期末复习-解答压轴题专项训练（教师版）-北师大版(2024)七上

期末复习——解答压轴题专项训练（三大类型总结）【类型一：与数轴相关】1．（23-24七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知在数轴上有三个点A，B，C，O是原点，其中A，B，C三点表示的数分别是40，80，120，动点P从点O出发向右以每秒4个单位的速度匀速运动：同时，动点Q从点C出发，在数轴上向左匀速运动，速度为每秒a个单位（（1）求：点P从点O运动到点C时，运动时间t的值．（2）若Q的速度a为每秒6个单位，那么经过多长时间P，Q两点相距60个单位？（3）当PA+PB=2QB-QC=48时，请求出点Q的速度a【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值等知识点，根据题意对问题进行正确地分类讨论是解决问题的关键．（1）根据路程、速度、时间的关系，即可求出时间t；（2）分相遇前相距60个单位和相遇后，再相距60个单位两种情况进行分类讨论，即可得出答案；（3）由PA+PB=2QB-QC=48得出PA+PB=48，QB-QC=24，进而可知点P对应的数为36或84，点Q对应的数为88或112，再分①点P对应的数为36，点Q对应的数为88或【解题过程】（1）解：（1）由题意知：OC=120∴当P运动到点C时，t=120÷4=30（2）①当点P、Q还没有相遇时，4t+6解得：t=6②当点P、Q相遇后，4t+6解得：t=18综上所述，经过6秒或18秒P，Q两点相距60个单位；（3）∵PA+PB∴PA+PB∵在数轴上，点A对应的数为40，点B对应的数为80，点C对应的数为120，∴点P对应的数为36或84，点Q对应的数为88或112，①点P对应的数为36时，OP=36，t=36÷4=9若点Q对应的数为88时，CQ=120-88=32a=32÷9=329若点Q对应的数为112时，CQ=120-112=8a=8÷9=89＜②点P对应的数为84时，OP=84，t=84÷4=21若点Q对应的数为88时，CQ=120-88=32a=32÷21=3221若点Q对应的数为112时，CQ=120-112=8a=8÷21=821＜综上所述，点Q的运动速度为：3221单位长度/秒或329单位长度2．（23-24七年级上·辽宁铁岭·期末）在数轴上O为数轴的原点，点A、B在数轴上对应的数分别表示为a、b，且a+4、b-4为最大负整数，（1）a=，b=（2）如图1，数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数．（3）如图2，在数轴上有两个动点P、Q，点P、Q同时分别从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位长度/秒，点Q的运动速度为n个单位长度/秒，取线段AQ的中点为点C，在运动过程中，若线段PC的长度为固定的值，直接写出m与n的数量关系．【思路点拨】（1）根据最大负整数即可列出方程求得a和b；（2）设点M对应的数为x，分情况：①当点M在点A的左侧时，则MA=-5-x，MB=3-x，根据MB=3MA列方程求解；②当点M在线段AB之间时，则MA=x+5（3）设运动时间为t秒，根据题意得AP、BQ和AQ，即可求得点C表示的数12nt-1，点P表示的数mt-5，则【解题过程】（1）解：∵a+4、b∴a+4=-1，∴a=-5，b故答案为：-5，3（2）设点M对应的数为x，点A对应的数为-5，点B对应的数为3①当点M在点A的左侧时，则MA=-5-x，∵点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，∴MB=3∴3-x解得x=-9②当点M在线段AB之间时，则MA=x+5∵点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，∴MB=3∴3-x解得x=-3③当点M在点B右侧时，不满足题意，综上所述：点M对应的数为-9或-（3）n=2设运动时间为t秒，根据题意得：AP=mt，∴AQ=∵点C为线段AQ的中点，∴AC=点C表示的数为：128+点P表示的数为：mt-∴PC=∵线段PC的长度总为一个固定的值，∴12∴n=23．（23-24七年级上·吉林·期末）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，则A，B两点之间的距离AB=【问题情境】数轴上点A表示的数为-4，点B表示的数为6，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，Q到达A点后，再立即以同样的速度返回B点，当点P到达终点后，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t【综合运用】（1）填空：A，B两点间的距离AB=________，线段AB（2）当t为何值时，P，Q两点间距离为（3）若点M为AQ的中点，点N为BP的中点，当点Q到达A点之前，在运动过程中，探索线段MN和AP的数量关系，并说明理由．【思路点拨】本题主要考查数轴上两点之间的距离和中点坐标，数轴上动点问题以及分类讨论思想，（1）结合点A和点B表示的数，利用两点之间距离即可求得AB，利用中点坐标即可求得线段AB的中点表示的数；（2）当点P与点B重合时，求得t；同理求得点Q与点A重合时的t；当点Q返回到点B时的t，当0<t≤5时，点P表示的数-4+t，点Q表示的数6-2t，结合题意即可列出方程求的t；当5<t≤10时，点P表示的数是-（3）根据题意得AM≤5，BN≤5，当点Q到达A点之前，即当0<t≤5时，点M表示的数是1-t，点N【解题过程】（1）解：∵点A表示的数为-4，点B表示的数为6∴AB=线段AB的中点表示的数为∶-4+6故答案为：10，1（2）当点P与点B重合时，t=10÷1=10当点Q与点A重合时，t=10÷2=5当点Q返回到点B时，t=5×2=10当0<t≤5时，点P表示的数是-4+t，点∵PQ=3∴6-2t--解得：t=73当5<t≤10时，点P表示的数是-4+t，点∵PQ=3∴-4+t-解得t=7或t=13(不符合题意，舍去综上所述，当t=73或t=133或t=7（3）MN=∵点M为AQ的中点，点N为BP的中点，∴AM≤5，BN当点Q到达A点之前，即当0<t点M表示的数是-4+6-2点N表示的数是-4+∵AP=∴MNAP∴MN=4．