《等腰三角形的综合运用(第二课时)》教案

《等腰三角形的综合运用（第二课时）》教案教学目标教学目标：学习运用等腰三角形性质和判定来证明线段相等，以及结合线段垂直平分线和全等三角形等知识进行线段相等的证明,培养学生识图，几何推理分析和探究的综合能力.教学重点：结合全等，线段垂直平分线的等腰三角形性质和判定的综合使用教学难点：知识的综合运用及根据图形特征添加合适辅助线教学过程时间教学环节主要师生活动23分钟教学过程教学过程教学过程教学过程教学过程同学们，上节课我们学习了等腰三角形的综合运用第一课时，利用等腰（边）三角形的性质和判定来判断三角形形状和计算三角形边长及角度；今天我们将继续学习等腰三角形的综合运用，利用等腰（边）三角形的判定和性质来证明几何图形中线段相等问题.请看例题例如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,∠BAD=∠CBE.求证:AB=AC.教师提问：首先我们观察题目中有哪些边角条件？教师提示：根据AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E，我们可以推出∠ADC=∠BEC=90°，∠BAD=∠CBE，在图形上进行标注.教师提问：我们再来看看问题，如何证明AB=AC？教师提示：我们发现AB和AC均在同一个三角形△ABC内.教师提问：如何证明这两条线段相等呢？教师提示：根据等腰三角形的判定方法“等角对等边”，我们只需要证明∠ABC=∠C即可，在图形上进行标注.教师追问：请认真观察，利用已知条件，如何来证明这两角相等呢？教师提示：我们发现∠ABC和∠C恰好分别是∠BAD和∠CBE的余角，根据“等角的余角相等”，我们便可得出∠ABC=∠C.证明：∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADC=∠BEC=90°.∴∠ABD+∠BAD=90°，∠C+∠CBE=90°.∵∠BAD=∠CBE，∴∠ABD=∠C.∴AB=AC.【题后反思】当要证明的两条线段在同一个三角形内时，一般我们先证明这两条线段所对的角相等，然后根据等腰三角形的判定方法“等角对等边”，即可证明这两条线段相等.2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,ME垂直平分AB点E,交BC于点M，NF垂直平分线AC于点F,交BC于点N.求证:BM=MN=CN.AB=AC∠AB=AC∠A=120°∠B=∠B=∠C=30°∠∠BAM=30°∠NAC=30°ME垂直平分线ME垂直平分线AB,NF垂直平分线ACBM=AM,CN=AN∠∠AMN=∠ANM∠MAN=60°BM=MN=CNAM=MN=BM=MN=CNAM=MN=AN△AMN为等边三角形教师提问：首先我们观察题目中有哪些边角条件？教师提出：AB=AC,∠A=120°，根据“等边对等角”，可以推出∠B=∠C=30°；教师提问：ME垂直平分线AB,NF垂直平分线AC，你能得出什么结论？教师提出：根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等”，可以推出BM=AM,CN=AN,连接MA和NA.再根据“等边对等角”推出∠BAM=30°，∠NAC=30°.我们来看下问题，要证明BM=MN=CN，那么我们只需证明AM=MN=AN,也即是证明△AMN为等边三角形.教师提问：如何证明△AMN为等边三角形呢？教师提示：我们只能从角度出发来证明，根据三角形外角性质，可以推出∠AMN=∠ANM=60°,然后根据三角形内角和定理，很容易推出∠MAN=60°,故△AMN为等边三角形.下面我们来写一下具体证明过程.证明：∵在△ABC中,AB=AC,∠A=120°∴∠B=∠C=30°∵ME垂直平分AB，NF垂直平分AC∴BM=AM,CN=AN∴∠B=∠BAM=30°，∠C=∠NAC=30°∴∠AMN=∠B+∠BAM=60°，∠ANM=∠C+∠NAC=60°∴∠MAN=180°-∠AMN-∠ANM=60°∴△AMN为等边三角形∴AM=MN=AN∵BM=AM,CN=AN∴BM=MN=CN【题后反思】一般地，当题目中出现垂直平分线时，我们会经常使用垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等”，来证明线段的相等，或结合等腰（边）三角形边角关系进行线段转化，来证明目标线段相等.如图，点D,E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE教师提问：首先我们观察题目中有哪些边角条件？教师提示：边条件AB=AC，AD=AE，可以推出角条件∠B=∠C,∠ADE=∠AED教师提问：如何来证明BD=CE？教师提示：我们发现BD和CE不在一个三角形内，题目中也没有出现垂直平分线，看来需要采取新的方法来解决.教师提问：BD和CE分别在△ABD和△ACE中，我们能否通过证明这两个三角形全等来证明这两条线段相等呢？教师提示：我们来尝试寻找两三角形全等的条件！首先已经有两组对应边相等，还需寻找两边夹角对应相等，也即是需要证明∠BAD=∠CAE教师提问：如何证明∠BAD=∠CAE?教师提示：∠BAD=∠ADE-∠B，∠CAE=∠AED-∠C，所以∠BAD=∠CAE，好，下面我们来一起写下证明过程.证明：∵AB=AC，AD=AE∴∠B=∠C,∠ADE=∠AED∵∠BAD=∠ADE-∠B，∠CAE=∠AED-∠C∴∠BAD=∠CAE在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△ABD≌△ACE(SAS)∴BD=CE同学们，这道题还有其他证明方法吗？如果过点A做AO⊥BC于点O，你有思路了吗？根据等腰三角形三线合一，我们可以推出BO=CO,DO=EO,所以BO-DO=CO-EO，即BD=CE【题后反思】利用全等三角形是证明线段相等的一个很好方法，往往我们结合等腰三角形的边角关系来使用.边角关系等腰三角形构造全等三角形线段相等边角关系等腰三角形构造全等三角形线段相等2分钟课堂小结本节课主要学习了几何图形中证明线段相等的几种常见方法：(1)利用等腰三角形的判定和性质证明线段相等；(2)利用垂直平分线的判定和性质证明线段相等；(3)利用全等三角形的判定和性质证明线段相等.以后还会学习更多的方法证明线段相等，经常我们会需要综合以上多种方法使用，希望同学们认真理解和灵活运用这些知识和方法，提高自己的思维和分析探究问题的能力.作业已知：如图，AC和BD相交于点O,AB//CD，OA=OB,求证：OC=OD2.如图，在等边三角形△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OB和OC的垂直平分线和分别交BC于点E和F,连接OE,OF.求证:AB=3EF3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB，∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC于点E和F，求证：△ABD是等边三角形；求证：BE=AF知能演练提升一、能力提升1.小明用含有30°角的两个完全相同的三角尺拼成的图案如图所示.若连接BD,则图中等腰三角形的个数是()A.2 B.3C.4 D.52.如图,在△ABC中,AB=3,∠BAC=100°,∠B=40°,点D在BC的延长线上,且∠D=20°,则CD的长是.

