浙江省金华市第一中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题（含答案）

第第页浙江省金华市第一中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．空间直角坐标系中，点B是点A3， 4， 5A．5 B．25 C．34 D．412．椭圆C：x216+y29=1的左焦点为FA．3 B．4 C．6 D．83．等比数列{an}的前n项和为Sn，若A．−8 B．8 C．1或−8 D．−1或84．攒（cuán）尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁或园林式建筑．下图是一顶圆形攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥轴的截面）是底边长为6，顶角为2πA．33π B．63π C．5．已知圆C：x2+y2=2，点A(m,m−3)A．1 B．2 C．22 D．6．直线y=12x+t与曲线y=x相切，且与圆A．15 B．55 C．3 7．在数列an中，an+1an=1+A．9 B．10 C．11 D．128．已知F1，F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点，点A是C的左顶点，O为坐标原点，以OFA．2 B．2 C．3 D．3二、多项题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．已知点M椭圆C:4x2+9y2A．椭圆C的长轴长是9B．椭圆C焦距是2C．存在M使得∠D．三角形MF110．等差数列an的前n项和为Sn，a1A．数列an是递减数列 B．C．S9是Sn中最小项 11．如图，正方体ABCD−A1B1CA．直线DB1与平面AEF垂直 B．直线A1C．三棱锥D−AEF的体积为23 D．点D到平面AEF的距离为12．已知抛物线C:y2=4x，点M(−2,0)，P(2,0)，过点P的直线l交抛物线C与A,B两点，设A(A．y1y2=−8 C．1AP+1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．直线x+y+2=0的倾斜角的是．14．已知函数fx=sin2x−x15．九连环是我国古代流传至今的一种益智游戏，它由九个铁丝圆环相连成串，按一定规则移动圆环，移动圆环的次数决定解开圆环的个数.在某种玩法中，推广到m连环，用an表示解下nn≤m个圆环所需的最少移动次数，若数列an满足：a1=1，且16．已知在平面直角坐标系xOy中，A(−3,0),B(3,0)，动点P满足PAPB=2，则P点的轨迹Γ为圆，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且AC=CD四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列an中，a1（1）求证：数列an2n（2）数列an前n项和为Sn，求18．如图，直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=AA（1）求异面直线AB（2）求二面角B119．已知椭圆C:x2a2+（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l的倾斜角为锐角，l与圆x2+y2=12相切，与椭圆C交于A、B20．如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD为矩形，AD=4，AB=2，AC∩BD=O，SO⊥平面ABCD，SO=3，BF（1）求直线EF与平面SCD所成角的正弦值；（2）在直线SC上是否存在点M，使得平面MEF⊥平面SCD？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由．21．已知数列an的前n项和为Sn，且（1）证明：数列an−1是等比数列，并求数列（2）若bn=an+(−1)nlog3an22．已知双曲线Γ:x2a2−y（1）求Γ的方程；（2）如图，过原点O作互相垂直的直线l1，l2分别交双曲线于A，B两点和C，D两点，A，D在①求四边形ACBD面积的取值范围；②设直线AD与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线AD使M，N为线段AD的三等分点，若存在，求出直线AD的方程；若不存在，请说明理由．

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：由点B是点A3，4， 5则OB=故答案为：A.【分析】由射影的定义求出点B坐标，再利用向量求模公式得出OB⃗2．【答案】D【解析】【解答】解：令椭圆C的右焦点F'，依题意，线段P1P2与FF因此|P2F|=|P1F'所以|P故答案为：D.【分析】令椭圆C的右焦点F'，由已知条件和平行四边形的定义，从而判断出四边形P1F3．【答案】C【解析】【解答】解：设等比数列{an}因为S3=3a即q2+q−2=0，解得q=1或所以a6a3故答案为：C.【分析】根据已知条件和等比数列的前n项和公式以及等比数列通项公式，从而建立公比的方程，解方程得出公比的值，再根据等比数列的性质得出a64．【答案】B【解析】【解答】解：轴截面如图，其中AB=6，∠ACB=2π3，

所以所以AC=AOcosπ6=3×23=2故答案为：B.【分析】由轴截面三角形和已知条件，从而可得圆锥底面半径，由余弦函数的定义得出母线长，再根据圆锥的侧面积公式得出该屋顶的面积.5．【答案】C【解析】【解答】解：由圆C：x2+y2=2，

