高一数学（人教A版）教学课件 必修一 板块综合 函数性质的综合应用

板块综合函数性质的综合应用(阶段小结课—习题讲评式教学)建构知识体系1．浸润的核心素养奇偶性、单调性、对称性是函数最重要的三个性质，通过学习，学生利用函数图象去研究函数的性质，学会用抽象的符号语言描述函数的单调性、奇偶性及最大(小)值，发展学生的数学抽象、逻辑推理等学科素养．融通学科素养2．渗透的数学思想(1)在解决与函数性质有关的问题时，常利用函数的图象来解决，即利用数形结合的思想方法，将问题化难为易、化抽象为具体．(2)如果涉及到的函数中含有参数或解题结果不能确定，需要应用分类讨论的思想方法，把整个问题划分为几个部分逐一解决，最后合并为一种结果．(3)函数、方程与不等式密切相关，相互转化，在解决函数的定义域、值域或与其有关的问题时，一般把函数问题转化为不等式、方程等来解决，即应用转化与化归、函数与方程的思想方法．CONTENTS目录123题型(一)利用函数单调性与奇偶性比较大小题型(二)利用函数奇偶性与单调性解不等式题型(三)函数奇偶性、单调性与对称性的综合45课时跟踪检测题型(四)函数的新定义问题题型(一)利用函数单调性与奇偶性比较大小01[例1]

定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，则当n∈N*时，有(

)A．f(－n)<f(n－1)<f(n＋1) B．f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)C．f(n－1)<f(－n)<f(n＋1) D．f(n＋1)<f(n－1)<f(－n)√解析：∵对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0，∴若x2－x1>0，则f(x2)－f(x1)>0，即若x2>x1，则f(x2)>f(x1)，若x2－x1<0，则f(x2)－f(x1)<0，即若x2<x1，则f(x2)<f(x1)，∴函数在(－∞，0]上单调递增．∵f(x)在R上是偶函数，∴函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(－n)＝f(n)．∵n∈N*，∴n＋1>n>n－1≥0，∴f(n＋1)<f(n)<f(n－1)，即f(n＋1)<f(－n)<f(n－1)，故选B.|思|维|建|模|利用函数单调性与奇偶性比较大小的求解策略(1)在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小．(2)不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．√1．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－2)，b＝g(1)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为(

)A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a针对训练解析：法一易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数，∴a＝g(－2)＝g(2)，∵奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)＝0.∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增．∴g(1)<g(2)<g(3)，即b<a<c.法二

(特殊化)取f(x)＝x，则g(x)＝x2为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增，a＝g(－2)＝4，b＝g(1)＝1，c＝g(3)＝9，从而可得b<a<c.√题型(二)利用函数奇偶性与单调性解不等式02[例2]

已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(

)A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]解析：∵函数f(x)为奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝1.又函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，－1≤f(x－2)≤1，∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．∴－1≤x－2≤1.解得1≤x≤3.故选D.√[例3]

设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减，且图象过点(1,0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为_________________．{x|x≤0或1<x≤2}|思|维|建|模|利用函数奇偶性与单调性解不等式的策略(1)利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)的形式；(2)根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”，转化为简单不等式(组)求解．[提醒]

列不等式(组)时不要忘掉函数的定义域．3．已知函数f(x)是定义在区间[－a－1,2a]上的偶函数，且在区间[0,2a]上单调递增，则不等式f(x－1)＜f(a)的解集为(

)A．[－1,3] B．(0,2)C．(0,1)∪(2,3] D．[－1,0)∪(1,2)√针对训练解析：因为函数f(x)是定义在区间[－a－1，2a]上的偶函数，所以－a－1＋2a＝0，解得a＝1，故f(x－1)＜f(a)可化为f(|x－1|)＜f(1)，因为f(x)在区间[0,2]上单调递增，所以|x－1|＜1，解得0＜x＜2.4．已知奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(2)＝0，则不等式(x＋1)f(x＋1)＞0的解集为______________________．解析：∵f(x)是奇函数且在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝0，∴f(－2)＝0，(－∞，－3)∪(1，＋∞)当x＋1＞0，即x＞－1时，由(x＋1)f(x＋1)＞0，可得f(x＋1)＞0，即x＋1＞2，解得x＞1；当x＋1＜0，即x＜－1时，由(x＋1)f(x＋1)＞0，可得f(x＋1)＜0，即x＋1＜－2，解得x＜－3.综上，不等式(x＋1)f(x＋1)＞0的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．题型(三)函数奇偶性、单调性与对称性的综合03函数的对称性(1)①若函数y＝f(x)关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；②若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数关于点(a,0)对称．(2)两个函数图象的对称①函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；②函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；③函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．[例4]

已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，且f(x＋1)为偶函数，若f(3)＝1，则不等式f(2x＋1)<1的解集为(

