电路的暂态分析 04

4.1动态电路4.1.1换路定则4.1.2初始值的计算4.1动态电路自然界的任何物质在一定的稳态下，都具有一定的或一定变化形式的能量，当条件改变时，能量将随之变化，但能量的积累或衰减是需要一定时间的，不能跃变。因此，动态电路在状态改变或电路参数改变时，其能量也是不能跃变的。在电容元件中储有的电能C/2不能跃变，反映在电容元件的电压uC不能跃变；在电感元件中储有的磁能L/2也不能跃变，反映在电感元件的电流iL不能跃变。可见，动态电路的暂态过程是由于储能元件的能量不能跃变而产生的。4.1动态电路4.1.1换路定则

设t＝0为换路瞬间，t＝0－为换路前的终了瞬间，t＝0＋为换路后的初始瞬间。对电容元件，由其伏安关系可得两边积分，在换路时刻，可得电容电压为：

若iC为有限值，则在无穷小区间0－～0＋内，积分项等于零，即则4.1动态电路4.1.1换路定则

若uL为有限值，则在无穷小区间0－～0＋内，积分项也等于零，于是

上述分析表明，从t＝0－到t＝0＋瞬间，电容元件上的电压和电感元件中的电流是连续的，不能发生跃变，这称为换路定则。同理，对电感元件，由其伏安关系可得，在换路时刻，电感电流为：4.1动态电路4.1.2初始值的计算

电路中t＝0＋时电压和电流的值称为初始值。确定各个电压和电流的初始值时，先由t＝0－时的电路求出uC（0－）和iL（0－），然后根据换路定则求出uC（0＋）和iL（0＋），最后根据t＝0＋时的电路求出其他电压和电流的初始值。例4-1如下图所示电路，在t＝0时将开关S闭合，S闭合前，电容元件和电感元件都未储能。已知，R1＝2Ω，R2＝R3＝4Ω，US＝6V。求换路后的初始值。4.1动态电路4.1.2初始值的计算【解】t＝0－时的电路中，由于电容元件和电感元件都未储能，因此各相电流为：由换路定则可知

因此，t＝0＋时的电路中，可将电容元件看作短路，将电感元件看作开路，于是，等效电路如右图所示，其他初始值为：4.2RC电路的暂态分析4.2.1RC电路的零状态响应4.2.2RC电路的零输入响应4.2.3RC电路的全响应4.2RC电路的暂态分析可用一阶微分方程来描述的电路称为一阶动态电路。一阶动态电路中仅含有一种储能元件，即电路中要么仅含有电感元件，要么仅含有电容元件。电路的零状态是指换路前储能元件中未储有能量。在这种条件下，由电源激励所产生的电路响应称为零状态响应。电路的零输入是指无电源激励，输入信号为零。在这种条件下，由储能元件的初始状态所产生的响应称为零输入响应。电源激励和储能元件的初始状态均不为零时电路的响应称为全响应，它是零状态响应和零输入响应的叠加。4.2RC电路的暂态分析4.2.1

RC电路的零状态响应

如下图所示RC电路，t＝0时将开关S合到位置1上，闭合前电容处于零状态，闭合后电容开始充电，其电压逐渐增大，最终达到稳态值uC（∞）＝US。根据基尔霍夫电压定律，S闭合后，t≥0时电路的微分方程为：

因所以上述方程的解为4.2RC电路的暂态分析4.2.1

RC电路的零状态响应如右图所示为零状态响应的uC随时间变化的曲线。

因闭合前电容处于零状态，即初始值uC（0＋）＝0，代入上式后可得A＝－US，于是4.2RC电路的暂态分析4.2.1

RC电路的零状态响应还可计算出i和uR，即当t＝τ时这说明，S闭合后经过τ时间，uC从0增长到稳态值US的63.2%。τ越小，曲线增长越快。4.2RC电路的暂态分析4.2.2

RC电路的零输入响应如下图所示，当电容元件充电到U0时，设t＝0，将开关S从位置1扳到位置2，断开电源，此时电路为零输入，电容元件开始放电，最终达到稳态值uC（∞）＝0。根据基尔霍夫电压定律，t≥0时电路的微分方程为：

则上述方程的解为4.2RC电路的暂态分析4.2.2

RC电路的零输入响应如右图所示为零输入响应的uC随时间变化的曲线。

因初始值uC（0＋）＝U0，代入上式后可得A＝U0，于是4.2RC电路的暂态分析4.2.2

RC电路的零输入响应i和uR为：当t＝τ时这说明，S扳到位置2后经过τ时间，uC将衰减到初始值U0的36.8%。τ越小，曲线衰减越快。4.2RC电路的暂态分析4.2.3

RC电路的全响应

可以看出，在一阶动态电路中，只要求出初始值

f（0＋）、稳态值f（∞）和电路时间常数τ这三个要素，就能直接写出电路的响应（电压或电流）。这种方法称为一阶动态电路暂态分析的三要素法。因全响应是零状态响应和零输入响应的叠加，故由上式可得出一阶电路暂态过程中任意变量的一般公式为：4.2RC电路的暂态分析4.2.3

