重庆市渝东九校联盟2025-2026学年高二上学期期中联合性诊断测试数学试题含答案

渝东九校联盟高2027届(高二上)期中联合性诊断测试

数学试题

考试时间：120分钟总分：150分预测难度系数：0.43

命审题学校：梁平一中涪陵高中长寿一中命审题人：温学靖刘小波陈艳勤

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡

上。2.请将答案正确填写在答题卡上。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线√3x+y+1=0的倾斜角为()

A.B.C.D.

2.已知直线l₁:(m+2)x+(m-1)y-5=0与l₂:(m-1)x+3y-2=0垂直，则实数

m的值为()

A.-5B.1或-5C.1D.-1或5

3.关于空间向量，下列四个结论正确的是()

A.共线的单位向量都相等B.不相等的两个空间向量的模必不相等

C.相反向量指方向相反的两个向量D.任意两个空间向量一定共面

4.若双曲线C:的离心率为√3,则C的渐近线方程为()

A.√2x±y=0B.x±√2y=0C.√3x±y=0D.x±√3y=0

5.圆(x-1)²+(y-1)²=2关于直线x-y+2=0对称的圆的方程为()

A.(x-1)²+(y-3)²=2B.(x+1)²+(y+3)²=2

C.(x-1)²+(y+3)²=2D.(x+1)²+(y-3)²=2

6.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，

AB=AD=1,AA₁=2,∠ADC=∠ADD₁=120°,

∠CDD₁=60°,则|AC₁|=()

试卷第1页，共4页

A.1B.3C.√11D.√7

7.已知点M(-3,0),点P是圆N:x²-6x+y²-55=0上一动点，线段MP的垂直平

分线交NP于点Q,则动点Q的轨迹方程为()

A.B.C.D

8.公元前4世纪，古希腊数学家梅内克缪斯(Menaechmus)为了解决倍立方问题而

发现了圆锥曲线.他用垂直于母线的平面去截取顶角(圆锥底面圆的一条直径的两

个端点与顶点连线所形成的等腰三角形的顶角)分别是锐角、直角、钝角的三种圆

锥，得到三种曲线，梅内克缪斯分别称之为锐角、直角和钝角圆锥曲线，今称椭圆、

抛物线和双曲线.如图，四面体P-ABC中，AP、AB、AC两两垂直，AP|=|AC|,

AM=MC=CN,点O为底面ABC内的一个动点.

(1)若∠OPM=∠APM,则点O的轨迹是椭圆的一部分；

(2)若∠OPC=∠APC,则点O的轨迹是抛物线的一部分；

(3)若∠OPN=∠APN,则点O的轨迹是双曲线的一部分.

以上几个命题中，真命题的个数为()

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知直线1:x-y+2=0,则下列说法正确的是()

A.点P(2,4)在直线1上B.I在y轴上的截距为-2

C.1与坐标轴围成的三角形的面积为2D.直线1到2x-2y+1=0的距离为

10.圆O₁:x²+y²=1和圆O₂:x²+y²+2x-2y=0的交点为A,B,则下列说法正

确的是()

A.公共弦AB所在的直线方程为2x-2y+1=0

试卷第2页，共4页

B.线段AB中垂线方程为x+y=0

C.公共弦AB的长为.

D.P为圆O₁上一动点，则P到直线AB距离的最大值为

11.如图，在正三棱柱ABC-AB₁C中，AB=2√2,BB₁=2,点P为正三棱柱表面上异

于点B的点，则()

A.存在点P,使得PB₁⊥BC₁

B.直线PB₁与平面BB₁C₁C所成的最大角为45°

C.若P,A,B₁,C₁不共面，则四面体PAB₁C的体积的最大值为

D.若PB₁=2√2,则点P的轨迹的长为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.椭圆的长轴长为

13.已知正方体ABCD-A₁B₁CD的棱长为3,M是A₁D的三等分点(靠近D点),

则AB·CM=.

14.双曲线(的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F,A,点P

为双曲线C左支上一点，若△APF周长的最小值为4b,则双曲线C的离心率为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.已知两点A(-4,7),B(6,-5)和直线1:6x+5y=0的方程.

(1)判断直线AB与直线l的位置关系；

(2)求线段AB的垂直平分线的方程.