)A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)√解析：∵f(x＋1)是偶函数，∴f(1－x)＝f(1＋x)．故f(x)的图象关于直线x＝1对称．又f(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f(x)在(－∞，1)上单调递减．∵f(3)＝1，∴f(－1)＝f(3)＝1.∴f(2x＋1)<1⇔－1<2x＋1<3.解得－1<x<1.故选A.|思|维|建|模|解决对称性、单调性和奇偶性综合问题的方法图象法根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论性质法根据对称性、单调性和奇偶性的性质，逐步推导解决求值和比较大小的问题针对训练√题型(四)函数的新定义问题04[例5]

对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x0，满足f(－x0)＝－f(x0)，则称f(x)为“局部奇函数”，已知f(x)＝－aex－4在R上为“局部奇函数”，则实数a的取值范围是(

)A．[－4，＋∞) B．[－4,0)C．(－∞，－4] D．(－∞，4]√|思|维|建|模|解决函数“新定义”问题的策略(1)理解新函数的定义：深刻理解题目中新函数的定义，新函数所具有的性质或满足的条件，将定义、性质等与所求之间建立联系．(2)学会转化：将题目中的新函数与已学函数联系起来，仔细阅读已知条件进行分析，通过类比已学函数的性质、图象解决问题，或者将新函数转化为已学过的函数的复合函数形式．(3)代入特殊值：如果新函数的某一性质对某些数值恒成立，可以通过代入特殊值，得到特殊函数值甚至函数解析式，从而解决问题．针对训练√√解析：①要求函数f(x)为奇函数，②要求函数f(x)为减函数．A中的函数是奇函数但在整个定义域上不是减函数，B中的函数是偶函数而且也不是减函数，C和D中的函数既是奇函数又是减函数．课时跟踪检测05134567891011121314152√134567891011121314152解析：A是增函数，不是奇函数；B和C都不是定义域内的增函数，排除；只有D符合题意，故选D.156789101112131415234√2．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的解析式为f(x)＝x＋1，则下列大小关系正确的是(

)A．f(1)>f(2) B．f(1)>f(－2)C．f(－1)>f(－2) D．f(－1)<f(2)解析：∵当x≥0时，f(x)＝x＋1单调递增，∴f(1)<f(2)，又∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，∴f(－1)<f(2)．156789101112131415342√3．已知定义在R上的奇函数f(x)，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0的解集是(

)A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)C．[－1，＋∞) D．(－∞，1]156789101112131415342解析：因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2x＋1)＋f(1)≥0等价于f(2x＋1)≥f(－1)．又当x≥0时，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)在R上为增函数．所以f(2x＋1)≥f(－1)等价于2x＋1≥－1，解得x≥－1.156789101112131415342√4．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是(

)A．(－∞，－2] B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) D．[－2,2]解析：由f(a)≥f(－2)得f(|a|)≥f(2)，∴|a|≤2，∴－2≤a≤2.156789101112131415342√5．(多选)已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且在区间[a，b](a<b<0)上的值域为[－3,4]，则在区间[－b，－a]上(

)A．有最大值4 B．有最小值－4C．有最大值3 D．有最小值－3√156789101112131415342解析：法一根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选BC.法二当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，所以－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上f(x)min＝－4，f(x)max＝3.1567891011121314153426．已知偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2024，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________．解析：因为偶函数的图象关于y轴对称，所以f(x)在对称区间内的最值相等．又当x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝2024，故当x∈(－∞，0)时，f(x)min＝2024.202415678910111213141534221567891011121314153428．已知函数f(x)是偶函数，且其在(0，＋∞)上单调递增．请你写出一个符合以上条件的函数____________________．f(x)＝|x|(答案不唯一)解析：因为函数f(x)＝|x|的定义域为R，且f(－x)＝|x|＝f(x)，所以函数f(x)＝|x|为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)＝|x|满足题意．156789101112131415342156789101112131415342(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．解：由(1)知f(x)为R上的增函数，因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)．所以1＋m≥2m－3，即m≤4.所以实数m的取值范围为(－∞，4]．15678910111213141534210．(10分)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足：①∀x，y∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)>0，且f(2)＝1.(1)判断函数f(x)的奇偶性；解：函数f(x)的定义域关于原点对称．令y＝1，则f(x)＝f(x)＋f(1)，∴f(1)＝0.令x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，得f(－1)＝0.令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数．156789101112131415342(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；156789101112131415342(3)求函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；解：∵f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，且f(2)＝1，∴f(4)＝2.又由(1)(2)知函数f(x)是偶函数且在(0,4]上单调递增，∴函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f(4)＝f(－4)＝2.156789101112131415342(4)求不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集．156789101112131415342156789101112131415342156789101112131415342A．D(x)是偶函数B．∀x∈R，D(D(x))＝1C．对于任意的有理数t，都有D(x＋t)＝D(x)D．不存在三个点A(x1，D(x1))，B(x2，D(x2))，C(x3，D(x3))，使ABC为正三角形√√√156789101112131415342156789101112131415342156789101112131415342156789101112131415342156789101112131415342156789101112131415342015678910111213141534215678910111213141534214.(12分)如图，在等腰直角△ABC中，A(－3,0)，B(1,0)，记△ABC位于直线x＝t(t>－3)左侧的图形的面积为f(t)．

156789101112131415342(1)试求函数y＝f(t)的解析式；156789101112131415342156789101112131415342(2)已知函数