（23-24七年级上·山东青岛·期末）如图1，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b,a,b满足（1）点A表示的数为______，点B表示的数为______，线段AB的长为______；（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，使AC=3BC，则点C在数轴上表示的数为（3）在图1基础上，将一根长度为6个单位的木棒放在数轴上（如图2）．木棒的右端与数轴上的B点重合，以每秒2个单位长度的速度向点A移动；木棒出发6秒后，动点P从B点出发，以每秒3个单位长度的速度向点A移动；且当点P到达A点时，木棒与点P同时停止移动．设点P移动的时间为t秒，当t为多少时，P点恰好距离木棒2个单位长度？【思路点拨】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴的性质是解题的关键．（1）根据绝对值和二次方的非负性求出a、（2）设未知数，分类讨论接触一元一次方程解题即可；（3）分情况进行讨论列式计算即可．【解题过程】（1）解：∵a-∴a∴点A表示的数为20，点B表示的数为-6线段AB的长为20-(-6)=26，故答案为：20,-6,26；（2）解：设点C在数轴上表示的数为x，①当点C在AB中间，AC=20-x，∵AC∴20-x解得x=②当点C在B点左边，AC=20-x，∵AC∴20-x解得x=-19③当点C在A点右边，不符合题意；故答案为：12或-（3）解：①当点P位于木棒左侧时，3t解得t=4②当点P位于木棒左侧时，3t解得t=14∵当点P到达A点时，木棒与点P同时停止移动，∴0<t故t=14故点P移动的时间为4秒．5．（23-24七年级上·湖北黄冈·期末）如图，数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a、b满足a+3（1）求A和B两点之间的距离；（2）若在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求（3）若在原点O处放一挡板（忽略挡板的厚度），一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）；①分别表示甲、乙两小球到原点的距离（用t表示）；②求甲、乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．【思路点拨】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，然后进行计算即可；（2）分C点在线段AB上和线段AB的延长线上两种情况讨论即可求解；（3）①甲球到原点的距离=甲球运动的路程+OA的长，乙球到原点的距离分两种情况：（Ⅰ）当0<t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，此时OB的长度-乙球运动的路程即为乙球到原点的距离；（Ⅱ）当t>3时，乙球从原点②分两种情况：（Ⅰ）0<t≤3，（Ⅱ）t>3【解题过程】（1）解：∵a+3a+3=0，b∴a=-3，b∴AB的距离为：|-3-6|=9；（2）解：设数轴上点C表示的数为c，∵AC=2∴c-a=2∵AC=2∴点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上；①当C点在线段AB上时，则有-3≤得c+3=2解得c=3②当C点在线段AB的延长线上时，则有c>6得c+3=2解得c=15故当AC=2BC时，c=3（3）解：①∵甲球运动的路程为：1⋅t=t∴甲球与原点的距离为：t+3乙球到原点的距离分两种情况：(Ⅰ)当0<t≤3时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点∵OB=6，乙球运动的路程为：2⋅∴乙球到原点的距离为：6-2t(Ⅱ)当t>3时，乙球从原点O此时乙球到原点的距离为：2t②当0<t≤3时，得解得t=1当t>3时，得t解得t=9当t=1秒或t6．（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知：a+2+b-42=0（1）a=______，b=______，c（2）在数轴上，点A，B，C分别对应实数a，b，c．①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数．②动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，点D在数轴上对应的数是10，动点M与动点N同时出发，当M运动到D后立即以原来的速度向左运动，当点M到达出发点A时，两个动点同时停止运动，设运动时间是t，当t=______时，M、N两点到点C的距离相等（直接写出t【思路点拨】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，再求出c的值即可；（2）①设点P表示的数为x，根据点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍得出x+2②分两种情况：当动点M向右运动时，当动点M向左运动时，分别求出t的值即可．【解题过程】（1）解：∵a+2∴a+2=0，b解得：a=-2，b∵c比b大2，∴c=4+2=6故答案为：-2；4；6（2）解：①设点P为x，则点P到点A的距离是：x+2，点P到点B的距离是：x由点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍可得：x+2当x<-2时，-解得：x=10当-2≤x≤4解得：x=2当x>4时，x解得：x=10综上分析可知，点P表示的数为2或10．②当动点M向右运动时，即0<t∵动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，∴点M对应实数为-2+4∵动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，∴点N对应实数为4+t∵C对应实数为6∴MC=-∵M、N两点到点C的距离相等，∴-∴4t∴4t∴t-∴t=2当动点M向左运动时，即3<t∵动点M从D出发以4个单位速度向左运动，∴点M对应实数为10-4t∴MC=22-4∵M、N两点到点C的距离相等，∴22-4解得：t=185综上分析可知，t=2或185或143时，M、N故答案为：2或185或147．（23-24七年级上·广东云浮·期末）已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且满足|a+12|+|b+6|+(c-9)2=0，动点

