高一数学（人教A版）教学课件 必修一 5-4-2 第 2 课时 正、余弦函数的单调性与最值

正、余弦函数的单调性与最值——(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)第2课时课时目标1．掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求函数的值域和最值．2．掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性并能利用单调性比较大小，会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．CONTENTS目录123课前预知教材·自主落实基础课堂题点研究·迁移应用融通课时跟踪检测课前预知教材·自主落实基础(一)正弦函数、余弦函数的单调性1．正弦函数的单调性单调递增单调递减2．余弦函数的单调性在每一个闭区间[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上都__________，其值从－1增大到1；在每一个闭区间[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上都__________，其值从1减小到－1.单调递增单调递减|微|点|助|解|(1)正、余弦函数的单调性只针对区间，不能针对象限；(2)正弦函数、余弦函数都不是单调函数，但它们都有无数个单调区间；(3)利用单调性，可以比较同一个单调区间内的同名三角函数值的大小．(二)正弦函数、余弦函数的最值1．正弦函数的最值2kπ2kπ＋π|微|点|助|解|(1)若函数的定义域不是R，则一定要在给定区间内结合单调性求值域与最值．(2)利用函数y＝sinx和y＝cosx的值域和最值，可以求它们复合而成的函数的值域和最值．(3)正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值为最大值或最小值．基础落实训练√√3．函数y＝2＋2cosx的单调递增区间是________________________．解析：函数的单调递增区间为[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)．[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)课堂题点研究·迁移应用融通题型(一)正、余弦函数的单调区间[变式拓展]1．若本例条件增加x∈[0,2π]，求f(x)的单调区间．|思|维|建|模|求正、余弦函数的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的函数的单调区间同上．针对训练[例2]比较下列各组数的大小．(1)sin194°与cos160°；题型(二)比较三角函数值的大小解：sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(90°＋70°)＝－sin70°.∵0°<14°<70°<90°，函数y＝sinx在0°～90°内单调递增，∴sin14°<sin70°.∴－sin14°>－sin70°.∴sin194°>cos160°.|思|维|建|模|比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．(3)利用函数的单调性比较大小．针对训练2．下列结论正确的是(

)A．sin400°>sin50° B．sin220°<sin310°C．cos130°>cos200° D．cos(－40°)<cos310°解析：由cos130°＝cos(180°－50°)＝－cos50°，cos200°＝cos(180°＋20°)＝－cos20°，因为当0°<x<90°时，函数y＝cosx单调递减，所以cos50°<cos20°.所以－cos50°>－cos20°.即cos130°>cos200°.√3．不求值，指出下列各式大于零还是小于零．(1)sin25°－sin72°；题型(三)正、余弦函数的值域与最值(2)y＝cos2x－4cosx＋5.解：令t＝cosx，则－1≤t≤1.∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1.∴当t＝－1时，y取得最大值10，当t＝1时，y取得最小值2.∴y＝cos2x－4cosx＋5的值域为[2,10]．|思|维|建|模|三角函数的值域(最值)问题的求解方法(1)形如y＝Asinx(或y＝Acosx)型，可利用正弦函数(或余弦函数)的有界性，注意对A正、负的讨论．(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得值域(最值)．(3)求给定区间上最值(值域)的问题，可利用换元思想，设t＝ωx＋φ，转换成y＝Asinx(或y＝Acosx)型的函数求值．

针对训练√课时跟踪检测1345678910111314152A级——达标评价1．y＝2cosx2的值域是(

)A．[－2,2] B．[0,2]C．[－2,0] D．R解析：因为x∈R，所以x2≥0，所以y＝2cosx2∈[－2,2]．√121567891011131415234√1215678910111314152341215678910111314153423．下列关系式正确的是(

)A．sin11°＜cos10°＜sin168°B．sin168°＜sin11°＜cos10°C．sin11°＜sin168°＜cos10°D．sin168°＜cos10°＜sin11°√121567891011131415342解析：由诱导公式，得cos10°＝sin80°，sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°.因为当0°≤x≤90°时，正弦函数y＝sinx是单调递增的，所以sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°.故选C.121567891011131415342√121567891011131415342121567891011131415342√√√1215678910111314153421215678910111314153426．cos1，cos2，cos3的大小关系是_________________.(用“>”连接)解析：∵0<1<2<3<π，而y＝cosx在[0，π]上单调递减，∴cos1>cos2>cos3.cos1>cos2>cos31215678910111314153424π1215678910111314153428．已知函数y＝cosx在区间[－π，a]上单调递增，则a的取值范围是__________．解析：因为y＝cosx在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，所以只有－π<a≤0时满足条件，故a的取值范围是(－π，0]．(－π，0]121567891011131415342121567891011131415342(2)求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值．121567891011131415342121567891011131415342121567891011131415342B级——重点培优11．函数y＝cos2x＋sinx的最大值为(

)√121567891012131415342√1115678910131415342111215678910131415342－111121567891013141534214．(12分)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－3，－2]上单调递减，α，β是锐角三角形的两个内角，求证：f(sinα)>f(cosβ)．证明：由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．因为函数f(x)是偶函数且在[－3，－2]上单调递减，所以函数f(x