数列的概念选择题专项训练单元质量专项训练试题

数列的概念选择题专项训练单元质量专项训练试题一、数列的概念选择题1．数列，，，，…的一个通项公式是（）A． B．C． D．答案：C解析：C【分析】根据选项进行逐一验证，可得答案.【详解】选项A.,当时，无意义.所以A不正确.选项B.,当时，，故B不正确.选项C.，，，所以满足.故C正确.选项D.,当时,,故D不正确.故选：C2．设数列的通项公式为，要使它的前项的乘积大于36，则的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．9答案：C解析：C【分析】先求出数列的前项的乘积为，令解不等式，结合，即可求解.【详解】记数列的前项的乘积为，则依题意有整理得解得：，因为，所以，故选：C3．已知数列满足则数列的最大项为（）A． B． C． D．答案：B解析：B【分析】本题先根据递推公式进行转化得到．然后令，可得出数列是等比数列．即．然后用累乘法可求出数列的通项公式，根据通项公式及二次函数的知识可得数列的最大项．【详解】解：由题意，可知：．令，则．，数列是以为首项，为公比的等比数列．．．，，．各项相乘，可得：．．令，则，根据二次函数的知识，可知：当或时，取得最小值．，，的最小值为．．数列的最大项为．故选：．【点睛】本题主要考查根据递推公式得出通项公式，构造新数列的方法，累乘法通项公式的应用，以及利用二次函数思想求最值；4．已知数列的通项公式为（），若为单调递增数列，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】由已知得，根据为递增数列，所以有，建立关于的不等式，解之可得的取值范围.【详解】由已知得，因为为递增数列，所以有，即恒成立，所以，所以只需，即，所以，故选：A.【点睛】本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出是解决此类问题的关键，属于基础题.5．删去正整数1，2，3，4，5，…中的所有完全平方数与立方数（如4，8），得到一个新数列，则这个数列的第2020项是（）A．2072 B．2073 C．2074 D．2075答案：C解析：C【分析】由于数列共有项，其中有个平方数，12个立方数，有3个既是平方数，又是立方数的数，所以还剩余项，所以去掉平方数和立方数后，第项是在后的第个数，从而求得结果.【详解】∵，，，所以从数列中去掉个平方数，因为，所以从数列中去掉个立方数，又，所以在从数列中有3个数即是平方数，又是立方数的数，重复去掉了3个即是平方数，又是立方数的数，所以从数列中去掉平方数和立方数后还有项，此时距项还差项，所以这个数列的第2020项是，故选：C.【点睛】本题考查学生的实践创新能力，解决该题的关键是找出第项的大概位置，所以只要弄明白在数列去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解，属于中档题.6．在数列中，，，则的值为（）A． B． C． D．以上都不对答案：A解析：A【分析】根据递推式可得为一个周期为3的数列，求中一个周期内的项，利用周期性即可求的值【详解】由，知故数列是周期为的数列，而2019可被3整除∴故选：A【点睛】本题主要考查递推数列，考查数列的周期性，考查合情推理，属于基础题7．在数列中，，则等于A． B． C． D．答案：D解析：D【解析】分析：已知逐一求解．详解：已知逐一求解．故选D点睛：对于含有的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律．8．在数列中，已知，，，则等于（）A． B． C．4 D．5答案：B解析：B【分析】根据已知递推条件即可求得【详解】由知：故选：B【点睛】本题考查了利用数列的递推关系求项，属于简单题9．已知数列满足，，则（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，结合等差数列的性质求出通项公式即可．【详解】解：，两边同时取倒数得，即，即数列是公差的等差数列，首项为．则，得，则，故选：【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，结合数列递推关系，利用取倒数法以及构造法构造等差数列是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力，属于基础题．10．数列的一个通项公式是（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】根据数列项的规律即可得到结论．【详解】因为数列3，7，11，的一个通项公式为，故数列，，，，的一个通项公式是，故选：C．【点睛】本题主要考查数列通项公式的求法，利用条件找到项的规律是解决本题的关键．11．数列的一个通项公式是（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式.【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为.故选：D【点睛】本小题主要考查根据数列的规律求通项公式，属于基础题.12．已知数列的前n项和为，则()A．10 B．8 C．6 D．4答案：D解析：D【分析】根据，代入即可得结果.【详解】.故选：D.【点睛】本题主要考查了由数列的前项和求数列中的项，属于基础题.13．已知数列，则该数列第项是（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】由观察可得项数为，注意到，第项是第个括号里的第项.【详解】由数列，可发现其项数为，则前个括号里共有项，前个括号里共有项，故原数列第项是第个括号里的第项，第个括号里的数列通项为，所以第个括号里的第项是.故选：C.【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.14．在数列中，，，设数列的前项和为，若对一切正整数恒成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．答案：D解析：D【分析】利用累加法求出数列的通项公式，并利用裂项相消法求出，求出的取值范围，进而可得出实数的取值范围.【详解】，且，由累加法可得，，，由于对一切正整数恒成立，，因此，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查数列不等式恒成立问题的求解，同时也考查了累加法求通项以及裂项求和法，考查计算能力，属于中等题.15．已知数列满足:，，设数列的前项和为，则（）A．1007 B．1008 C．1009.5 D．1010答案：D解析：D【分析】根据题设条件，可得数列是以3为周期的数列，且，从而求得的值，得到答案.【详解】由题意，数列满足:，，可得，可得数列是以3为周期的数列，且所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，其中解答中得出数列是以3为周期的数列，是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.