（新教材）2026年人教版八年级下册数学 21.3.1 矩形 课件

（2026年新教材）人教版初中数学八年级下册教学课件2026年新版八年级下册数学（人教版）教材变化一、核心结构与章节调整内容重组：二次根式由九上移至八下；一次函数由八上移至八下；反比例函数移至九下；分式调整至八上。章题优化：“四边形”改为平行四边形，删去梯形内容，聚焦核心图形。栏目升级：每节新增引言；章引言与小结优化；新增溯源、图说数学史栏目，强化问题驱动与文化渗透。二、内容与表述优化二次根式：根号下含字母的化简与运算标注为选学；只要求理解加减乘除法则，会进行简单四则运算（根号下仅限数）。勾股定理：突出面积法证明；新增数学活动，用勾股定理证明“HL”判定；加强知识总结与实践应用。平行四边形：突出逻辑推理，部分结论从逆命题角度推导，减少实验操作；强化定义—性质—判定的研究路径。一次函数：强化“变化与对应”思想；情境贴近生活，新增多选题与探究题，分层更清晰。数据的分析：新增趋势分析，完善统计知识体系，例习题更新超60%，情境更真实。三、综合实践与活动升级新增2个综合与实践：《基于一次函数的最优化问题》《利用平行四边形性质设计图案》，强调建模与跨学科应用。数学活动更新：每章2个共10个，6个换新，突出探究与动手操作，如勾股定理的拓展证明。21.3特殊的平行四边形第二十一章四边形21.3.1矩形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2矩形的定义矩形的性质直角三角形斜边上的中线的性质矩形的判定知识点矩形的定义知1－讲1定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.图示符号语言如图，若四边形ABCD

是平行四边形，且∠ABC＝90°，∴

▱ABCD

是矩形也就是长方形知1－讲注意由矩形的定义知：矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的一种方法.知1－讲特别提醒矩形必须具备两个条件：1.它是一个平行四边形；2.它有一个角是直角，这两个条件缺一不可.知1－练例1如图21.3－1，在▱ABCD中，点E，F为BC边上的点，且BE＝CF，AF＝DE.求证：▱ABCD

是矩形.解题秘方：紧扣矩形定义的“两个条件”进行证明.知1－练证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴

AB＝CD，∠B＋∠C＝180°.∵

BE＝CF，∴

BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.又∵

AF＝DE，∴△ABF

≌△DCE(SSS).∴∠B＝∠C＝90°.∴

▱ABCD

是矩形.知1－练1－1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E

是AC的中点，O

是AB的中点，连接EO并延长至点F，使BF∥AC.四边形BCEF是矩形吗？请说明理由.知1－练解：四边形BCEF是矩形．理由如下：∵E是AC的中点，O是AB的中点，∴OE∥BC，即EF∥BC.又∵BF∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形．又∵∠C＝90°，∴▱BCEF是矩形．知2－讲知识点矩形的性质2矩形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自身独特的性质，如下表.类别性质符号语言图形角矩形的四个角都是直角∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°知2－讲续表类别性质符号语言图形对角线矩形的对角线相等∵四边形ABCD是矩形，∴

AC＝BD对称性矩形是轴对称图形，它每组对边中点连线所在的直线就是它的对称轴直线l1，l2是矩形ABCD的两条对

称轴OA＝OB＝OC＝OD两条对称轴互相垂直知2－讲特别解读1.矩形的任意一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形.2.矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，且相对的两个等腰三角形全等.知2－练如图21.3－2，在矩形ABCD

中，对角线AC，BD

相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝6.求：例2解题秘方：紧扣矩形的“角、对角线的性质”进行计算.当矩形两条对角线的一个夹角是60°或120°时，矩形中就会含有等边三角形和含30°角的直角三角形.知2－练(1)对角线的长；解：∵四边形ABCD

是矩形，∴

AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD.又∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°.∴△AOB是等边三角形.

∴

OA＝AB＝6.∴

BD＝AC＝2OA＝2×6＝12.知2－练(2)BC的长；(3)矩形ABCD的面积.

