（新教材）2026年人教版八年级下册数学 21.3.3 正方形 课件

（2026年新教材）人教版初中数学八年级下册教学课件2026年新版八年级下册数学（人教版）教材变化一、核心结构与章节调整内容重组：二次根式由九上移至八下；一次函数由八上移至八下；反比例函数移至九下；分式调整至八上。章题优化：“四边形”改为平行四边形，删去梯形内容，聚焦核心图形。栏目升级：每节新增引言；章引言与小结优化；新增溯源、图说数学史栏目，强化问题驱动与文化渗透。二、内容与表述优化二次根式：根号下含字母的化简与运算标注为选学；只要求理解加减乘除法则，会进行简单四则运算（根号下仅限数）。勾股定理：突出面积法证明；新增数学活动，用勾股定理证明“HL”判定；加强知识总结与实践应用。平行四边形：突出逻辑推理，部分结论从逆命题角度推导，减少实验操作；强化定义—性质—判定的研究路径。一次函数：强化“变化与对应”思想；情境贴近生活，新增多选题与探究题，分层更清晰。数据的分析：新增趋势分析，完善统计知识体系，例习题更新超60%，情境更真实。三、综合实践与活动升级新增2个综合与实践：《基于一次函数的最优化问题》《利用平行四边形性质设计图案》，强调建模与跨学科应用。数学活动更新：每章2个共10个，6个换新，突出探究与动手操作，如勾股定理的拓展证明。21.3特殊的平行四边形第二十一章四边形21.3.3正方形逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2正方形的定义正方形的性质正方形的判定知识点正方形的定义知1－讲11.正方形的定义定义数学语言图示有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形在▱ABCD中，若AB＝BC(或AB＝AD或BC＝CD或AD＝CD)且∠A＝90°(或∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°)则▱ABCD是正方形知1－讲2.四边形定义间的关系知1－讲特别解读1.正方形必备的三个条件：(1)四边形是平行四边形；(2)有一个角是直角；(3)有一组邻边相等.三者缺一不可.2.正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形、特殊的菱形.知1－练例1如图21.3－29，已知在矩形ABCD中，∠BAD和∠ADC的平分线交于BC边上一点E．点F为矩形外一点，四边形AEDF

为平行四边形.求证：四边形AEDF

是正方形.解题秘方：紧扣“正方形必备的三个条件”进行判定.知1－练

知1－练1－1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC

的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：四边形CEDF

是正方形．知1－练证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠DFC＝∠DEC＝90°.又∠ACB＝90°，∴DF∥BC，DE∥AC.∴四边形CEDF是平行四边形．∴▱CEDF是正方形．知2－讲知识点正方形的性质21.正方形的性质性质数学语言图示边对边平行，四条边都相等∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝BC＝CD＝AD角四个角都是直角∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°知2－讲续表性质数学语言图示对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角∵

四边形ABCD

是正方形，∴

AC⊥BD，OA＝OB＝OC＝OD

，∠CAD＝∠CAB＝∠ABD＝∠CBD＝∠ACB＝∠ACD＝∠BDC＝∠ADB＝45°知2－讲续表性质数学语言图示对称性正方形是轴对称图形，有四条对称轴直线AC，BD，m，n均是正方形ABCD

的对称轴知2－讲特别解读正方形的特殊性质：1.正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形.2.正方形的面积＝边长的平方＝对角线长乘积的一半.3.周长相等的四边形中，正方形的面积最大.知2－讲2.平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质对比类型平行四边形矩形菱形正方形边共性对边平行且相等特性四条边都相等角共性对角相等且邻角互补特性四个角都是直角四个角都是直角知2－讲续表类型平行四边形矩形菱形正方形对角线共性对角线互相平分特性对角线相等对角线互相垂直对角线相等且互相垂直对称性共性轴对称图形特性2条对称轴2条对称轴4条对称轴知2－讲知识归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的四边形，它们之间的关系如图21.3－30所示.知2－练如图21.3－31，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC

延长线上一点，连接BE，EF，DF，CE＝CF.例2解题秘方：利用正方形的四条边相等，四个角都是直角解题.知2－练证明：∵四边形ABCD

是正方形，∴

BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°.又∵

CE＝CF，∴△BCE

≌△DCF(SAS).(1)求证：△BCE

≌△DCF；知2－练解：∵△BCE

≌△DCF，∠BEC＝60°，∴∠DFC＝60°.∵

CE＝CF，∠ECF＝90°，∴∠CFE＝45°.∴∠EFD＝∠DFC－∠CFE＝60°－45°＝15°.(2)若∠BEC＝60°，求∠EFD

的度数.知2－练2－1.如图，在正方形ABCD

中，点M，N

分别在AB，BC上，且BM＝CN，AN

与DM

相交于点P．知2－练(1)求证：△ABN

≌△DAM；证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC，∠DAM＝∠ABN＝90°.∵BM＝CN，∴BC－CN＝AB－BM，即BN＝AM.∴△ABN≌△DAM(SAS)．知2－练(2)求∠APM