（1）直接写出a=_______，b=_______，c（2）设点P向右运动时，在数轴上对应的数为x，则代数式|x-a（3）当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A，C之间往返运动，直至P点到达C点时停止运动，Q点也停止运动．求：当P点开始运动后多少秒，P、Q两点之间的距离为2？【思路点拨】本题考查数轴的应用，非负实数的性质，绝对值化简，解一元一次方程等知识点，解题的关键是利用分类讨论逐一讨论．（1）根据非负数和为0即可求解；（2）设点P表示的数为x，分为当x<-12时，当-12≤x（3）根据点Q的运动速度可知点Q、A运动至C的时间为7s，点P从点B运动至点C所需时间为15s，即可将P、【解题过程】（1）∵|∴∴故答案为：-12（2）设点P向右运动时，在数轴上对应的数为x，则代数式|x当x<-12时，当-12≤x当x>9时，则代数式|x-a（3）∵点P运动到点B时，点Q再从点A出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A、∵AB=-6-(-12)=6,∴点P从点B运动至点C的时间为：9-(-6)1点Q从点A运动至点C的时间为：9-(-12)3∴可将P、Q两点距离为2的情况分为以下设点P从点B运动ts后，P、Q∴①如图，当点P，点Q向右运动，且点P在点Q右侧时，∵AP=∴解得：t=2∴∴P点开始运动后的第8秒，P、Q两点之间的距离为②如图，当点P，点Q向右运动，且点P在点Q左侧时，∵AQ∴3解得：t=4∴∴P点开始运动后的第10秒，P,Q两点之间的距离为③如图，当点P向右运动，点Q向左运动，且点P在点Q左侧时，∵∴∵AP=∴21=解得：t=8.5∴∴P点开始运动后的第14.5秒，P,Q两点之间的距离为④如图，当点P向右运动，点Q向左运动，且点P在点Q右侧时，