16.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，

PA⊥底面ABCD,且PA=2,M是棱PD的中点，以A为坐标原

点，建立如图所示的空间直角坐标系.

(1)证明：直线AM⊥平面PCD;

(2)求直线BM与平面PCB所成角的正弦值.

试卷第3页，共4页

17.已知直线I:x+y+5=0,该直线与圆C:x²+y²+4x-2y+a=0(a∈R)交于A,B两点，

且|AB|=2.

(1)求a的值；

(2)直线n:(m+1)x+(m+2)y-3m-5=0,

(i)证明直线n过定点，并求出该定点P的坐标；

(ii)求过点P且与圆C相切的直线方程.

18.如图1,在△ABC中，AC⊥BC,AC=BC=2,M,N分别是BA,BC边上的

动点(不同于端点),且MN//AC,将△BMN沿MN折起到△PMN的位置，得到四

棱锥P-ACNM,如图2所示，点Ω是线段AC的中点.

图1图2

(1)求证：MN⊥PC;

(2)若PN=2NC,当四棱锥P-ACNM的体积取得最大值时，求平面PMC与平面PMQ

的夹角的余弦值；

(3)若AM⊥PQ,求直线PM与平面ACM所成角的正弦值的取值范围.

19.已知椭圆C:1的离心率,左、右焦点分别为F,F₂,双曲线

x²-y²=1的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知圆的切线1与椭圆相交于A,B两点，那么以AB为直径的

圆是否通过定点?若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

试卷第4页，共4页

渝东九校联盟高2027届(高二上)期中联合性诊断测试

数学参考答案及评分标准

题号12345678910

答案CBDADCBDACABD

题号11

答案ACD

12.413.-914.√5

参考答案：

8.D

【分析】根据梅内克缪斯理论，求出圆锥顶角θ为锐角，直角还是钝角，进而判断轨迹类型

即可.

【详解】对于(1),∵AP、AB、AC两两垂直，AB∩AC=A,AB,ACc平面ABC,

∴PA⊥平面ABC,

∵∠OPM=∠APM,∴O点在以PM为轴的圆锥面上，

|AP=|AC,AM=MC=CN,

设圆锥顶角为θ,

所以顶角θ为锐角，即点O的轨迹是椭圆的一部分，故(1)正确；

对于(2),当∠OPC=∠APC时，O点在以PC为轴的圆锥面上，

∵|AP=|AC,tan∠APC=1,故。

此时圆锥顶角为直角，

所以O的轨迹是抛物线的一部分，故(2)正确；

对于(3),当∠OPN=∠APN时，O点在以PN为轴的圆锥面上，

∵AP=|AC,AM=MC=CN,

所以顶角θ为钝角，即点O的轨迹是双曲线的一部分，故(3)正确；

综上，真命题的个3.

故选：D.

11.ACD

【详解】对于A选项，当点P为BC中点时，

PB₁⊥BC₁,故A正确；

对于B选项，当点P位于点A时，∠A₁B₁C₁=60°为直线PB₁与平面BB₁C₁C所成角，故B错

误；

对于C选项，当点P位于点A₁(或棱BC上)时，点P到平面AB₁C的距离最远，

此时四面体PAB₁C的体积最大，以点A₁为例，此时

,故C正确；对于D

选项，若PB₁=2√2,如图，

在棱BC上取点D,使BD=1,在棱AB上取点E使BE=1,

在棱A₁C₁上取中点H,则B₁H=√6,r=√(2√2)²-(√6)²=√2,

则点P的轨迹由圆弧A₁E,C₁D,DE,A₁C构成，且其所在圆的半径依次为A₁B₁=2√2,

B₁C₁=2√2,BD=2,HC₁=√2,圆心角依次为45°,45°,60°,180°,

圆弧A₁E,C₁D,DE,A₁C₁的长分别,故点P的轨迹的长为

故D正确；

故选：ACD.

14.√5

【分析】由题意求得A,F的坐标，设出F',运用双曲线的定义可得P|F|=|PF|+2a,则

△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA+|PF'|+2a+|AF|,运用三点共线取得最小值，可得

b=2a,由a,b,c的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值.

