第13章 勾股定理期末复习（知识清单）（原卷版）-华东师大版(2024)八上

第13章勾股定理13.1勾股定理及其逆定理1.直角三角形三边的关系勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则勾股定理可以表示为a²+b²=c²。2.直角三角形的判定根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形。3.反证法反证法是一种证明论题的方法，先提出和论题中的结论相反的假定，然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原来的假定而肯定了该论题。13.2勾股定理的应用勾股定理在数学、物理学、工程学等领域有着广泛的应用。例如，在建筑设计中，勾股定理可以帮助工程师计算出斜面的长度；在物理学中，它可以用来计算抛体运动的轨迹；在日常生活中，我们可以用它来估算物体的距离或高度。此外，勾股定理在数学竞赛和考试中也是一个重要的考点。具体应用场景包括：1.城市规划：用于计算城市道路的布局，确保建筑高度和街道宽度之间的合理关系。2.航空航天：用于飞行路径的计算，优化飞行效率。3.体育领域：如篮球投篮角度、田径比赛中的起跳角度和距离的计算等。4.日常生活：如装修房屋时计算天花板到地面的距离，或测量家具的尺寸是否合适等。5.工程测量：在土木工程、建筑工程等领域，勾股定理可用于测量和计算建筑物的高度、深度、宽度等关键尺寸，确保工程精度。6.图形设计：在二维和三维图形设计中，设计师可以利用勾股定理来计算图形的比例、角度和边长，确保设计的一致性和准确性。7.编程和算法：在计算机科学中，勾股定理可用于开发图形渲染算法、物理模拟算法等，提高程序的效率和准确性。8.电子工程：在电路设计和信号处理中，勾股定理可用于计算信号的幅度、相位和频率等关键参数。9.统计分析：在数据分析中，勾股定理可用于计算数据的距离、相似度和聚类等，为数据分析和挖掘提供有力支持。10.教育领域：勾股定理是中学数学教育中的重要内容，通过学习勾股定理，学生可以培养逻辑思维能力、空间想象能力和问题解决能力。一、忽略勾股定理的使用条件勾股定理仅适用于直角三角形，对于非直角三角形，不能直接应用勾股定理。例如，已知三角形的三边长度，若未明确三角形为直角三角形，则不能直接使用勾股定理求解。二、不能正确区分直角边与斜边在直角三角形中，斜边是直角三角形中最长的边，与直角相对。在解题时，若题目未明确哪条边为斜边，需要分情况讨论。例如，已知直角三角形的两边长度，需要判断这两边哪条为直角边，哪条可能为斜边，从而正确应用勾股定理。三、考虑不全面，造成漏解在解决勾股定理相关问题时，需要考虑所有可能的情况，避免漏解。例如，在求解直角三角形的第三边长度时，若已知两边长度，需要分别考虑这两边为直角边和其中一边为斜边的情况，从而得到所有可能的解。四、思维定式导致的错误在解决勾股定理相关问题时，要避免思维定式的影响。例如，已知直角三角形的两边长度，不要直接认为这两边就是勾股数中的两个数，从而得出错误的第三边长度。需要根据勾股定理的公式，正确计算第三边的长度。题型01勾股数问题1.下列各组数中，是勾股数的是（）A．1，， B．1，2，3 C．5，12，13 D．10，15，202.在下列各组数中，是勾股数的是（

）A．1，2，3 B．2，3，4 C．6，8，10 D．4，5，63.满足的三个正整数，，称为一组勾股数，如3，4，5，就是一组勾股数．请你再写出一组勾股数．4.下列三组数中：①0.6，0.8，1；②5，12，13；③4，5，6．其中是勾股数的是．（填序号）5.满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现：勾股数组…股与弦的和：92549…股…弦…通过观察分析，回答下列问题：(1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145）(2)猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）；(3)请证明（2）中的猜想．题型02直角三角形的条件1.下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（

）4，3，2；，，2；3，4，5；0.5，1.2，1.3．A．1组 B．2组 C．3组 D．4组2.在中，三边长分别为下列选项中，能保证三角形是直角三角形的是（

）A． B．C． D．3.在中，，，，有下列条件：①；②；③；④；⑤．其中可以判定为直角三角形的有个．4.已知，，是一个三角形的三条边，且满足，请判断这个三角形的形状是．5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．(1)填空：，，；(2)判断以，，三条线段为边能否构成直角三角形？请说明理由．题型03勾股定理与无理数1.如图，点在数轴上表示的数为，过点作数轴的垂线段，且，以原点为圆心，为半径作弧，交数轴于点，则点表示的数是（

）

A． B． C． D．2.如图，正方形边长为1，分别在轴和轴上，以为圆心，正方形对角线长为半径画弧，与轴负半轴交于点，则点横坐标为（

）A． B． C． D．3.如图，，根据图中所标识的数据可知数轴上点所表示的数是．4.如图，数轴的原点为，点在数轴上表示的数是2，，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数是．5.【课本再现】（1）如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，得到一个大正方形．①拼的新的大正方形的面积为______．小正方形的对角线长为______；②如图2，把图1中其中一个小正方形放置到数轴上，以1为圆心，对角线长为半径画弧，与数轴交于点，，则点，表示的数分别为______，______．【知识迁移】（2）小张同学把长为5，宽为1的长方形按图3所示的方式进行裁剪，并拼成一个大正方形．①大正方形的边长为______；②请在下图的数轴中画出表示的点（保留作图痕迹）．题型04网格中的直角三角形1.如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（

