高考总复习优化设计二轮用书数学X 规范练5

规范练5(分值:43分)学生用书P2331.(13分)(2024·辽宁葫芦岛一模)为了培养具有创新潜质的学生,某高校决定选拔优秀的中学生参加人工智能冬令营.选拔考试分为“Python编程语言”和“数据结构算法”两个科目,考生两个科目考试的顺序自选,若第一科考试不合格,则淘汰;若第一科考试合格,则进行第二科考试,无论第二科是否合格,考试都结束.“Python编程语言”考试合格得4分,否则得0分;“数据结构算法”考试合格得6分,否则得0分.已知甲同学参加“Python编程语言”考试合格的概率为0.8,参加“数据结构算法”考试合格的概率为0.7.(1)若甲同学先进行“Python编程语言”考试,记X为甲同学的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,甲同学应选择先回答哪类问题?并说明理由.解(1)由题意X的所有可能取值为0,4,10,所以P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=4)=0.8×(1-0.7)=0.24,P(X=10)=0.8×0.7=0.56,所以X的分布列为X0410P0.20.240.56(2)甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题,理由如下:由(1)可知E(X)=0×0.2+4×0.24+10×0.56=6.56.甲同学先进行“数据结构算法”考试,记Y为甲同学的累计得分,则Y的所有可能取值为0,6,10,P(Y=0)=1-0.7=0.3,P(Y=6)=0.7×(1-0.8)=0.14,P(Y=10)=0.7×0.8=0.56,所以Y的分布列为Y0610P0.30.140.56E(Y)=0×0.3+6×0.14+10×0.56=6.44,所以E(X)>E(Y),所以甲同学选择先回答“Python编程语言”考试这类问题.2.(15分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+2=2an.(1)求a2及数列{an}的通项公式;(2)在an与an+1之间插入n个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列,求数列1dn的前n项和Tn.解(1)由题意,当n=1时,S1+2=a1+2=2a1,解得a1=2.当n=2时,S2+2=2a2,即a1+a2+2=2a2,解得a2=4.当n≥2时,由Sn+2=2an,可得Sn-1+2=2an-1,两式相减,得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,综上,数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,故an=2·2n-1=2n,n∈N*.(2)由(1)可得,an=2n,an+1=2n+1,在an与an+1之间插入n(n∈N*)个数,使得这(n+2)个数依次组成公差为d的等差数列,则有an+1-an=(n+1)dn,∴dn=an+1-ann+1=2nn+1,∴1dn12Tn=2×(12)2+3×(12)3+…+n·(12)n+(n+1)·(12)n+1,两式相减,可得12Tn=221+122+123+…+12n3.(15分)已知在多面体ABCDEF中,AD∥BC∥EF,且AD=CD=DE=4,BC=EF=2,∠BCD=∠FED=π3(1)证明:AD⊥BF;(2)若BF=26,求直线CD与平面ABF所成角的正弦值.(1)证明连接BD,DF.在△BCD中,DC=4,BC=2,∠BCD=π3则BD2=BC2+DC2-2BC·DC·cosπ3=12,可得∠DBC=π2,即BD⊥同时AD∥BC,可得BD⊥AD,同理可得DF⊥AD.因为BD⊥AD,DF⊥AD,且BD⊂平面BDF,DF⊂平面BDF,BD∩DF=D,所以AD⊥平面BDF.又因为BF⊂平面BDF,所以AD⊥BF.(2)解在△BDF中,易得BD=FD=23,且BF=26,所以BD⊥FD,同时BD⊥AD,DF⊥AD,以DA所在直线为x轴,以DB所在直线为y轴,以DF所在直线为z轴,如图所示,建立空间直角坐标系D-xyz.其中A(4,0,0),B(0,23,0),F(0,0,23),C(-2,23,0),AF=(-4,0,23),A