知2－练

D知2－练2－2.已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为_______cm2．48知2－练[月考·咸阳彬州市]如图21.3－3，已知AC，BD是矩形ABCD的对角线，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E.求证：BD＝BE.解题秘方：将线段AC作为“桥梁”，利用矩形对角线的性质和平行四边形的判定证明.例3知2－练证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AB∥CD.∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形.∴AC＝BE.∴BD＝BE.知2－练3－1.如图，在矩形ABCD中，点F在CB的延长线上，AF＝AC.求证：四边形AFBD是平行四边形.知2－练证明：∵四边形ABCD是矩形，点F在CB的延长线上，∴AD∥FB，AD＝BC，AB⊥FC.∵AF＝AC，∴FB＝BC.∴AD＝FB.∴四边形AFBD是平行四边形．知3－讲知识点直角三角形斜边上的中线的性质3性质数学语言主要应用图示直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明线段的倍分、相等关系知3－讲直角三角形斜边上的中线的性质说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是根据矩形的两条对角线相等且互相平分推导出来的.将矩形沿某条对角线剪掉一半，剩下的一半就是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的模型.知3－讲直角三角形斜边上的中线的性质2.该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判定一个三角形是直角三角形.知3－讲特别解读1.直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个面积相等的等腰三角形.2.此性质与“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”都是解决线段倍分关系的重要依据.知3－练[期中·杭州上城区]已知：如图21.3－4，在△ABC中，D是BC上的点，AD＝AB，E，F分别是AC，BD的中点，AC＝6.求EF的长.例4知3－练解题秘方：连接AF，构造直角三角形，为利用直角三角形斜边上的中线的性质创造条件.

知3－练

B知3－练如图21.3－5，BD，CE

是△ABC的两条高，M，N分别是BC，DE

的中点.求证：MN⊥DE.例5知3－练思路导引：知3－练

知3－练技巧：当两个直角三角形共斜边时，若已知斜边上的中点，则一般可作斜边上的中线构造等腰三角形解决问题.知3－练5－1.[期末·泰州兴化市]如图，△ABC中，AD是边BC上的

高，CF是边AB上的中线，DC＝BF，点E是CF的中点．求证：知3－练(1)DE⊥CF；证明：如图，连接DF.∵AD是边BC上的高，∴∠ADB＝90°.知3－练(2)∠B＝2∠BCF．证明：∵DC＝DF，∴∠DFC＝∠DCF.∴∠FDB＝∠DFC＋∠DCF＝2∠DCF.∵DF＝BF，∴∠FDB＝∠B.∴∠B＝2∠BCF.知4－讲知识点矩形的判定4判定方法符号语言图示角有一个角是直角的平行四边形(定义法)在▱ABCD

中，∵∠ABC＝90°，∴▱ABCD

是矩形有三个角是直角的四边形是矩形在四边形ABCD

中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD

是矩形知4－讲续表判定方法数学语言图示对角线对角线相等的平行四边形是矩形在▱ABCD中，∵

AC＝

BD，∴▱ABCD是矩形知4－讲注意判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定，然后根据已知条件选择判定方法知4－讲

知4－练[中考·连云港]如图21.3－6，点C是BE的中点，四边形ABCD

是平行四边形．例6知4－练思路导引：知4－练(1)求证：四边形ACED

是平行四边形；证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴

AD∥BC，且AD＝BC．∵点C

是BE

的中点，∴

BC＝CE.∴

AD＝CE.∵

AD∥CE，∴四边形ACED

是平行四边形.知4－练(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED

是矩形．证明：∵四边形ABCD

是平行四边形，∴

AB＝DC.∵

AB＝AE，∴

DC＝AE.∵四边形ACED

是平行四边形，∴四边形ACED

是矩形.知4－练6－1.如图，在△ABC中，点D，E

分别是AB，AC

的中点，连接ED

并延长至点F，使DF＝DE，连接AF，BF，BE．知4－练(1)求证：△ADE

≌△BDF；知4－练(2)若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE

是矩形．证明：∵AD＝BD，DF＝DE，∴四边形AFBE是平行四边形．∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE∥BC.∴∠DEB＝∠CBE.∵∠ABE＝∠CBE，∴∠DEB＝∠ABE.∴DB＝DE.∴AB＝EF.