的大小．解：由(1)知△ABN≌△DAM，∴∠MAP＝∠ADM.∴∠MAP＋∠AMP＝∠ADM＋∠AMP＝90°.∴∠APM＝180°－(∠MAP＋∠AMP)＝90°.知3－讲知识点正方形的判定31.正方形的判定方法(1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形；(2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；知3－讲(3)从矩形出发：①

有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；(4)从菱形出发：①

有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形.知3－讲2.四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系知3－讲

知3－讲

知3－练如图21.3－32，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CFDE

是正方形.解题秘方：证明一个四边形是正方形，一般先证明它是矩形或菱形，再从边、角、对角线的角度出发寻找条件进行证明.例3知3－练证明：

如图21.3－32，过点D作DG⊥AB于点G.∵

DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠CED＝∠CFD＝90°.又∠C＝90°，∴四边形CFDE

是矩形.∵

∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，DE⊥BC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴

DF＝DG，DE＝DG.

∴

DF＝DE.又四边形CFDE是矩形，∴四边形CFDE

是正方形.知3－练3－1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F

在对角线BD

上，且BE＝DF，OE＝OA．

求证：四边形AECF

是正方形．知3－练证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD.∵BE＝DF，∴OE＝OF.

∴四边形AECF是菱形．∵OE＝OA，∴OE＝OF＝OA＝OC，即EF＝AC.∴四边形AECF是正方形．正方形正方形性质判定特殊的矩形一组邻边相等对角线互相垂直特殊的菱形一个角是直角对角线相等题型利用正方形的性质求角的度数1如图21.3－33，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，BD

与CE

相交于点F，连接AF.求∠AFD

的度数.例4思路导引：

方法在求角度的问题中，如果已知条件中没有明确给出任何角的度数，那么可通过下面几种常见的平面图形找到隐含的角度：正方形、等边三角形、等腰直角三角形等.题型利用正方形的性质解决线段问题2如图21.3－34，正方形ABCD

的边长为1cm，AC

为对角线，AE

平分∠BAC，EF⊥AC.求BE

的长.例5类型1求线段的长解题秘方：紧扣正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理求解.解：∵四边形ABCD为正方形，∴

∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1.∵

EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴∠FEC＝45°.∴∠ECF＝∠FEC.∴

EF＝FC.∵

AE

平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE

≌△AFE(AAS).

方法利用正方形的性质求线段长时要把握两个关键点：一是正方形的对角线将正方形分成的三角形都是等腰直角三角形；二是灵活地运用三角形全等和勾股定理.如图21.3－35①，在正方形ABCD中，E，F

分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.例6类型2证明线段相等(1)求证：AF＝BE.思路导引：证明：在正方形ABCD

中，AB＝AD，∠BAE＝∠D＝90°，∴

∠DAF＋∠BAF＝90°.∵

AF⊥BE，∴∠ABE＋∠BAF＝90°.∴

∠ABE＝∠DAF.∴

△ABE

≌△DAF(ASA).∴

AF＝BE.(2)如图21.3－35②，在正方形ABCD

中，M，N，P，Q

分别是边AB，BC，CD，DA

上的点，且MP⊥NQ，MP与NQ是否相等？请说明理由.思路导引：解：MP与NQ相等.理由如下：如图21.3－35②，过点A作AG∥MP交CD于点G，过点B

作BH∥NQ交AD于点H.∵

在正方形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴

四边形AMPG

与四边形BNQH

都是平行四边形.∴

AG＝MP，BH＝NQ.在正方形ABCD

中，AB＝AD，∠BAD＝∠D＝90°，∴∠DAG＋

∠BAG＝90°.易得AG⊥BH，∴∠ABH＋

∠BAG＝90°.

∴∠ABH＝∠DAG.∴

△ABH

≌△DAG(ASA).∴

AG＝BH.∴

MP＝NQ.方法在正方形中，证明两条线段相等的关键方法是证明两条线段所在的三角形全等.题型利用正方形的性质解决周长与面积问题3如图21.3－36，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别在边AD，CD