RC电路的全响应计算初始值f（0＋）：可通过换路定则和等效电路进行计算。计算稳态值f（∞）：一阶动态电路进入稳态后，电容相当于开路，电感相当于短路，可以得到一个不含电容和电感的电路，该电路即为动态电路进入稳态后的情况。根据稳态电路可求出各响应量的稳态值。计算电路时间常数τ：一阶RC电路的时间常数τ＝RC。其中，R为从电容元件两端看入，除源后电路的等效电阻；遇到有多个C串联的电路时，可先除源，然后求出等效的C。三要素法的求解的过程如下：4.2RC电路的暂态分析4.2.3

RC电路的全响应例4-2如下图所示，开关长期合在位置1上，已知R1＝1kΩ，R2＝2kΩ，C＝3μF，U1＝3V，U2＝5V。如在t＝0时把开关合在位置2上后，试求电容元件上的电压uC。【解】（1）用微分方程求解t＝0－时由换路定则可知，uC（0＋）＝2V。在t≥0时，根据基尔霍夫电流定律可得4.2RC电路的暂态分析4.2.3

RC电路的全响应代入数据为：上述方程的解为：（2）用三要素法求解计算初始值因t＝0＋时，uC（0＋）＝2V，所以，A＝－4/3。于是4.2RC电路的暂态分析4.2.3

RC电路的全响应计算稳态值计算电路的时间常数于是4.3RL电路的暂态分析4.3.1RL电路的零状态响应4.3.2RL电路的零输入响应4.3.3RL电路的全响应4.3RL电路的暂态分析4.3.1

RL电路的零状态响应

如下图所示RL电路，t＝0时将开关S合到位置1上，闭合前电感处于零状态，闭合后，电感的电流逐渐增大，最终达到稳态值i（∞）＝US/R。根据基尔霍夫电压定律，S闭合后，t≥0时电路的微分方程为：

即上述方程的解为4.3RL电路的暂态分析4.3.1

RL电路的零状态响应如右图所示为零状态响应的i随时间变化的曲线。因闭合前电感处于零状态，即初始值i（0＋）＝0，代入上式后可得A＝－US/R，于是4.3RL电路的暂态分析4.3.2

RL电路的零输入响应如下图所示，当电感元件的电流为I0时，设t＝0，将开关S从位置1扳到位置2，断开电源，此时电路为零输入，电感元件的电流开始衰减，最终达到稳态值i（∞）＝0。根据基尔霍夫电压定律，t≥0时电路的微分方程为：则上述方程的解为4.3RL电路的暂态分析4.3.2

RL电路的零输入响应如右图所示为零输入响应的i随时间变化的曲线。因初始值i（0＋）＝I0，代入上式后可得A＝I0，于是4.3RL电路的暂态分析4.3.3

RL电路的全响应全响应是零状态响应和零输入响应的叠加，故

上式中，初始值i（0＋）＝I0，稳态值i（∞）＝US/R，电路时间常数τ＝L/R。这与三要素法的一般公式是相当的。4.3RL电路的暂态分析4.3.3

RL电路的全响应例4-3如下图所示电路，当t＝0时，S闭合，闭合前电路处于稳态，求t≥0时的i（t）及u（t）。【解】（1）计算初始值因S闭合前电路处于稳态，电感相当于短路，故

所以4.3RL电路的暂态分析4.3.3

RL电路的全响应t＝0＋时的等效电路如下（左）图所示。根据基尔霍夫电流定律和电压定律列方程组可最终求得：（2）计算稳态值换路后的稳态电路如右图所示，电感相当于短路，则4.3RL电路的暂态分析4.3.3

RL电路的全响应（3）计算电路时间常数于是可得4.4电路暂态分析的应用4.4电路暂态分析的应用微分电路与积分电路是矩形脉冲激励下的RC电路。若选取不同的时间常数，输出电压波形与输入电压波形之间可构成特定（微分或积分）关系。将RC连接成如下图（左）所示电路。输入电压波形如下图（右）所示。4.4电路暂态分析的应用可见输出点也近似与输入电压对时间的微分成正比，这种电路又称为微分电路。使

时，则

，当R很小时，

，则电路的输出波形如右图所示，当选取不同的时间常数

，电路将得到不同的输出波形。4.4电路暂态分析的应用积分电路如下图（左）所示，与微分电路类似，这里输入电压与输出电压满足积分关系。在满足条件的情况下，电路的输入波形与输出波形分别如图（a）和图（b）所示。（b）（a）本章小结本章小结1动态电路（1）动态电路的暂态过程是由于储能元件的能量不能跃变而产生的。（2）换路定则：从t＝0－到t＝0＋瞬间，电容元件上的电压和电感元件中的电流是连续的，不能发生跃变，其公式为：，。（3）电路中t＝0＋时电压和电流的值称为初始值。确定各个电压和电流的初始值时，先由t＝0－时的电路求出uC（0－）和iL（0－），然后根据换路定则求出uC（0＋）和iL（0＋），最后根据t＝0＋时的电路求出其他电压和电流的初始值。本章小结2RC电路的暂态分析（1）RC电路的零状态响应，零输入响应，全响应（2）在一阶动态电路中，只要求出初始值f（0＋）、稳态值f（∞）、和电路时间常数τ这三个要素，