）A． B． C． D．2.如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，均在网格的格点上，下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．3.如图，点A，B，C，D均在正方形网格格点上，则．4.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，，，三点均在正方形格点上．（1）的大小为；（2）若，则的长为．5.图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上．(1)在图①中，是面积最大的等腰三角形；(2)在图②中，是面积最大的直角三角形；(3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形．题型05反证法1.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先应该假设（

）A．三角形中每个内角都大于 B．三角形中至少有一个内角大于C．三角形中每个内角都大于或等于 D．三角形中每一个内角都小于或等于2.用反证法证明命题“在中，如果，那么”时，应假设（

）A． B． C． D．3.用反证法证明某一命题的结论“是直角”时，应假设．4.用反证法证明“在四边形中，至少有一个内角不小于”时，应假设．5.用反证法证明“”，求证：必为负数．证明：假设不是负数，那么是__________或是__________．①如果是零，那么，这与题设矛盾，所以不可能是零；②如果是__________，那么，这与__________矛盾，所以不可能是__________．综合①和②，知不可能是__________，也不可能是__________，所以必为负数．题型06赵爽弦图1.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（

）A．8 B．13 C．15 D．15．52.如图①是第14届数学教育大会会标，中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图②所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长为25，的长为7，则小正方形的边长为（

）A．15 B．16 C．17 D．183.如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边()，下列四个说法：①；②;③；④．其中说法正确的结论有．(填序号)4.有一个大正方形，是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是．5.出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“另出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积．【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为．（1）由此得到等式；【探索研究】（2）数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为a、b，斜边长为c，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为c的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边a、b、c的等式，整理后发现，．请说明此等式成立；【推广应用】数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边a、b斜边c都存着的等量关系，利用此发现，解决下面问题：（3）如图3，是直角三角形，，大于，将绕点A顺时针旋转得（点B的对应点为D，点C的对应点为E），连接，若，，，，的面积为50，求的面积．题型07勾股定理的证明1.“赵爽弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽创制的，他通过对几何图形的巧妙割补，使得图形的面积保持不变，简洁明了地证明了勾股定理，其中体现的数学思想主要是（

）A．转化思想 B．分类讨论思想 C．数形结合思想 D．类比思想2.在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（

）A．甲 B．乙C．甲，乙都可以 D．甲，乙都不可以3.将边长分别为的两个直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的直角梯形．试用两种方法计算这个图形的面积，并写出一个关于的恒等式：．4.我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为．5.勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、复数证明、面积证明等．当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明．(1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中，求证：证明：连结，过点作边上的高于点，则．，又______________________，______________________．(2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中，求证：．题型08勾股定理的应用1.把5长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4，则梯子顶端到地面的距离（

）A．2 B．3 C．4 D．52.一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔海里的处，它沿北偏东方向航行海里到达处，此时与灯塔的距离为（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里3.如图，是一个长方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着长方体的外表面到达B处吃食物，则蚂蚁爬行的最短距离是．4.《九章算术》第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，其中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺．问折者高几何？”译文：“一根竹子，原高1丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远．则折断后的竹子的高度为多少尺？（备注：1丈尺）”如图，设折断后的竹子的高度为x尺，则．

5.【问题情境】（1）如图1，一架竹梯斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离．如果梯子的顶端A下滑到点C，求梯子的底端B在水平方向上滑动的距离；【探究迁移】（2）如图2，调整梯子顶端A离地面的高度，当底端B在水平方向上滑动的距离与顶端A下滑的距离相等时，求梯子滑动前、后与地面的夹角与之间的数量关系；【拓展应用】（3）如图3，在中，，点E在边上，点F在边的延长线上，连接交于点O，分别以点A，F为圆心，以，的长为半径画弧，两弧相交于点D，连接，，．①求证：四边形是矩形；②若，，，求的度数．题型09勾股定理的最值1.如图，中，，，，利用尺规在、上分别截取，，使；分别以D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．点P为上一动点，则的最小值为（

）A．1 B． C． D．无法确定2.如图，在腰长为6的等腰中，，，点D是内一点，连接，且，E是的中点，连接，，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．6 D．3.如图，等腰中，，，点D是底边BC的中点，以A、C为圆心，大于的长度为半径分别画圆弧相交于两点E，F，若直线上有一个动点P，则线段的最小值为．4.如图，在中，，，，为上一动点（不与点，点重合），将绕点顺时针旋转60°得到，连接，以为直角顶点，为直角边，在上方构造等腰直角三角形，为的中点，连接，，则的最小值是．5.【综合与探究】【问题背景】在中，、、三边的长分别为，，，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，根据，，，画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处，且网格图的每个小正方形的边形为1），如图1所示．这种求面积的方法叫做构图法．【问题解决】（1）借用网格计算出如图1所示的的面积为____________．【思维拓展】（2）猜想：与的大小关系，并运用构图法证明你的结论，请在图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的．【探索创新】（3）如果在平面上有任意