∵∴∵AP=∴21=解得：t=9.5∴∴Q点开始运动后的第15.5秒，P,Q两点之间的距离为综上，当点P运动的第8,10,14.5,15.5秒，8．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）已知关于x的多项式a+16x3-2x22-b+9是二次多项式．如图1．在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a，b，-21．有两条动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边）．PQ=4，MN=8，线段MN从点B开始沿数轴向左运动，同时线段PQ从点A开始沿数轴向右运动，当点Q运动到点B时，线段PQ立即以相同的速度返回，当点（1）直接依次写出a，b的值：a=__________，b=（2）如图2，若线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段PQ以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，当C、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，求时间t；（3）如图3，若线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左运动，同时线段PQ以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时，线段PQ的速度变为原来的43倍，线段MN的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段PQ和MN重合部分长度为1时所对应的t【思路点拨】本题考查两点间距离，列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握线段上两点间距离的求法，能够准确表示数轴上的点是解题的关键．（1）由已知可得a=-16,（2）分点Q在到达点B前或到达点B后，两种情况分别求解即可；（3）分四种情况：①Q未到达C，Q在M右边1个单位时，②Q未到达C，N在P右侧1个单位时，③PQ返回，N在P右侧1个单位时，④PQ返回，Q在M右边1个单位时，列出方程求解即可．【解题过程】（1）解：∵关于x的多项式a+16∴a∴a=-16,故答案为：-16，20（2）解：点Q在到达点B前：①当点Q为CM中点时，CQ=∵点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边，PQ=4，MN∴点Q表示的数为：-16+3t，点M表示的数为：∵CQ=∴-16+3t解得：t=②当点M为CQ中点时，CM=∵CM=∴12-t-解得：t=点Q在到达点B时：t=点Q在到达点B后：∴点Q表示的数为：20-3t-12=56-3t①当点M为CQ中点时，CM=∵CM=∴12-t-解得：t=11②当点Q为CM中点时，CQ=∵CQ=∴56-3t-解得：t=24当点P运动到点C时，线段PQ、此时：t=12+综上，t的值为24s或615s（3）解：当0≤t≤7时，Q表示-16+3t，P当7<t≤9时，Q表示的数是5+43×3t-7=4t-23，P①Q未到达C，若Q在M右边1个单位时，4t解得t=②Q未到达C，N在P右侧1个单位时，27-2t解得t=当9<t≤343时，Q表示13+3t-当343<t≤403时，Q表示的数是20-3当403<t≤493时，Q表示的数是10-43×3t-403③PQ返回，N在P右侧1个单位时，1103解得t=④PQ返回，Q在M右边1个单位时，1903解得t=综上所述，t的值是1016s或956s或【类型二：与线段相关】9．（23-24七年级上·广东揭阳·期末）如图，射线OM上有A，B，C三点，满足OA=40cm,AB=30cm,BC=20cm．点P从点O出发，沿OM方向以2cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，当点（1）若Q的速度为3cm/s，求PQ两点相遇时，OP的长；（2）当点P与点Q都同时运动到线段AB的中点时，求点Q的运动速度；（3）当PA=2PB时，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，求点【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，两点间距离，路程，速度时间之间的关系等知识，学习构建方程解决问题是解决此种题型的关键．（1）设经过ts，PQ（2）根据题意设经过ts点P与点Q都同时运动到线段AB的中点，先计算OP和CQ的长度，再计算点P运动到AB的中点时的时间，再利用路程时间公式即可得出点Q（3）设Q的速度为v，经过后ts，点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，点O对应数轴上的0，点A对应数轴上的40，点B对应数轴上的70，点C对应数轴上的90，点P对应数轴上的2t，点Q对应数轴上的90-vt【解题过程】（1）解：设经过ts，PQ∵点P从点O出发，沿OM方向以2cm/s的速度匀速运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动，两点同时出发，Q的速度为3cm/s，又∵OA=40∴2t∴t=18则OP=2×18=36（cm故答案为：36cm（2）解：∵OA=40∴12∴OP=OA+∵P从点O出发，沿OM方向以2cm/s的速度匀速运动，∴点P运动到AB中点时时间为：55÷2=55∴点Q的运动速度为：35÷55故答案为：1411（3）解：设Q的速度为v，经过后ts，点Q运动到的位置恰好是线段OB且规定点O对应数轴上的0，点A对应数轴上的40，点B对应数轴上的70，点C对应数轴上的90，∴点P对应数轴上的2t，点Q对应数轴上的90-∵点Q运动到的位置恰好是线段OB的中点，∴702=90-vt∵PA=2∴2∣2t-70∣=∣2t-当t=50s时，此时而点Q到达O所需时间为90011当t=30s时，此时而点Q到达O所需时间为54011综上所述，当v=1110故答案为：1110cm/10．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）定义：若线段上的一个点把这条线段分成1:2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点．