高一数学（人教A版）教学课件 必修一 5-4-2 第 1 课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性

5.4.2正弦函数、余弦函数的性质正、余弦函数的周期性与奇偶性——(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)第1课时课时目标1．理解周期函数概念，能熟练的求出简单三角函数的周期．2．会根据所学图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．CONTENTS目录123课前预知教材·自主落实基础课堂题点研究·迁移应用融通课时跟踪检测课前预知教材·自主落实基础(一)函数的周期1．周期函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个___________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做周期函数，____________叫做这个函数的周期．非零常数Tf(x＋T)＝f(x)非零常数T2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_____________，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．正弦函数、余弦函数的周期性正弦函数y＝sinx(x∈R)和余弦函数y＝cosx(x∈R)都是周期函数，______(k∈Z且k≠0)是它们的周期，最小正周期是_____.最小的正数2kπ2π|微|点|助|解|(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立．(2)不是所有的函数都是周期函数．周期函数的周期不止一个，如果T是函数f(x)的周期，那么kT(k∈Z且k≠0)也是函数f(x)的周期．(3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期,如f(x)＝C(C为常数，x∈R)是周期函数但没有最小正周期．(二)正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数y＝sinx(x∈R)是____函数，图象关于_____对称；(2)余弦函数y＝cosx(x∈R)是____函数，图象关于______对称．奇原点偶y轴|微|点|助|解|(1)判断函数的奇偶性时，一定要判断函数的定义域是否关于原点对称，当定义域不关于原点对称时，正弦型函数和余弦型函数就不具有奇偶性．基础落实训练1．函数y＝f(x)＝－sinx的奇偶性是(

)A．奇函数

B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数解析：因为x∈R，f(－x)＝－sin(－x)＝sinx＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．√2．(多选)如图，是定义在R上的四个函数的图象，其中是周期函数的图象的是(

)√解析：观察图象易知，只有D选项的图象不是周期函数的图象．√4．若函数y＝f(x)的周期是4，且f(2)＝0，则f(22)＝________.0课堂题点研究·迁移应用融通题型(一)正、余弦函数的周期性(2)y＝|sinx|(x∈R)．解：法一作出y＝|sinx|的图象如图．由图象知，y＝|sinx|的周期为π.法二令f(x)＝|sinx|，f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sinx|＝|sinx|＝f(x)，∴y＝|sinx|(x∈R)的周期为π.[变式拓展]1．本例(2)中函数改为y＝|cosx|，则其周期又是什么？解：作出函数y＝|cosx|的图象，如图所示，观察图象可知此函数的周期是π.2．本例(2)中函数改为y＝cos|x|，则其周期又是什么？解：由诱导公式得y＝cos|x|＝cosx，所以其周期T＝2π.|思|维|建|模|求三角函数周期的方法针对训练1．下列函数是以π为最小正周期的函数是(

)A．y＝sinx B．y＝sinx＋2C．y＝cos2x＋2 D．y＝cos3x－1√3解析：易知f(x)的最小正周期T＝6，则有f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.则f(0)＋f(1)＋…＋f(13)＝2[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(12)＋f(13)＝f(12)＋f(13)＝f(0)＋f(1)＝2＋1＝3.题型(二)正、余弦函数的奇偶性解：∵1＋sinx≠0，∴sinx≠－1，∴x∈R且x≠2kπ－，k∈Z.∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．|思|维|建|模|

利用定义判断函数奇偶性的3个步骤针对训练3．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝|sinx|＋cosx；解：函数的定义域为R，因为f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，所以此函数是偶函数．解：由1－cosx≥0且cosx－1≥0，得cosx＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．题型(三)正、余弦函数的周期性与奇偶性的综合应用√1|思|维|建|模|三角函数周期性与奇偶性综合问题的解题策略解决函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的综合应用问题的基本途径有两种：一是熟练掌握函数y＝sinx，y＝cosx的函数图象，利用基本函数法得到相应的函数性质；二是直接作出函数图象，利用图象形象直观地分析解决问题．针对训练√√√课时跟踪检测134567891011121314152A级——达标评价√156789101112131415234√√156789101112131415234156789101112131415342√√1567891011121314153421567891011121314153424．设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则函数y＝f(x)的图象是(

)√156789101112131415342解析：由f(－x)＝f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称.由f(x＋2)＝f(x)，则f(x)的周期为2.故选B.156789101112131415342√156789101112131415342156789101112131415342415678910111213141534211567891011121314153428．写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝__________________.sinπx(答案不唯一)1567891011121314153429．(8分)判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝xcos(π＋x)；解：∵f(x)＝－xcosx，∴f(－x)＝－(－x)cos(－x)＝xcosx＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．156789101112131415342156789101112131415342156789101112131415342156789101112131415342(2)此函数是周期函数吗？若是，请求出最小正周期．解：由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.156789101112131415342B级——重点培优√1567891011121314153421567891011121314153422156789101112131415342131567891011121314153421