期末测试综合压轴题分类专题（学生版）-北师大版(2024)九上

期末测试综合压轴题分类专题（考点梳理与题型分类讲解）第一部分【考点目录】选择填空题（常考综合题）【考点1】一元二次方程的解+根与系数关系......................................1【考点2】频率估计概率+几何概率..............................................2【考点3】反比例函数与几何综合...............................................2【考点4】特殊平行四边形中的相似.............................................4【考点5】特殊四边形+折叠+旋转...............................................5【考点6】构造平行线求线段长.................................................6解答题（常考综合题）【考点7】计算与解方程.......................................................7【考点8】列表法或树状图求概率...............................................7【考点9】相似三角形性质与判定求值与证明.....................................9【考点10】反比例函数综合....................................................9选择填空题（压轴题）【考点11】几何变换综合问题.................................................10【考点12】几何中最值问题...................................................11四、解答题（压轴题）【考点13】相似三角形探究性问题.............................................13【考点14】反比例函数探究性问题.............................................14第二部分【题型梳理与方法展示】一、选择填空题（常考综合题）【考点1】一元二次方程的解+根与系数关系【1-1】（24-25九年级上·河南鹤壁·期中）已知是关于的方程的根，则代数式的值为（

）A．4040 B．4041 C．2022 D．2023【1-2】（23-24九年级上·山东聊城·期末）已知直线在x轴上的截距为1，则实数m的值为（

）A．2或 B．2或 C．或 D．或【1-3】（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）设，是方程的两个实数根，则的值为．【考点2】频率估计概率+几何概率【2-1】（2023·山西晋中·模拟预测）如图，正方形，点在对角线BD上，，分别交AB、于点、，若随机向正方形内投一粒米，则落在阴影部分的概率是（

）

A． B． C． D．【2-2】（23-24九年级上·四川成都·期中）三张纸牌，正面分别写着，0，2，背面都写着m，那么在摸牌游戏中使有实数根的概率为．【2-3】（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，点E，F，G，H分别是正方形四边的中点，，，，围成图中阴影部分．随机地往正方形内投掷飞镖，飞镖击中阴影部分的概率是．【2-4】（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）从，，，，这五个数中任意取出一个数记作，则既能使函数的图象经过第二、第四象限，又能使关于的一元二次方程的根的判别式小于零的概率为．【考点3】反比例函数与几何综合【3-1】（2024·四川乐山·一模）如图，的直角边在轴负半轴上，斜边上的中线BD的反向延长线交轴正半轴于点，双曲线（）的图象经过点，若，则等于（

）A．4 B．8 C．16 D．32【3-2】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，一组等腰三角形的底边均在x轴的正半轴上，两腰的交点在反比例函数的图象上，且它们的底边都相等．若记，，…的面积分别为则的值为（

）A． B． C． D．【3-3】（2024·浙江温州·三模）如图，点A，B在x正半轴上（点B在点A的右边），，分别以为边作等边三角形，反比例函数的图象经过中点E，与边交于点F．作轴于点轴于点N．若阴影部分的面积等于，则k的值为（

）A． B． C． D．【考点4】特殊平行四边形中的相似【4-1】（2024·河南周口·模拟预测）我们知道，三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，如图，矩形的顶点和分别在y轴和x轴上．向下按压矩形，得到如图所示的平行四边形，其中，则平行四边形的对角线的交点D的坐标为（）

A． B． C． D．【4-2】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，点，点分别在菱形的边，上，且，交于点，延长交的延长线于，若，则的值为（

）A． B． C． D．【4-3】（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置在以为原点的平面直角坐标系中，，分别是，轴正半轴上的动点，正方形中有如图四个全等的、、、，若是中点，连接并延长交于点，连接并延长交于，点是反比例函数（）图象上一点．

（1）若，则点的坐标为．（2）若点的坐标为，则．【4-4】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和于点P，Q；分别以点P，Q为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线交边AD于点E；分别以点A，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线交边AD于点F，连接CF交于点G．若，则．【考点5】特殊四边形+折叠+旋转【5-1】（2022·浙江杭州·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，将线段绕点顺时针方向旋转，使点落在上的点，为边的中点，连接，交于点．若，，则线段的长为（

）A．3 B． C．4 D．5【5-2】（2024·四川乐山·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴和轴上，，是的中点，将沿直线折叠后得到，延长交AB于点，连接DE，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【5-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，矩形中，，，是AB边上一点，且，是AD边上一动点，作，交CD边于点，将沿着所在直线折叠，点的对应点恰好落在边上，则的长为．【5-4】（20-21九年级上·河南郑州·期中）如图，已知正方形边长是4，点E是边上靠近点B的四等分点，连接，将线段绕点E旋转，交外角的平分线于点F，若，则【考点6】构造平行线求线段长【6-1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图，，是的边的三等分点，点是的中点，交于点，则等于（