∴平行四边形AFBE是矩形．知4－练如图21.3－7，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN

为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE

是矩形．例7知4－练思路导引:知4－练证明：在△ABC

中，∵

AB＝AC，AD是BC边的中线，∴

AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°.∵

AN

为△ABC

的外角∠CAM

的平分线，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°.∵

CE∥AD，∴∠AEC＝90°．∴四边形ADCE是矩形．知4－练7－1.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F

分别为垂足．知4－练(1)求证：△ABE

≌△CDF；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC.∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°.知4－练(2)求证：四边形AECF是矩形．证明：∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEC＝∠CFA＝90°.∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC.∴∠FAE＝180°－∠AEC＝90°.∴四边形AECF是矩形．矩形角的性质对称性性质矩形定义直角三角形斜边上的中线的性质判定对角线的关系对角线的性质角的关系方法利用折叠法解决矩形中的计算问题1如图21.3－8，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为点C′，BC′与AD

交于点E.若AD＝8cm，AB＝4cm，求△BDE

的面积.例8解题秘方：紧扣折叠的性质将要求的边与已知边都集中在同一个三角形中是解决问题的关键.解：如图21.3－8，设DE＝xcm，则AE＝(8－x)cm.由折叠的性质知△BCD≌△BC′D，则∠1＝∠2.

将已知量与未知量集中到同一个直角三角形中，利用勾股定理列方程求解方法总结解决矩形折叠问题的方法：1.利用折叠的性质：折叠前后的图形能够完全重合，折叠前后的图形对应边相等，对应角相等.2.此类问题往往通过图形间的折叠找出折叠部分与原图形中线段或角的关系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形中线段或角的关系.方法利用逆向思维法解决矩形中的条件探究题2如图21.3－9，在△ABC中，点O是AC边上一动点，点H是BC延长线上一点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠ACH的平分线于点F.例9解题秘方：紧扣结论的特性，运用逆向思维是解题的关键.(1)证明：EO＝FO；证明：∵

MN∥BC，∴∠CEO＝

∠ECB.∵

CE

是∠BCA

的平分线，∴∠ECO＝

∠ECB.∴∠CEO＝

∠ECO.∴

EO＝OC.同理可得FO＝OC，∴

EO＝FO.(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？简要说明

理由.解：当点O运动到AC

的中点时，四边形AECF

是矩形.理由：由(1)知OE＝OF.又∵

AO＝CO，∴四边形AECF

是平行四边形.∵

OE＝OC，∴

AC＝EF.∴四边形AECF

是矩形.思路求点O运动到何处时四边形AECF是矩形，可以先把矩形当作已知条件，求出O点与AC的位置关系，然后将这个位置关系作为需添加的条件，经过推理，证明四边形AECF是矩形.这种逆向思维的方法是条件探究题的一般解题思路.方法利用数形结合法解决矩形中的动点问题3如图21.3－10，在矩形ABCD

中，AB＝24cm，

BC＝10cm，点P从A开始沿AB边以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度运动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts.例10解题秘方：抓住点在运动过程中的一个瞬间(或一个确定的位置)，如本例(1)中求PQ的长时，可构造直角三角形，利用勾股定理求解；(2)中要使AQ与DP互相平分，只需保证四边形APQD是平行四边形即可.(1)当t＝2时，求P，Q两点之间的距离.解：如图21.3－10，连接PQ，过点P作PE⊥DC于点E，则DE＝AP，PE＝BC＝10cm.

(2)直接写出当t

为何值时，线段AQ与DP互相平分？解：故当t＝4时，线段AQ

与DP

互相平分.

