控制系统仿真及MATLAB语言第五章控制系统的时频分析法

第五章

控制系统的时频域分析方法5.1控制系统的时域分析（一）时域响应概述：回顾时域响应的性能指标

（1）动态性能指标上升时间、峰值时间、超调量、调整时间

（2）稳态性能指标

稳态误差

（二）时域响应常用的Matlab函数：产生输入信号：gensig求取系统单位阶跃响应：step求取系统的冲激响应：impulse连续系统的零输入响应：initial连续系统对任意输入的响应：lsim求系统稳态值：dcgain求具有反馈结构的闭环传函：feedback对于离散系统只需在连续系统对应函数前加d就可以，如dstep，dimpulse,dinitial,dlsim等。调用格式与step、impulse类似。1、gensig()函数的用法例5-1

[u,t]=gensig(type,tau)[u,t]=gensig(type,tau,tf,ts)

信号序列时间序列信号类型信号周期持续时间采样时间2、step()函数的用法例5-2

step(sys);step(sys,t);y=step(num,den,t);

[y,x,t]=step(num,den);[y,x,t]=step(A,B,C,D,iu);输出矩阵状态轨迹时间序列自动生成时间向量[0,t]3、dstep()函数的用法例5-3

dstep(numz,denz);

dstep(A,B,C,D);

dstep(A,B,C,D,iu);第iu个输入4、impluse()函数的用法例5-4

impluse(sys);impluse(sys,t);y=impluse(num,den,t);

[y,x,t]=impluse(num,den);[y,x,t]=impluse(A,B,C,D,iu);输出矩阵状态轨迹时间序列自动生成时间向量[0,t]5、dimpulse()函数的用法例5-5

dimpulse(numz,denz);

dimpulse(A,B,C,D);

dimpulse(A,B,C,D,iu);第iu个输入6、initial()函数的用法例5-6[y,t,x]=initial(sys,x0);[y,t,x]=initial(sys,x0,t);7、dinitial()函数的用法例5-7dinitial(sys,x0);[y,x,n]=dinitial(sys,x0,n);8、lsim()函数的用法例5-8[y,t,x]=lsim(sys,u,t);[y,t,x]=lsim(sys,u,t,x0);9、dlsim()函数的用法例5-9

dlsim(sys,u);[y,x]=dlsim(sys,u,x0);11、dcgain()函数的用法

k=dcgain(sys);12、feedback()函数的用法例5-10sys=feedback(sys1,sys2);（三）频域分析：

常用的作图方法：Bode图，奈奎斯特图频域响应常用的Matlab函数：画Bode图：bode画奈奎斯特图：nyquist画尼克尔斯图：nichols绘制零极点位置：pzmap计算增益和相位裕度：margin对于离散系统只需在连续系统对应函数前加d就可以，如dbode，dnyquist,dnichols。调用格式类似。（1）Bode图1.产生频率向量——横轴频率向量可由logspace()函数来构成。此函数的调用格式为ω=logspace(m,n,npts)此命令可生成一个以10为底的指数向量(10m∽10n)，点数由npts任意选定。10m10nnpts2.输入画Bode图的命令——纵轴连续系统的伯德图可利用bode()函数来绘制，连续系统的调用格式为：

bode(sys);bode(sys,w);[mag,phase,w]=bode(num,den)[mag,phase]=bode(num,den,w)[mag,phase,w]=bode(A,B,C,D)[mag,phase,w]=bode(A,B,C,D,iu)

式中num,den和A,B,C,D分别为系统的开环传递函数和状态方程的参数，w为Bode图的频率点。幅频相频离散系统的调用格式为：

[mag,phase,w]=dbode(numz,denz,Ts)[mag,phase]=dbode(numz,denz,Ts,w)[mag,phase,w]=dbode(A,B,C,D,Ts,iu)[mag,phase,w]=dbode(A,B,C,D,Ts,iu,w)

式中numz,denz和A,B,C,D分别为系统的开环传递函数和状态方程的参数，Ts为取样频率,w为Bode图的频率点。幅频相频3.显示绘制结果可以利用下面的MATLAB命令