二、数列多选题16．已知数列的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（）A． B．C． D．答案：BD【分析】根据选项求出数列的前项，逐一判断即可.【详解】解：因为数列的前4项为2，0，2，0，选项A：不符合题设；选项B：，符合题设；选项C：，不符合题设；选项D：，符合题设解析：BD【分析】根据选项求出数列的前项，逐一判断即可.【详解】解：因为数列的前4项为2，0，2，0，选项A：不符合题设；选项B：，符合题设；选项C：，不符合题设；选项D：，符合题设.故选：BD.【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.17．已知数列满足，，则下列各数是的项的有（）A． B． C． D．答案：BD【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．【详解】因为数列满足，，；；；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3；故选：．【点睛】本题主要解析：BD【分析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．【详解】因为数列满足，，；；；数列是周期为3的数列，且前3项为，，3；故选：．【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．18．已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（）A．数列的前n项和为 B．数列的通项公式为C．数列为递增数列 D．数列为递增数列答案：AD【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；解析：AD【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；所以，即A正确；当时所以，即B，C不正确；故选：AD【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.19．等差数列是递增数列，公差为，前项和为，满足，下列选项正确的是（）A． B．C．当时最小 D．时的最小值为答案：BD【分析】由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD选项的正误.【详解】由于等差数列是递增数列，则，A选项错误解析：BD【分析】由题意可知，由已知条件可得出，可判断出AB选项的正误，求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD选项的正误.【详解】由于等差数列是递增数列，则，A选项错误；，则，可得，B选项正确；，当或时，最小，C选项错误；令，可得，解得或.，所以，满足时的最小值为，D选项正确.故选：BD.20．已知递减的等差数列的前项和为，，则（）A． B．最大C． D．答案：ABD【分析】转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解.【详解】因为，所以，即，因为数列递减，所以，则，，故A正确；所以最大，故B正确；所以，故C错误解析：ABD【分析】转化条件为，进而可得，，再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解.【详解】因为，所以，即，因为数列递减，所以，则，，故A正确；所以最大，故B正确；所以，故C错误；所以，故D正确.故选：ABD.21．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前项和为，则下列4个命题中正确的有（）A．若，则，；B．若，则使的最大的n为15；C．若，，则中最大；D．若，则.答案：ABD【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差，所以，即，根据等差数列的性质可得，又，所以，，故A正解析：ABD【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于A：因为正数，公差不为0，且，所以公差，所以，即，根据等差数列的性质可得，又，所以，，故A正确；对于B：因为，则，所以，又，所以，所以，，所以使的最大的n为15，故B正确；对于C：因为，则，，则，即，所以则中最大，故C错误；对于D：因为，则，又，所以，即，故D正确，故选：ABD【点睛】解题的关键是先判断d的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.22．记为等差数列前项和，若且，则下列关于数列的描述正确的是（）A． B．数列中最大值的项是C．公差 D．数列也是等差数列答案：AB【分析】根据已知条件求得的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，等差数列中，即，.对于A选项，，所以A选项正确.对于C选项，，，所以，解析：AB【分析】根据已知条件求得的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】依题意，等差数列中，即，.对于A选项，，所以A选项正确.对于C选项，，，所以，所以C选项错误.对于B选项，，令得，由于是正整数，所以，所以数列中最大值的项是，所以B选项正确.对于D选项，由上述分析可知，时，，当时，，且.所以数列的前项递减，第项后面递增，不是等差数列，所以D选项错误.故选：AB【点睛】等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前项和的最值，可以令或来求解.23．（多选题）在数列中，若，（，，为常数），则称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A．若是等差数列，则是等方差数列B．是等方差数列C．若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正解析：BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正确；对于C选项，若是等方差数列，则存在常数，使得，则数列为等差数列，所以，则数列（，为常数）也是等方差数列，C选项中的结论正确；对于D选项，若数列为等差数列，设其公差为，则存在，使得，则，由于数列也为等方差数列，所以，存在实数，使得，则对任意的恒成立，则，得，此时，数列为常数列，D选项正确.故选BCD.【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.24．已知等差数列的前n项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是（）A． B．C．当且仅当时，取最大值 D．当时，n的最小值为22答案：AD【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由