（1）如图1，点M是线段AB的一个三等分点，满足BM=2AM，若AB=9cm，则（2）如图2，已知AB=9cm，点C从点A出发，点D从点B出发，两点同时出发，都以每秒23cm的速度沿射线①当t为何值时，点C是线段AD的三等分点．②在点C，点D开始出发的同时，点E也从点B出发，以每秒xcm的速度沿射线BA方向运动，在运动过程中，点C，点E分别是AE，AD的三等分点，请直接写出x【思路点拨】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数轴上两点之间的距离求解方法，分类讨论是解决问题的关键．（1）由BM=2AM，AB=9（2）①点C是线段AD的三等分点，分两种情况：AC=13AD或AC=23AD进行讨论求解即可；②点【解题过程】（1）∵BM=2AM，∴AM故答案为：3；（2）由题意可得：AC=∴AD=点C是线段AD的三等分点，分两种情况：当AC=13AD时，当AC=23AD时，综上所述：当t为274s或27s时，点C由题意得：BE=xcm，则AE∵点C，点E分别是AE，AD的三等分点，∴可以分四种情况讨论：当AC=13AE,分别解得：t=∴1解得：x=当AC=23AE,分别解得：t=9-∴9-解得：x=当AC=13AE,分别解得：t=∴1解得：x=当AC=23AE,分别解得：t=9-∴9-解得：x=-点C，点E分别是AE，AD的三等分点，x的值为97或367或11．（23-24七年级上·广东珠海·期末）已知在数轴上有A，B两点，点B表示的数为-8，点A在B点的右边，且AB=24．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向终点B匀速运动，动点Q从点B同时出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向终点A匀速运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为（1）①点A所表示的数为________；②当t=1秒时，点P所表示的数为________，点Q所表示的数为________（2）问运动了多少秒，点P与点Q相距8个单位长度？（3）若点M为AQ的中点，点N为BP的中点，求出线段MN与线段PQ的数量关系．【思路点拨】（1）①由数轴上两点之间的距离列式即可；②由起点对应的数加上或减去移动距离可得答案；（2）先表示点P表示的数为16-5t，点Q表示的数为-（3）分两种情况讨论：当P在Q右侧时，如图，同理P在Q左侧时：如图，再利用中点的含义结合线段的和差关系可得结论．【解题过程】（1）解：①∵AB=24，24+∴A表示的数是16；②∵PA=5∴P点表示的数是16-5=11；Q点表示的数是：-8+3=-5（2）∵∴点P表示的数为16-5t，点Q表示的数为∴解得t=2或答：点P运动2秒或4秒与点Q相距8个单位长度．（3）∵M为AQ的中点，N为BP∴当P在Q右侧时，如图，有：∴MN====1∴MN=1同理P在Q左侧时：如图，同理可得：MN===1∴2MN综合知，2MN+PQ12．（23-24七年级上·云南红河·期末）如图，在射线OM上有A,B,C三点，满足OA=4cm,AB=12cm,BC=2cm．点P从点O出发，沿OM方向以（1）当PA=2PB（P在线段AB上）时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点，则点Q的运动速度为____________（2）若点Q的运动速度为3cm/s，经过多长时间P（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E、F,则【思路点拨】（1）根据PA=2PB，求得PA=8cm，得到OP=12cm，求得（2）分点P、Q相遇前和点P、Q相遇后两种情况，设运动时间为t秒，然后分别根据线段的和差、速度公式列出等式求解即可得；（3）先画出图形，再根据线段的和差、线段的中点定义求出OB-AP和【解题过程】（1）解：∵点P在线段AB上时，PA=2PB，∴PA=23∴OP=∴t=∵点Q是线段AB的中点∴BQ=12∴CQ=∴点Q的运动速度为CQt（2）解：设运动时间为t秒则OP=∵点Q运动到O点时停止运动∴点Q最多运动时间为OC依题意，分以下两种情况：①当点P、Q相遇前，OP+CQ+解得t②当点P、Q相遇后，OP+t+3解得：t=7当t=6时，Q与O此时OP=6当P再运动4s时，P,Q此时t=10综上，经过2秒，10秒，P、Q两点相距10cm（3）解：如图，设OP=点P在线段AB上，则4≤x≤2+12，即OB∵点E、F分别为OP和AB的中点，∴OE=∴则OB-13．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）【问题提出】同学们在解决数学问题的时候，我们往往运用分类讨论来解决问题的多种情况，如此题．例如若有x-3=4①当x-3≥0时，此时可以解得x②当x-3≤0时，此时可以解得x=【知识迁移】仿照上面的分析思路，解决下面两个问题（1）如图，已知点A，B，C在数轴上对应的数分别为-4，2，1，请在数轴上标出线段AB的中点D，并写出D的所代表的数；若数轴上存在点E，它到点C的距离恰好是线段AB的长，求线段DE（2）如图，有公共端点P的两条线段MP、NP组成一条折线M-P-N，若该折线M-P-N上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A-C-B的“折中点”，点【思路点拨】问题提出：根据绝对值的意义进行求解即可；知识迁移：（1）根据中点公式求出点D表示的数，并表示在数轴上即可；设点E表示的数为x，根据题意得：x-1=-4-2，求出点E表示的数为7或-（2）分两种情况进行讨论：当点D在AC上时，当点D在BC上时，分别画出图形，求出结果即可．【解题过程】解：问题提出：①当x-3≥0时，x-②当x-3≤0时，3-x故答案为：①7；②-1知识迁移：（1）∵点A，B在数轴上对应的数分别为-4，2∴AB的中点D所表示的数为：12-4+2设点E表示的数为x，根据题意得：x-解得：x=7或x∴点E表示的数为7或-5∴DE=-1-7∴DE=4或8（2）当点D在AC上时，如图所示：∵点E为线段AC的中点，CE=8∴AE=∵CD=6∴DE=∴AD=∴BC=10-6=4当点D在BC上时，如图所示：∵点E为线段AC的中点，CE=8∴AC=2∵CD=6∴BD=∴BC=综上分析可知，BC=4或28故答案为：4或28．14．（23-24七年级上·江西赣州·期末）已知：如图，点M是线段AB上一定点，AB=12cm，C、D两点分别从点M、B出发以1cm/s、2cm/