【详解】由题意可得A(0,b),F(c,0),设F'(-c,0),

由双曲线的定义可得|PF|-|PF'|=2a,

|PF|=|PF'|+2a,

|AF=AF'|=√b²+c²,

则△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF'|+2a+|AF'|≥2|AF'|+2a,

当且仅当A,P,F'共线，取得最小值，且为2a+2√b²+c²,

由题意可得4b=2a+2√b²+c²,即b=2a,c=√a²+b²=√sa,

则

故答案为：√5.

15.解：(1(2分)

故直线AB的方程为：,即6x+5y+11=0(4分，不求出直线方

程只利用斜率相等且说明A/B两点不在1上也同样给分)

故直线AB与直线l平行；(6分)

(2)线段AB中点坐标为(1,1)(8分)

易求得AB中垂线斜率(10分)

故中垂线方程为

,即5x-6y+1=0(13分)

16.(1)由题A(0,0,0),M(1,0,1),P(0,0,2),C(2,2,0),D(2,0,0),B(0,2,0)

∴

AM=(1,0,1),PC=(2,2,-2),PD=(2,0,-2)(2分)

设平面PCD法向量n₁=(x,y,z),

,令x=1,则y=0,z=1,:.n₁=(1,0,1)

(4分)

∴AMI/n,故直线AM⊥平面PCD(7分)(不用空间向量，利用传统证明方式证明

同样给分)

(2)由题BM=(1,-2,1),PB=(0,2,-2)(9分)

设BM与平面PCB夹角为θ,设平面PBC方向量n₂=(x,y,z)

,令y=1,则x=0,z=1,.n₂=(0,1,1)

(12分)

故BM与平面PCB夹角正弦值为·

(15分)

17.(1)C:x²+y²+4x-2y+a=0(a∈R)的标准方程为C:(x+2)²+(y-1)²=5-a(a∈R),

故圆心为(-2,1),(1分)

,故|AB|=2√²-(2√2)²=2

∴r=3,(4分)

∴5-a=r²=9,故a=-4,(5分)

(2)直线方程可化为m(x+y-3)+x+2y-5=0(6分)

(8分)

∴直线过定点P(1,2)(9分，考虑到学生实际情况，求解的过程可认为是证明的过

程)

(3)C:(x+2)²+(y-1)²=9,

由于P(1,2)在圆外，故当切线斜率不存在时，方程为x=1,满足题意，(10分)

当切线斜率存在时，设其方程为：y=k(x-1)+2,

,解得

故方程为,(13分)

综上所述切线方程为：或x=1(15分)(只要答题卡上有两条直线就可以

给满分，如果没有x=1这条直线扣2分)

18.(1)在△ABC中，AC⊥BC,MN//AC,所以MN⊥BC,

所以在四棱锥P-ACNM中，MN⊥PN,MN⊥NC,

又PNoNC=N,PN,NCc平面PNC,所以MN⊥平面PNC,

又PCc平面PNC,所以MN⊥PC.(4分)

(2)当四棱锥P-ACNM的体积取得最大值时，平面PMN⊥平面ACNM.

又平面PMN∩平面ACNM=MN,MN⊥PN,PNc平面PMN,

所以PN⊥平面ACNM,

故以N为坐标原点，NM,NC,NP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐

标系，

如图所示，

则N(0,0,0),所以!

,

设平面PMC的一个法向量为m₁=(x₁,y,z),

,令z₁=1,解得x₁=1,y₁=2,

所以平面PMC的一个法向量m₁=(1,2,1).(6分)

设平面PMQ的一个法向量为m₂=(x₂,y₂,z₂),

所

令y₂=1,解得x₂=z₂=2,所以平面PMQ的一个法向量m₂=(2,1,2).(8分)

设平面PMC与平面PMQ的夹角为θ,

即平面PMC与平面PMQ的夹角的余弦值为.(10分)

(3)以C为坐标原点，直线CA和CN分别为x,V轴，过C作平面ACNM的垂线为z

轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，设P(0,s,u)(u>0),N(0,t,0)(0<t<2),Q(-1,0,0),

A(-2,0,0),M(t-2,t,0),

AM=(t,t,0),PQ=(-1,-s,-u),

又AM⊥PQ,所以AM·PQ=-t-st=0,解得s=-1,(12分)

则P(0,-1,u),则PM=(t-2,t+1,