【《小波变换的基本概念综述》2300字】

小波变换的基本概念综述目录TOC\o"1-3"\h\u7474小波变换的基本概念综述 1109041连续小波变换 278752离散小波变换 3325423二进小波变换 412710参考文献 4小波是一种波，其存在区域较小，并且长度有限，能够衰减，均值为0。总结起来，小波是一个有限长度波。现设定ψ(t)为一个函数，且平方可积，ψ(t)∈L2(R)，若ψ(t)能够达成，则称ψ(t)为小波函数。通过这个定义，能够得到其特点：第一个特点为小，原则上讲，若函数L2(R)具有可容性，则称其为小波母函数，通常为实数或者是复变函数，并且具有时域以及频域的局部特征。另外，其第二个特点为波动性，且正负交替，并具有为零的直流分量。正弦波同小波具有可对比性，其中的正弦函数为傅里叶变换分析所用其对比结果可见图2-2。图中左侧为正弦函数，右侧为小波函数，两函数对比可以明显看出，正弦函数的初值为负无穷大，终止为正无穷大，而小波函数则为有限值；正弦函数规律且对称，小波函数不规律且不对称。傅里叶变换主要是将整个信号分为多个正弦函数，而小波变换则是将其分解成叠加的小波函数，获得的小波函数通过母小波函数并进行平移以及尺度变换，再得到小波函数。通常，若需要更优的结果，则需要使用小波函数来逼近局部特征，这方面小波函数较正弦函数具有更优的效果。图2.2傅里叶正弦波与小波小波母函数ψ(t)首先可以进行平移以及伸缩，并获得函数，a,b∈R;a>0。这里的a称作伸缩因子，能够表达函数宽度；这里的b称作平移因子，能够得到小波的t轴平移量。一般而言，在原点可以集中母小波函数ψ(t)的能量，b点可以集中小波函数的能量。被称作连续小波函数基，通常设定a大于零。中的a能够让ψ(t)伸缩，当a不断增大，ψ(t/a)逐渐变宽，小波持续时间也变宽；与幅度具有反比关系，不过小波形状通常固定。在中，能够使能量相等，也就是。1连续小波变换一般将基本小波定义为ψ(t)，定义可知，为连续小波函数。的积分小波变换可定义为式（2.1），积分小波变换也成为离散小波变换。（2.1）式（2.1）的a(≠0)、b、t均为连续变量，ψ*(t)为ψ(t)的复共轭。在此基础上，可以知道连续小波变换具有线性性和平移不变性：(1)线性性若f(t)以及g(t)的小波变换设定为以及，那么任意实数、，的小波变换可表示为。(2)平移不变性若f(t)的小波变换设定成，那么的小波变换便可表示成。可以认为，f(t)可以看做平移后的函数，且是对于来说。连续小波变换能够以卷积形式表达：（2.2），小波变换能够被视为卷积运算，且同滤波器和信号相关。在工程方面，类似于高通滤波器。在连续小波变换中，一般的研究仅注重小波，缺乏对应尺度的研究。如果ψ(t)无与其对应的尺度函数，那么所获得的图像仅仅只包括其中的部分细节。2离散小波变换连续的小波变换在计算机对其的处理中十分困难，对其的分析处理均容易出现很大的难度。因此，在实际应用中，信号f(t)均需要离散化处理，处理后的信号被称为离散时间序列。连续小波变换中，两个参数要进行离散化，这两个参数分别为尺度a以及平移参数b，如此一来，离散小波变换便完成了，这种变换也表示为DWT（DiscreteWaveletTransform）[6]。在连续变换中，小波基函数具有较强的相关性。所以，信号函数f(t)变换前为一维信号，而信号为二维信号，也是其变换后的信号，二维信号的缺点为其存在冗余。若在理想状态下，小波基函数能够满足其进行离散处理结束可以达到正交完备性的条件。如此一来，计算机便可以迅速完成运算，大大简化了运算难度，能够满足大部分的硬件条件。若想要进行离散小波变换，有一个必须提前解决的问题，也就是采样步长如何设定才能够充分得到其特性，并判断变换后会不会出现逆变换现象，变换后会不会保留优质性质。这些问题主要可以总结为三个概念：第一个概念为采样定律；第二个概念为框架理论；第三个概念为再生核分析。若要降低冗余度，小波基函数内的a、b值取值需要特殊考虑，找到一些特定值才能完成任务。(1)尺度的离散化。一般来说，首先完成幂数级离散化，使a取a=，>0，m∈Z，这样幂级数对应的小波函数为，。(2)位移的离散化。通常来说，b的取值具有一定特点，其应该为均匀离散的，并且全部时间轴必须均能够被覆盖。信息不能丢失，若想要做到这一点，采样间隔b应该须达到Nyquist采样定理，采样率同频率通带具有2倍或大于2倍的关系。所以，若m提升了1，其对应的尺度a就要提升一倍，频率会降低0.5倍。通过这个可以得出，即便采样频率减少0.5倍，信息丢失的情况仍然不会出现，换句话说，频率上限并不能对带通信号的采样频率产生决定性作用。所以，尺度j固定的状况下，的宽度为ψ(t)的倍。所以，采样间隔就算提升至，也能够避免信息丢失。所以，可以修改为：，记为。离散小波变换具体定义如下：，（2.3）3二进小波变换连续小波变换的进行过程，一般设定参数参数b设置为连续值，那么就能够将二进小波的表达式设定成：，的二进小波变换是：（2.4）二进小波所做的任务是对参量进行操作，这里的参量指的是尺度参量，操作为离散化操作，不过平移量具有连续变化的特性，所以，其还具有时频共变的特性，但是正交离散小波却并无此特性。参考文献[1]李玮瑶，王启明等.基于小波变换的动态发电机过热信号检测技术研究[J].计算机与现代化，2015（4）：107-109.[2]孙建.基于声信号的汽车底盘中助力转向电机故障诊断方法研究[D].苏州大学，2017.[3]陈东华，张凤雏.基于小波变换的同步交流发电机旋转整流器故障诊断[J].机械制造与自动化，2018，47（06）：230-233.[4]陈学军，杨永明.基于经验小波变换的振动信号分析[J].太阳能学报，2017，38（2）：339-346.[5]罗传胜，宋运平等.基于振动声学的变压器分接开关及绕组变形在线诊断技术[J].电工技术，2020，5