（1）若AM=4cm，当点C、D运动了2s，此时AC=，DM（2）当点C、D运动了ts（3）若点C、D运动时，总有MD=2AC，则AM=（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN-BN=【思路点拨】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，一元一次方程的应用；（1）由已知条件得CM、BD的长，由DM=（2）由已知条件得CM=t，BD=2t，由（3）C、D的运动速度可知：BD=2MC，由线段的和得BD+MD=2MC+AC，即可求解；解法二：C、D运动时间为ts（4）①当点N在线段AB上时，由线段和差得AN-BN=MN，可求BN=AM=4，由MN=AB能用已知线段的和差表示所求线段，根据N点的不同位置进行分类讨论，用方程思想求解是解题的关键．【解题过程】（1）解：由题意得CM=2cmBD=4cm∵AM=4∴=12-4=8cm∴=8-4=4cm故答案：2cm；4（2）解：由题意得CM=t，∴==12-=12-3t故AC+MD的值为（3）解：C、D的运动速度可知：∵MD∴BD即MB=2又∵AM∴AM∴3AM∴AM故答案为：4cm．解法二设C、D运动时间为ts，AM的长度为xCM=BD=2BM=12-∴ACMD=12-又∵MD∴12-x解得：x=4故答案为：4cm；（4）解：①当点N在线段AB上时，如图1，

