知在上单调递减，可得出，求得，根据已知条件得出，即可解得实数的值.【详解】由可得，可得，即，因为，故函数在上单调递减，所以，，所以，，因为有且只有一个满足题意，则，解得.故答案为：.14.已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个．【答案】1012【解析】【分析】根据给定条件，用表示出，得到，再由求出范围即可.【详解】由，得，即，整理得，而，则，，因此，由，得，又，，所以符合要求的集合的个数为.故答案为：1012二、单选题（每题3分，共12分）15.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式性质及充分条件和必要条件的定义判断．【详解】当时，成立，故充分性满足，当时，如，则，故必要性不满足，因此“”是“”的充分不必要条件.故选：A．16.下列结论中，正确的是（）A若，则 B.若，则C.若，则 D.【答案】C【解析】【分析】利用指数运算化简判断AC；利用根式运算化简判断BD.【详解】对于A，，A错误；对于B，由，得，B错误；对于C，由可知，则，因为，所以，C正确；对于D，，D错误.故选：C17.数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（）．A.607 B.608 C.609 D.610【答案】B【解析】【分析】由题意求出的近似值，可将写成的形式，即可得到结果.【详解】因为，则，即，所以的位数为.故选：B.18.在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】根据可分比集合定义，验证时成立，证明时不成立得到正整数的最大值为7.【详解】取，，满足题意，此时；若，若，因为和，故，因为，故，此时考虑元素8：因为且，故；因为且，故，所以8无法划分，与矛盾，当时，类似推导可得矛盾，例如：若，则，进而，元素无法划分，矛盾；故正整数n的最大值为7．故选：B.三、解答题（共56分）19.已知常数，集合，集合．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解不等式化简集合后，再利用交集的定义求解.（2）根据给定条件，利用集合包含关系分类求解．【小问1详解】当时，，而，所以.【小问2详解】集合，由，得，当时，，满足题意，则；当时，，则，解得；当时，，则，解得，所以实数的取值范围是．20.已知幂函数的图象关于轴对称，且，．（1）求；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）2；（2）.【解析】【分析】（1）由，得在区间上为减函数，结合及函数图象对称性求出的值.（2）由（1）求出，再利用单调性及偶函数性质求解不等式.【小问1详解】由，得幂函数在区间上单调递减，则，解得，又，则m的值为，由的图象关于轴对称，函数为偶函数，则为偶数，所以.【小问2详解】由（1）得函数定义域为，其图象关于轴对称，且在上为单调递减，不等式，则，解得或，所以的取值范围是.21.对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点．（1）已知函数，求该函数的不动点；（2）若对于任意的，二次函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围．【答案】（1），3；（2）.【解析】【分析】（1）根据不动点的定义列出方程并求解即得.（2）根据不动点的定义，结合一元二次方程的判别式列式，再利用基本不等式求解.【小问1详解】设为函数的不动点，则，即，解得或，所以所求不动点为，3.【小问2详解】由，二次函数恒有两个相异的不动点，得，方程有两个不等实根，则，，且，由，得，则，当且仅当，即时取等号，因此，且，即且，所以实数的取值范围是.22.某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案：方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为;方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为．（其中）（1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由；（2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）．【答案】（1）采用方案二；理由见解析（2）24【解析】【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解；（2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解.【小问1详解】解：方案一的总费用为（元）；方案二总费用为（元），由，因为，可得，所以，即，所以，所以采用方案二，花费更少.【小问2详解】解：由（1）可知，令，则，所以，当时，即时，等号成立，又因为，可得，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立，所以两种方案花费的差值最小为24元.23.桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果．这一现象就是我们所说的“抽屉原理”．抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有个元素放到n个集合中去，共中必定有一个集合里至少有两个元素．应用抽屉原理，解答下列问题：设n为正整数，集合.对于集合A中的任意元素和，记.（1）当时，岩，，求和的值；（2）当时，对于A中的任意两个不同的元素，，证明：.（3）给定不小于2正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素，，.写出一个