上，若∠EBF＝45°，则△EDF

的周长等于________.例7类型1解决周长问题4思路带引：解：如图21.3－36，延长FC到G，使CG＝AE，连接BG.∵四边形ABCD

是正方形，∴

AB＝CB，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°.∴∠BCG＝90°＝∠A.∴△ABE

≌△CBG.∴∠ABE＝∠CBG，BE＝BG.∴∠CBG＋

∠EBC＝∠ABE＋∠EBC.∴∠EBG＝∠ABC＝90°.∵∠EBF＝45°，∴∠GBF＝45°＝∠EBF.又

BF＝BF，∴△BEF

≌△BGF.∴

EF＝FG＝FC＋CG＝FC＋AE.∴△EDF的周长为DE＋DF＋EF＝DE＋DF＋FC＋AE＝

AD＋CD＝4.将三角形的三边长进行转化，利用等量代换进行求解.解法提醒在正方形中出现以正方形的一边或其中一部分为直角边的直角三角形，我们经常通过延长或是旋转作辅助线，目的是通过证明三角形全等，得到需要的边、角关系.如图21.3－37，正方形ABCD的对角线交于点O，O

是正方形EFGO的一个顶点，正方形ABCD和正方形EFGO的边长分别为2cm和2.5cm，两个正方形重叠部分的面积是________.例8类型2解决面积问题1cm2

题型利用正方形的性质解决线段的最值问题4如图21.3－38，边长为4的正方形ABCD，P是对角线BD上一动点，点E在边CD上，EC＝1，则PC＋PE

的最小值是________.例95特别解读将军饮马模型的两个特点：(1)两定点在定线的同侧；(2)定线上找点到两定点的距离和最小.一个关键：作定点关于定线的对称点，确定和最小时动点的位置.思路导引：解：如图21.3－38，连接AP，AE，AE

与BD

交于点P′.∵四边形ABCD

是正方形，∴点A，C

关于直线BD

对称.∴

PC＝PA.∴

PC＋PE＝PA＋PE≥AE.∴当点P与点P′重合时，AE的长即为PC＋PE

的最小值.利用勾股定理求得AE＝5.

易错点解答与正方形有关的动点问题时找不出规律而出错如图21.3－39，正方形ABCD的周长是4a，四边形EFGH的四个顶点E，F，G，H分别在AB，BC，

CD，DA上滑动，在滑动的过程中，始终有EH∥BD∥FG，且EH＝FG，那么四边形EFGH

的周长是否可求？若能求，求出它的周长；若不能求，请说明理由.例10错解：四边形EFGH

的周长不可求.理由：由EH∥FG，EH＝FG

可知四边形EFGH

是平行四边形，但HG，EH

的长未知，因此无法求出四边形EFGH

的周长.正解：四边形EFGH的周长可求.∵

EH∥BD∥FG，且EH＝FG，∴四边形EFGH

是平行四边形，∠AEH＝∠ABD，∠AHE＝∠ADB.∵四边形ABCD

是正方形，∴∠A＝∠ADC＝90°，AD＝CD，∠ABD＝∠ADB＝45°.∴

∠AEH＝∠AHE＝45°.∴

AE＝AH.同理，CF＝CG.

诊误区：因为正方形的四个角都是直角，所以在一些图形中常常出现求周长或面积的题目.虽然本题中HG，EH的长是不确定的，但是从图中可以发现四边形EFGH与正方形ABCD之间有某种特殊的关系，只要找出这种特殊的关系，就可以求出四边形EFGH的周长.[中考·浙江]【问题背景】如图21.3－40，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上．考法利用正方形的性质解证明和计算问题1例11试题评析：本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．【数学理解】(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程；证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD.又BE＝BE，∴△ABE≌CBE(SAS).(2)若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°.∵DE＝DA，∴∠DAE＝∠DEA.∵∠DAE＋∠DEA＋∠ADE＝180°，∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°.∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°.

考法正方形中的折叠问题2例12试题评析：本题考查了正方形与折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，正确作出辅助线，利用勾股定理列方程求得GB的长是解题的关键．解：如图21.3－41，连接GE.∵四边形ABCD是正方形，边长为2，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝DA＝2.∵点E是BC边的中点，∴BE＝CE＝1.∵将△DCE沿直线DE翻折得△DFE，∴∠EFD＝∠C＝90°，CE＝FE＝BE＝1，DC＝DF＝2.∴∠GFE＝GBE＝90°.∵GE＝GE，∴Rt△EFG≌Rt△EBG.(HL)∴GF＝GB.设GB＝GF＝x，则AG＝2－x，DG＝2＋x.

答案：A1.[中考·成都]下列命题中，假命题是()A.矩形的对角线相等B.菱形的对角线互相垂直C.正方形的对角线相等且互相垂直D.平行四边形的对角线相等D

B

B

B5.在菱形ABCD中，对角线AC，BD

相交于点O，请添加一个条件：________，使得菱形ABCD为正方形．AC＝BD(答案不唯一)6.[中考·枣庄]如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD

相交于点O，E

为BC

上一点，CE＝7，F为DE的中点，若△CEF

的周长为32，则OF的长为________.7.七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．某同学用边长为4dm的正方形纸板制作了一副七巧板(如图)，