永春一中2025年11月高二年期中考数学科试卷

永春一中2025年11月高二年期中考数学科试卷（2025.11）考试时间长度：120分钟，总分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知，则（

）A．11 B． C．45 D．32．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（

）A． B． C． D．3．若直线与直线平行，则（

）A．0 B．或0 C． D．或14．若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则5.已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件6．若两定点，，点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（

）A． B． C． D．7．已知椭圆，直线l过坐标原点并交椭圆于两点（P在第一象限），点A是x轴正半轴上一点，其横坐标是点P横坐标的2倍，直线交椭圆于点B，若直线恰好是以为直径的圆的切线，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．8．如图，已知在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点（不含端点），若线段上存在点（不含端点），使得异面直线与成的角，则线段长度的取值范围是（

）

A． B． C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9．下列说法正确的是（

）A．“直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件B．直线的倾斜角的取值范围是C．若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是D．过点且在轴，轴上的截距互为相反数的直线方程是10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，直线与椭圆交于、两点，且，是椭圆上与、不重合的点.下列说法正确的是（

）A．若（其中），则椭圆的离心率B．若，则的最大值为C．若，，则D．若，直线、的斜率之积为，则11．在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（

）A．当平面时，不可能垂直B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为C．当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为D．当时，的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是．13．2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为．14．如图，已知圆是椭圆的内接的内切圆，其中是椭圆的左顶点，则；过点引圆的两条切线，交椭圆于两点，则的面积为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．(13分)已知圆过点，且圆心在直线上.(1)求圆的方程；(2)若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程.16．(15分)已知动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数.(1)求动点的轨迹；(2)过且斜率为1的直线交动点的轨迹于，两点，求.17．(15分)如图，三棱锥中，是边长为的正三角形，，底面于点，，且.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.18．(17分)已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆上有两点关于原点对称，动点与两点的连线分别交椭圆于点，满足，.(1)求椭圆的方程；(2)求动点的轨迹方程；(3)过点作椭圆的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？19．(17分)空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中均为常数，），为该平面的一个法向量.已知球的半径为4，点均在球的球面上，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆（为线段的中点）.(1)求点的坐标.(2)若平面，证明