方法技巧动点问题的解题策略：1.动中寻静，在“静”中探求“动”的规律,获得图形在运动的过程中具有的某种性质,抓住变化中不变的因素,进行求解；2.化动为静，抓住动的一个瞬间(或一个确定的位置)，从而找到“动”与“静”的关系；3.以静制动，当图形中点的位置变化导致线段间数量关系发生变化时，可寻找变量间的等量关系，建立函数模型或方程模型进行求解.详解：当线段AQ与DP互相平分时，四边形APQD为平行四边形，则AP＝DQ，即4t＝24－2t，解得t＝4.易错点因矩形的判定条件不足而出错下列说法正确的是()A.有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形B.一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形C.对角线互相垂直的平行四边形是矩形D.有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形例11答案：D错解：B正解：A是错误的，提供的条件甚至不能证明它是平行四边形；B中提供的条件对于直角梯形也成立，所以是错误的；对角线互相垂直的平行四边形不一定是矩形，所以C是错误的；由对角线互相平分可知，这个四边形是平行四边形，又有一个角是直角，根据矩形的定义可知其是矩形，所以D正确.诊误区：判定一个四边形是矩形分两种情况：一是在平行四边形的基础上判定矩形，只要证出有一个角是直角或对角线相等即可；二是在四边形的基础上判定矩形，此时可以直接证出三个角是直角或先证出四边形是平行四边形，再进一步证明其是矩形.此题易错选B，其提供的两个条件都是证明矩形所必需的，只不过条件不足.[中考·福建]某房梁如图21.3－11所示，立柱AD⊥BC，E，F分别是斜梁AB，AC的中点.若AB＝AC＝8m，则DE的长为_______m．考法利用直角三角形斜边上中线的性质计算1例124试题评析：本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

[中考·烟台]如图21.3－12，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题：考法利用矩形的性质求线段的长2例13试题评析：本题考查的是作轴对称图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，熟练作图是解本题的关键．(1)利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称(不写作法，保留作图痕迹)；解：如图21.3－12，△BED即为所求作的三角形.(2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F，AB＝1，BC＝2，求AF的长．解：如图21.3－12所示，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，AD∥BC，∠A＝90°.∴∠ADB＝∠CBD.∵∠EBD＝∠CBD，∴∠FBD＝∠FDB.∴FB＝FD.

[中考·内江]如图21.3－13，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．考法利用矩形的判定证明矩形3例14试题评析：本题考查了矩形的判定，证明△AEF

≌△DEC

是解题的关键．证明四边形是矩形时，通常先证明该四边形是平行四边形，再在平行四边形的基础上证有一个角是直角或对角线相等.(1)求证：FA＝BD；证明：∵

AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.又∵

E

是AD

的中点，∴

AE＝DE，∴△AEF≌△DEC(AAS).∴AF＝DC.又∵

D

是BC

的中点，∴

BD＝CD.∴

FA＝BD.(2)连接BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF

是矩形．证明：∵

AF＝BD，FA∥BD，∴四边形ADBF

是平行四边形.∵

AB＝AC，D

是BC

的中点，∴

AD

⊥

BC.∴∠ADB＝90°.∴四边形ADBF

是矩形．

考法矩形与折叠问题4例15

试题评析：本题考查矩形的性质与图形的折叠，解题关键是灵活运用折叠的性质和勾股定理表示出所求线段的长.解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠ABC＝90°，AD∥BC.∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD，∠FEM＝∠EMB.由翻折得∠CEF＝∠FEM，CE＝ME，∴∠EMB＝∠EBM.∴ME＝BE＝CE.∵AD∥BC，∴∠ADM＝∠EBM.

1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为(

)A．6B．5C．4D．3C2.[中考·成都]如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是(

)A．AB＝AD

B．AC

⊥

BDC．AC＝BD

D．∠ACB＝

∠ACDC3.如图，要使▱ABCD是矩形，需要增加的一个条件可以是()A.AB∥CD

B.AB＝BCC.∠ABC＝∠ADC

D.AC＝BDD

D

D6.在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．

如图，矩形ABCD

位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是()A．点A B．点BC．点C D．点DB7.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A

运

动，点M

从点B

同时出发，以相同的速度向点C

运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P

的运动时间为ts，下列结论正确的是(

)A．当t＝4时，四边形ABMP

为矩形B．

当t＝5时，四边形CDPM

为平行四边形C．当CD＝PM

时，t＝4D．当CD＝PM

时，t＝4或6D8.[中考·扬州]如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°，若AC＝4，BC＝8，则DF的长是_______．69.[中考·威海]将一张矩形纸片(四边形ABCD)按如图所示的方式对折，使点C落在AB上的点C′处，折痕为MN，点D

落在点D′处，C′D′交AD

于点E．

若BM＝3，BC′＝4，AC′＝3，则DN＝_______．10.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD

边上，连接OF．

若∠ADB＝38°，∠BOF＝30°，则∠AOF＝__________.46°或106°11.[中考·吉林]如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF．(1)求证：△ABE≌△DCF；(2)当AB＝12，DF＝13时，求BE的长．12.[中考·江