）A． B． C． D．【6-2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在中，是边上中线，F是线段上一点，且，连接并延长交于E，则等于（

）A． B． C． D．【6-3】（21-22九年级上·安徽六安·期中）如图，矩形的边长，，E为的中点，F在边上，且，分别与、相交于点M，N．①的度数是；②线段的长为．【6-4】（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在中，，，垂足为，点在上，且，连接并延长交于点，，则的长为．四、解答题（常考综合题）【考点7】计算与解方程【7-1】（24-25九年级上·四川眉山·期中）计算：(1)(2)；(3)（公式法）；(4)（配方法）；【7-2】（24-25九年级上·全国·期末）已知，是关于的一元二次方程的两实根，(1)求的取值范围；(2)若，求的值．【考点8】列表法或树状图求概率【8-1】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）本学期开学以来，初三年级开展了轰轰烈烈的体育锻炼，为了解体育科目训练的效果，学校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级，等：优秀；等：良好；等：及格；等：不及格），并将结果汇成了如图所示两幅不同统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：(1)本次抽样测试的学生人数是______人；(2)图扇形图中等所在的扇形的圆心角的度数是______；(3)我校九年级有名学生，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为______人；(4)已知得等的同学有一位男生，体育老师想从位同学中随机选择两位同学向其他同学介绍经验，请用列表法或画树形图的方法求出选中的两人刚好是一男一女的概率．【8-2】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校名九年级学生进行测试，并将名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理描述和分析（测试满分为10分），收集整理的数据制成了如下统计图表：平均数中位数众数甲组乙组根据以上信息，回答下列问题．(1)填空：______，______，______；(2)该校九年级共有名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计竞赛成绩达到分及以上的人数；(3)现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．【考点9】相似三角形性质与判定求值与证明【9-1】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为．(1)求证：；(2)若，，求的长．【9-2】（2025九年级下·全国·专题练习）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若固定不动，把绕点A逆时针旋转，使、与边的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．【探究】求证：．【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．（1）的值为___________．（2）若，则的长为___________．【考点10】反比例函数综合【10-1】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，连接，的面积为1．(1)求反比例函数的解析式；(2)点P是线段的中点，直线向下平移个单位长度后，将的面积分成两部分，求b的值；(3)给出如下定义：只有一组邻边相等，且只有一组对角为直角的四边形，叫作“直角等补形”；设M为y轴负半轴上一点，N为平面内一点，当四边形是直角等补形时，求点M的坐标．【10-2】（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于，B两点，与x轴交于点C．(1)求的值；(2)P为反比例函数图象上任意一点（不与重合）①过P作交y轴于点Q，若，求P点坐标；②如图2，直线与x轴、y轴分别交于点，直线分别与x轴y轴交于．试判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．选择填空题（压轴题）【考点11】几何变换综合问题【11-1】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点，分别在边AD，上，点，的对应点分别为，且点在矩形内部，的延长线交与点，交边于点．，，当点为三等分点时，的长为（

）A． B．4或 C． D．4或【11-2】（2020·河南许昌·一模）如图，在正方形ABCD中，顶点A（﹣1，0），C（1，2），点F是BC的中点，CD与y轴交于点E，AF与BE交于点G．将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第99次旋转结束时，点G的坐标为（）A．（，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（，﹣）【11-3】（2024·河南周口·二模）如图，在矩形中，，点为上一点，将沿折叠，点的对应点恰好落在对角线上，再将沿射线平移得到，当在区域内的线段的长度为时，平移的距离为．

【11-4】（2020·四川成都·二模）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若＝，则AH的长为．

【考点12】几何中最值问题【12-1】（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（

）A． B． C． D．【12-2】（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．【12-3】（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，在中，，，，点E，F分别是边，上的动点（点E，F均不与的顶点重合），连接，．若，，则m的最小值为．【12-4】（2023·山东济宁·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，分别落在x轴和y轴上，是矩形的对角线．将绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到，与相交于点F，反比例函数的图象经过点F，交于点G．点P为x轴正半轴上一动点，当取最小值时，则点P的坐标为．四、解答题（压轴题）【考点13】相似三角形探究性问题【13-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点．(1)求线段的长；(2)如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设．①求证四边形为菱形；②是否存在这样的点，使是直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【13-2】（24-25九年级上·四川成都·期中）在中，，，，点O为斜边的中点，将绕点O顺时针旋转得到，直线与直线相交于点G，直线、直线相交于点H．(1)如图1，当点C与点E重合时，求证：；(2)如图2，当点B与点D重合时，求的值；(3)在旋转过程中，当为何值时，是等腰三角形．【考点14】反比例函数探究性问题【14-1】（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例