3.如图,上午8时,一船从A处出发以20海里/时的速度向正北方向航行,上午11时,到达B处,从A,B望灯塔C分别测得∠NAC=44°,∠NBC=88°,求从B处到灯塔C的距离.4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥BA于点D,AE平分∠BAC交CD于点F,交BC于点E,你能证明△CEF是等腰三角形吗?5.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上的一点,∠B=30°,∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度数;(2)求证:DC=AB.6.如图,已知O是△ABC的∠ABC,∠ACB的平分线的交点,OD∥AB交BC于点D,OE∥AC交BC于点E.若BC=10cm,求△ODE的周长.7.如图,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.求证:BF=2AE.8.如图,在△ABC中,AB=AC,在AB上取一点E,在AC延长线上取一点F,使BE=CF,EF交BC于点G.求证:EG=FG.二、创新应用★9.如图,在△ABC中,D,E分别是AC,AB上的点,BD,CE交于点O,给出下列四个条件:①∠EBO=∠DCO;②∠BEO=∠CDO;③BE=CD;④OB=OC.(1)上述四个条件中,哪两个条件可以判断△ABC是等腰三角形?(用序号写出所有情形)(2)选择(1)中的一种情形,证明△ABC是等腰三角形.

知能演练·提升一、能力提升1.A2.33.解∵∠C=∠CBN-∠A=88°-44°=44°,∴∠C=∠A.∴BC=BA=20×(11-8)=60(海里).故从B处到灯塔C的距离是60海里.4.解能.证明:∵CD⊥BA,∴∠AFD+∠DAF=90°.∵∠ACB=90°,∴∠CEF+∠EAC=90°.∵AE平分∠BAC,∴∠DAF=∠EAC.∴∠CEF=∠AFD=∠CFE.∴CF=CE.∴△CEF是等腰三角形.5.(1)解∵AB=AC,∴∠B=∠C=30°.∵∠C+∠BAC+∠B=180°,∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.∵∠DAB=45°,∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.(2)证明∵∠DAB=45°,∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°,∴∠ADC=∠DAC,∴DC=AC.∴DC=AB.6.解∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠DBO.又OD∥AB,∴∠ABO=∠DOB,∴∠DBO=∠DOB,∴OD=BD.同理OE=CE.∵BC=10cm,∴△ODE的周长为OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=10(cm).7.证明∵AD⊥BC,∠BAD=45°,∴△ABD是等腰直角三角形,∴AD=BD.∵BE⊥AC,AD⊥BC,∴∠CAD+∠ACD=90°.∠CBE+∠ACD=90°,∴∠CAD=∠CBE.在△ADC和△BDF中,∠∴△ADC≌△BDF(ASA),∴BF=AC.∵AB=BC,BE⊥AC,∴AC=2AE,∴BF=2AE.8.证明如图,过E作EM∥AC,交BC于点M.∵EM∥AC,∴∠EMB=∠ACB,∠MEG=∠F.∵AB=AC,∴∠B=