∵AN-又∵AN∴BN∴=12-4-4=4，∴MN②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，

∵AN-又∵AN∴MN∴MN综上所述MNAB=115．（23-24七年级上·安徽芜湖·期末）【新知理解】如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．（1）线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是”）．（2）若AB=24cm，点C是线段AB的“巧点”，则AC=【解决问题】（3）如图②，已知AB=24cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动：点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为ts．当t为何值时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的

【思路点拨】（1）由“巧点”的定义进行判断即可求解；（2）由“巧点”的定义，按C的位置进行分类讨论①AB=2ACBC=2AC，③（3）①当P是A、Q的“巧点”，(ⅰ)由“巧点”的定义得PQ=2AP，列方程即可求解；(ⅱ)由“巧点”的定义得②当Q是A、P的“巧点”，(ⅰ)由“巧点”的定义得AQ=2PQ，(ⅱ)由“巧点”的定义得【解题过程】（1）解：∵C是线段AB的中点，∴AB∴C是线段AB的“巧点”；故答案：是；（2）解：①如图，点C是线段AB的“巧点”，

∴AB=2∴AC②如图，点C是线段AB的“巧点”，

∴BC=2AC∴AC③如图，点C是线段AB的“巧点”，

∴AC=2∴AC故答案：8或12或16；（3）解：t为247或6或72①当P是A、Q的“巧点”，(ⅰ)如图，

∴PQ=2AP∵AP=2t∴=24-3t∴2×2t解得：t=(ⅱ)如图，

∴AP=2PQ∵AP=2t∴=24-3t∴2t解得：t=6②当Q是A、P的“巧点”，(ⅰ)如图，

∴AQ=2∵AP=2t∴PB∴=3tAQ=24-∴24-t解得：t=(ⅱ)如图，

∴PQ=2同理可得：∴3t解得：t=此种情况不合题意，舍去；综上所示：当t为247或6或727时，A、P、Q三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“巧点16．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）（1）如图1，点A，B，C，D为直线l上从左到右顺次的四个点．①直线l上以A，B，C，D为端点的射线共有______条；②若AC=4，BD=6，BC=1，点P为直线l上一点，则PA（2）从图1的位置开始，点A在直线l上向左运动，点B，D在直线l上向右与A点同时开始运动，运动过程中BD的长度保持不变，M，N分别为AC，BD的中点（如图2）．在此过程中，请指出三条线段AB，CD，MN之间的数量关系（用一个等式表示）并说明理由；（3）如图3，点A，B，C为数轴上从左到右顺次的三个点，点A，B表示的数分别为m，nm<n，D为AC中点．若AC-AB=3，且【思路点拨】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，数轴上两点的距离计算，射线的条数问题：（1）①根据射线的定义进行求解即可；②分点P在点A左侧，点P在A、B之间，点P在点D右侧三种情况讨论求解即可；（2）如图所示，当点B在点C左边时，由线段中点的定义得到AC=2MC，BD=2BN，根据AB+BC+CD=AC+BD-BC，推出AB+BC+（3）由中点的定义得到，AD=12n-12m，求出AB=【解题过程】解：（1）①由题意得，图中的射线有射线AE，AF，故答案为：8；②∵AC=4，BD=6，∴AD=如图所示，当点P在点A左侧时（包括A），PA如图所示，当点P在A、D之间时，PA-如图所示，当点P在点D右侧时（包括B），PA-综上所述，PA-PD的最大值为故答案为：9；（2）AB+如图所示，当点B在点C左边时，∵M，N分别为AC，BD的中点，∴AC=2MC，∴AB=2=2MN=2MN∴AB+如图所示，当点B在点C右侧时，∵M，N分别为AC，BD的中点，∴AC=2MC，∴AB=2=2MN=2MN∴AB+综上所述，AB+（3）∵D为AC中点，∴AD=∵AC-∴AB=∴BD=∵AD+3∴12∴12∴2n∴n-∴AB=【类型三：与角相关】17．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图1，已知∠AOB=120°，∠COD=60°，OM在∠AOC内，ON在∠BOD内，∠COD绕点O旋转，在旋转过程中始终有∠（1）∠COD从图1中的位置绕点O逆时针旋转到OC与OB重合时，如图2，则∠MON（2）∠COD从图2中的位置绕点O顺时针旋转n°0<n<60，求∠MOC（3）∠COD从图2中的位置绕点O逆时针旋转n°（0<n<120且【思路点拨】本题考查了角的数量关系，数形结合是解答本题的关键．（1）根据∠MON（2）先分别表示出∠AOC=120°+n°，∠BOD（3）分二种情况：①当0<n<60时，②当【解题过程】（1）∵∠AOM=1∴∠DON∴∠=120°+60°-40°-40°=100°；故答案为：100；（2）如图，∵∠AOB=120°，∠COD∴∠AOC=∠AOB∵∠AOM=1∴∠MOC=2（3）①当0<n∵∠BOC∴∠AOC=∠AOB∵∠AOM=1∴∠==80°-=100°；②当60<n∵∠BOC∴∠AOC∠BOD∴∠==80°-=100°．综上所述：∠MON的度数为100°18．（23-24七年级上·湖南张家界·期末）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下．【发现猜想】（1）如图①，已知∠AOB=60°，∠AOD=110°，OC为【探索归纳】（2）如图①，∠AOB=m，∠AOD=n，OC为∠BOD的角平分线，则∠【问题解决】（3）如图②，若∠AOB=20°，∠AOC=90°，∠AOD=120°，若射线OB绕点O以每秒10°逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒20°顺时针旋转，射线OD【思路点拨】本题主要考查了角平分线的有关计算，一元一次方程的应用，涉及射线的旋转问题，有一定难度，解题的关键是厘清角的和差关系，注意分情况讨论，避免漏解．