>>subplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(mag))>>subplot(2,1,2);semilogx(w,phase)subplot把屏幕分成两个部分

semilogx生成半对数坐标图同一个窗口上同时绘制出系统的Bode图了，其中前一条命令中对幅值向量mag求取分贝(dB)值。M行N列4.求幅值裕量和相位裕量

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)或

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)式中Gm和Pm分别为系统的幅值裕量和相位裕量

Wcg

和Wcp分别为幅值裕量和相位裕量处相应的频率值例5-2已知二阶系统的开环传递函数为试绘制系统的开环频率特性曲线k=1.5;ng=1.0;dg=poly([0-1-2]);w=logspace(-1,1,100);[m,p]=bode(k*ng,dg,w);subplot(2,1,1);semilogx(w,20*log10(m));grid;ylabel('增益(dB)');subplot(2,1,2);semilogx(w,p);grid;xlabel('频率(rad/s)');ylabel('相角(deg)');>>[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(k*ng,dg)Gm=4.0000Pm=

41.5340Wcg=1.4142Wcp=0.6118>>G=20*log10(Gm)G=

12.0412相位裕量幅值裕量练习已知二阶系统的开环传递函数为试绘制系统的Bode图k=100;z=[-4];p=[0-0.5-50-50];[num,den]=zp2tf(z,p,k);Bode(num,den);title(‘Bodeplot’);gridon（2）Nyquist图连续系统函数的调用格式为

nyquist(sys)

nyquist(sys,w)[Re,Im,w]=nyquist(num,den)[Re,Im,w]=nyquist(num,den,w)[Re,Im,w]=nyquist(A,B,C,D)其中

返回值Re,Im和w分别为频率特性的实部向量、虚部向量和对应的频率向量离散系统函数的调用格式为

dnyquist(a,b,c,d,Ts)

dnyquist(a,b,c,d,Ts,iu)

dnyquist(a,b,c,d,Ts,iu,w)其中

TS和w分别为频率特性的取样时间和对应的频率向量例例5-16、5-17例

绘制

的nyquist图和bode图。解

MATLAB编程如下：»num=[10];»den=[1,1.2,10];»w=logspace(-2,2,1000);»nyquist(num,den,w)»grid»bode(num,den,w)»grid练习已知系统的开环传递函数

绘制系统nyquist曲线。解

MATLAB编程如下：»k=50;»z=[];»p=[-52];»[num,den]=zp2tf(z,p,k);»nyquist(num,den)（3）Nichols图连续系统函数的调用格式为

nichols(sys)

nichols(sys,w)

nichols(num,den)

nichols(num,den,w)

nichols(A,B,C,D)其中

w对应的频率向量离散系统函数的调用格式为

dnichols(num,den,Ts)

dnichols(num,den,Ts,w)

dnichols(a,b,c,d,Ts)

dnichols(a,b,c,d,Ts,iu)

dnichols(a,b,c,d,Ts,iu,w)其中

TS和w分别为频率特性的取样时间和对应的频率向量例例5-18、5-19（4）pzmap

绘制零极点位置调用格式为

pzmap(p,z);P—零点向量z—极点向量例5-24重要（三）根轨迹：所谓根轨迹是指，当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在s平面上的轨迹。一般来说，这一参数选作开环系统的增益K，而在无零极点对消时，闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数的极点。根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简便。

通常来说，绘制系统的根轨迹是很繁琐的事情，因此在教科书中介绍的是一种按照一定规则进行绘制的概略根轨迹。在MATLAB中，专门提供了绘制根轨迹的有关函数。rlocus：求系统根轨迹。rlocfind：计算给定一组根的根轨迹增益。对于图所示的负反馈系统，其特征方程可表示为

或

利用rlocus()函数可绘制出当开环增益K由0至∝变化时，闭环系统的特征根在s平面变化的轨迹，函数的调用格式为：rlocus(GH);rlocus(GH,k);

[r,K]=rlocus(num,den)[r,K]=rlocus(a,b,c,d)

其中：返回值r为系统的闭环极点，K为相应的增益。例>>num=[11];den=[1560];rlocus(num,den)>>

r=rlocus(num,den,10)r=-2.1056+2.8714i-2.1056-2.8714i-0.7887K(s+1)s(s+2)1(s+3)-R(s)C(s)>>[r,k]=rlocus(num,den)命令