（1）先根据角的和差关系计算出∠BOD，再由角平分线的定义求出∠BOC的度数，再根据（2）仿照（1）求解即可；（3）分①当OC为OD，OB夹角的角平分线，即OC平分∠DOB时，此时0<t≤73，②当OB为OC，OD夹角的角平分线，即OB平分∠COD时，73<t≤52，③当OD为OC，OB夹角的角平分线，即OD平分∠BOC时，52<【解题过程】解：（1）∵∠AOB=60°，∴∠BOD∵OC为∠BOD∴∠BOC∴∠AOC故答案为：85°；（2）∵∠AOB=m∴∠BOD∵OC为∠BOD∴∠BOC∴∠AOC故答案为：12（3）解：设运动时间为t，由题意知，OB旋转了10t°，OC旋转了20t°，∵∠AOD=120°，∠∴∠DOC=30°，∴经过4.5秒射线OC与直线OA重合，经过34秒射线OB与直线OA重合，经过4秒射线OD与直线OA重合，∴总运动时间为4秒，当OD与OC重合时，30t°-20当OD与OB重合时，30t°+10当OB与OC重合时，10t°+20①当OC为OD，OB夹角的角平分线，即OC平分∠DOB时，此时0<∴∠DOC∴120-30t解得t=2②当OB为OC，OD夹角的角平分线，即OB平分∠COD时，7∴∠BOC∴20+10t解得t=③当OD为OC，OB夹角的角平分线，即OD平分∠BOC时，5∴∠COD∴20+10t解得t=④当OC为OB，OD夹角的角平分线，即OC平分∠BOD时，3<∴∠DOC∴20+10t解得t=2综上所述，运动时间为为177或135或19．（23-24七年级上·陕西汉中·期末）【问题背景】如图1，已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB【问题感知】（1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）【问题初探】（2）如图2，∠MPN=60°．若射线PQ是∠MPN的“量尺金线”，则∠【问题推广】（3）在（2）中，若∠MPN=x°，0°<x≤60°，射线PF从PN位置开始，以每秒旋转3°的速度绕点P按逆时针方向旋转，当∠FPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为ts．当t为何值时，射线PM是∠FPN【思路点拨】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键．（1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可；（2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可；（3）射线PM是∠FPN的“量尺金线”，PM在∠FPN的内部，PF在【解题过程】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义，故答案为：是；（2）∠MPN=60°，射线PQ是∠MPN的“量尺金线”，根据“当∠QPN∵∠QPN∴∠QPN当∠MPQ∵2∠∴∠QPN当∠NPM∵∠MPN∴∠QPN综上：当∠QPN为20°，30°，40°时，射线PQ是∠MPN的“量尺金线（3）∵射线PM是∠FPN的“量尺金线”∴PM在∠FPN∴PF在∠NPM分三种情况：①如图，当∠NPM∠FPM∴∠FPN∴t=②如图，当∠FPN∴∠FPN∴t=③当∠FPM∵∠FPM∴∠FPN∴t=3综上：当t为x或12x或23x时，射线PM是∠FPN20．（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）定义：如果∠α=2∠β+∠γ，则称∠α是∠β、∠γ的加权伴随角．例如∠a=50°，应用：（1）如果∠1=30°，∠2=40°，∠3=100°①∠3______（填“是”或“不是”）∠1、②∠3______（填“是”或“不是”）∠2、（2）点O在直线AB上，点C、D分别为射线OA、OB上一点，射线OC以每秒10°顺时针旋转，同时射线OD以每秒①当t=3时，判断∠COD是否为②若∠AOC=2∠COD③在∠AOC、∠COD、【思路点拨】本题主要考查了角的计算．解决本题的关键是熟练掌握新定义——加权伴随角，分类讨论．（1）根据∠3=2∠1+∠2，可知∠3是∠1和∠2的加权伴随角；②根据∠3≠2∠2+∠1，可知∠3不是∠2和∠1的加权伴随角；（2）①t=3时，得到∠AOC=30°，∠BOD=45°，∠COD=105°，可知∠COD是∠AOC和∠BOD的加权伴随角；②根据∠AOC=10t°，∠BOD=15t°，∠AOC=2∠COD，分∠COD=180°-25t°，和∠COD=25t°-180°，两种情况解答；③根据当0<t≤7.2时，∠AOC=10【解题过程】（1）①∵∠1=30°，∠2=40°，∠3=100°，∴∠3=2∠1+∠2，∴∠3是∠1和∠2的加权伴随角；故答案为：是；②∵∠3≠2∠2+∠1，∴∠3不是∠2和∠1的加权伴随角；故答案为：不是；（2）①∠COD是∠当t=3∠AOC=3×10°=30°，∠BOD∴∠COD∴∠COD是∠AOC和②∵∠AOC=10t°，∠BOD∴当∠COD10t解得，t=6当∠COD10t解得，t=9综上，t=6或t③当0<t≤7.2时，∠AOC∴∠COD当∠BOD若∠BOD则15t解得，t=9>7.2若∠BOD则15t解得，t=当7.2<t<12时，∠AOC∴∠COD此时∠BOD若∠BOD则15t解得，t=8若∠BOD则15t解得，t=6<7.2综上，t=721121．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠COD:∠AOB=1:7，（1）如图1，求∠COD（2）在（1）的条件下，OC平分∠AOD，射线OM满足∠MOC=4∠（3）如图2，若∠AOC=30°，射线OC绕点O以每秒30°的速度顺时针旋转，同时射线OD以每秒10°的速度绕点O顺时针旋转，当射线OC与OB重合后，再以每秒5°的速度绕点O逆时针旋转．设射线OD，OC运动的时间为t秒（0<t≤9），当∠BOC【思路点拨】（1）根据角度的比例关系和补角的性质列式，即可进行求解；（2）根据角平分线的定义及（1）问结果，可求∠COB的大小，分射线OM在∠COB内部；射线OM在（3）根据题意列出∠BOC和∠BOD关于时间【解题过程】（1）解：∵∠∴∠AOB又∵∠COD是∠AOB补角的∴2∠COD+∠AOB∴∠COD=20°，故∠COD的值为20°（2）解：∵OC平分∠AOD，∴∠AOC=∠COD当射线OM在∠COB

∵∠MOC=4∠MOB∴∠4MOB∴∠MOB当射线OM在∠COB

∵∠MOC=4∠MOB∴∠4MOB∴∠MOB故∠MOB的大小为24°或40°（3）解：当OC顺时针旋转时，∠BOC∠BOD代入∠BOC110°-30°t-90°-10°去绝对值符号：20°-20°t=50°或t=-32当OC逆时针旋转时，∠BOC∠BOD代入∠BOC-55°3+5°去绝对值符号：15°t-325°t=959故答案为：72或3522．（23-24七年级上·福建厦门·期末）如图1所示，三角板OCD的直角边OC靠在直线AB上，其中∠DCO为直角，∠COD=30°，将三角板OCD以O为中心顺时针旋转x°，射线OE，射线OF分别为∠（1）如图2所示，当0°<x<150°，∠（2）如图3所示，在第(1)问的基础上，OG，OP分别为∠AOE，∠EOC内的射线，且∠POG（3