[K,poles]=rlocfind(num,den)或[K,poles]=rlocfind(A,B,C,D)

了解特定的复根对应的增益K的取值只有运行了rlocus函数并得到根轨迹后，才能合法调用运行rlocfind函数后，MATLAB会在根轨迹图上产生‘+’提示符，通过鼠标将提示符移动到根轨迹相应的位置确定，所选的K值就会在命令窗口显示selected_point=-0.3212+0.0000ik=2.1281poles=-2.3394+1.0735i-2.3394-1.0735i-0.3212例

特定的根对应的增益K>>rlocus(num,den)>>[k,poles]=rlocfind(num,den)Selectapointinthegraphicswindow第三节

控制系统的设计方法控制系统的设计，就是在系统中引入适当的环节，用以对原有系统的某些性能进行校正，使之达到理想的效果，故又称为系统的校正，下面介绍几种常用的系统校正方法的计算机辅助设计实现。校正的目的：设计控制器使系统满足给定的性能不可变部分性能如何描述？控制器的设计：传递函数的结构与参数选择

根据被控对象以及控制要求，选择适当的控制器及控制规律设计一个满足给定性能指标的控制系统。校正(补偿)：通过改变系统结构，或在系统中增加附加装置或元件对已有的系统（固有部分）进行再设计使之满足性能要求。控制系统的设计本质上是寻找合适的校正装置(校正装置)设超前校正装置的传递函数为1超前校正(1)极坐标图当ω＝0→∞变化时，Gc(jω)的相位角φ>0，Gc(jω)的轨迹为一半圆，由图可得超前校正的最大超前相位角φm为

令

可得对应于最大相位角φm时的频率ωm为(2)对数坐标图超前校正装置的对数坐标如图

利用频率法设计超前校正装置的步骤:(1)根据性能指标对稳态误差系数的要求,确定增益kc；(2)利用确定的开环增益kc，画出未校正系统的Bode图，并求出其相位裕量r0和幅值裕量kg；(3)确定为使相位裕量达到要求值，所需增加的超前相位角φｃ，即φｃ＝r-r0+ε.式中r为要求的相位裕量，ε是考虑到系统增加串联超前校正装置后系统的剪切频率要向右移而附加的相位角，一般取ε=5

~15

；(4)令超前校正装置的最大超前相位角φｍ=φｃ，则由下式可求出校正装置的参数α；(5)若将校正装置的最大超前相位角处的频率ωｍ作为校正后系统的剪切频率ωｃ，则有即由此可见，未校正系统的幅频特性幅值等于-10lgα

时的频率即为ωc；(6)根据ωｍ=ωc，利用下式求参数T(7)画出校正后系统的Bode图，检验性能指标是否已全部达到要求，若不满足要求，可增大ε值，从第三步起重新计算。例已知被控对象的传递函数为G(s),系统设计指标要求如下：

(1)速度误差常数为10

(2)相角裕量为45解：（1）确定kc（2）画出未校正系统的Bode图，并求出其相位裕量r0>>num=2000;>>den=[1302000];>>bode(num,den)>>[Gm,r0,Wcg,Wcp]=margin(num,den);r0=32.6133（3）确定为使相位裕量达到要求值，所需增加的超前相位角φｃ，即φｃ＝r-r0+ε（4）令超前校正装置的最大超前相位角φｍ=φｃ，确定参数α；>>t=sin(18*pi/180)>>a=(1+t)/(1-t)a=1.8944（5）确定校正装置的最大超前相位角处的频率ωｍ

从Bode图中可看到Wm=9rad/s（6）根据ωｍ=ωc，求参数T>>a=1.89;>>-10*log10(a)ans=-2.7646>>T=1/(sqrt(1.89)*9)T=0.0808（7）最终得到（8）比较分析零点出现在极点之后给系统加入滞后的相角，使得系统动态性能变差，降低系统稳态误差2滞后校正1.滞后校正装置的特性设滞后校正装置的传递函数为其频率特性为（1）极坐标图滞后校正装置的极坐标图如图。由图可求得最大滞后相位角φｍ和对应的频率ωｍ分别为（2）对数坐标图滞后校正装置的对数坐标图如图采用相位滞后网络校正系统的步骤为：1、由对稳态误差要求确定开环增益K；2