得出圆C所以|=2所以，点A到圆C上点的最小距离为32故答案为：C.【分析】利用圆的标准方程得出圆C的圆心坐标和半径长，结合两点距离公式和二次函数的图象求最值的方法，从而求出|AC|的最小值，再结合圆外一点到圆上点的距离最小值的方法，进而得出点A到圆6．【答案】B【解析】【解答】设直线y=12x+t在曲线y=则f'(x0)将(1，1)代入直线所以直线方程为y=12x+又x−2y+1=0与圆x2则r=|故答案为：B

【分析】设切点为(x7．【答案】B【解析】【解答】解：由an+1an所以a2所以an−a所以an=n(n−1)2+1(n≥2)，

又因为a由an=46，解得故答案为：B.【分析】根据题意和递推公式变形，可得an+1−a8．【答案】B【解析】【解答】由圆的性质可知，F2P⊥OP，OM⊥PM，所以|因为|OA|又因为PO平分∠APM，所以∠APM=2∠PAO，由∠APM+∠PAO=90°，得∠PAO=30°，所以∠POM=2∠PAO=60°，即b所以e=故答案为：B

【分析】由圆的性质得出|F2P|=b，|OP|=a，再由PO平分9．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：因为4x所以a2对于A：因为a=3，所以长轴为2a=6，所以A错误；对于B：因为c=5，所以焦距为2c=2对于C：当M取到上顶点时此时∠F此时MF1=M所以cos∠F1MF所以存在M使得∠F对于D：当M取到上顶点时此时三角形MF此时S=1故答案为：BCD.【分析】将椭圆方程化为标准方程，从而得出a，b的值，再由椭圆长轴长定义，从而判断出选项A；利用椭圆中a，b，c三者的关系式得出c的值，从而得出椭圆的焦距，则判断出选项B；当M取到上顶点时此时∠F1MF2取到最大值，再结合焦距的定义，从而得出此时MF1，MF2，F110．【答案】B,C【解析】【解答】解：设等差数列{an}由S6=S解得a1=−9d，因为a1对于A：由d>0，得等差数列{a对于B：因为a10对于C：因为Sn又因为d>0，当n=9或n=10时，Sn取到最小值，即S9为对于D：因为S2=2a由d>0，得S2故答案为：BC.【分析】根据已知条件和等差数列的前n项求和公式可得a1=−9d，d>0，再结合公差的正负和函数的单调性，从而判断出数列的单调性，则判断出选项A；利用等差数列的通项公式判断出选项B；利用等差数列前n项和公式和d>0，n>0，再结合二次函数的图象的对称性和开口方向，则得出11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：如图所示，以D点为坐标原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，则D(0,0,0),B对于A，DB设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AE又因为DB1=(2,2,2)与n=(2,1,2)不平行，故直线对于B，因为A1G=(0,2,−1)所以A1G⃑⋅n故直线A1G与平面对于C，因为VD−AEF对于D，因为DA=(2,0,0)，平面AEF的法向量为n故点D到平面AEF的距离为d=|故答案为：BCD.【分析】利用已知条件，建立空间直角坐标系，从而求出相关各点坐标和向量的坐标，再结合两向量垂直数量积为0的等价关系，再利用数量积的坐标表示求出平面AEF的法向量，再根据DB1=(2,2,2)与n=(2,1,2)不平行，故直线DB1与平面AEF不垂直，则判断出选项A；利用A1G=(0,2,−1)和平面AEF的法向量以及两向量垂直数量积为0的等价关系，所以直线A12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：设直线l的方程为x=my+2，由x=my+2y2=4x，消去x因为直线l交抛物线C与A,B两点，设A(x1,所以y1+y因为|AB|=4mAP=(同理，可得BP=1+m2|=|因为k==2m(−8故答案为：ABD.【分析】设直线l的方程为x=my+2，再将直线方程与抛物线方程联立，则消去x，得出y2−4my−8=0，设A(x13．【答案】3【解析】【解答】设直线x+y+2=0的倾斜角为α，

因为直线x+y+2=0的斜率−1，即tanα=−1，

因为α∈[0，π)，所以α=故答案为：3π【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.14．【答案】−3【解析】【解答】解：由于f'x=2cos2x−f'所以fx=sin2x−x，则f'故答案为：−3.【分析】利用导数的运算法则得出函数fx=sin2x−xf15．【答案】2【解析】【解答】解：因为当n为偶数时，

则当n≥4时，an=2an−1−1=22an−2+2−1=4an−2+3，即an+1=4an−2+1，故答案为：2n−1【分析】根据数列的通项公式得到递推公式，即an=4an−2+3，再由递推公式变形和等比数列的定义，则判断出数列a16．【答案】x−52+【解析】【解答】解：设Px,y，则x+32+即(x−5)2因为AC=CD，故点C为AD的中点，

过圆心5,0作AD的垂线，垂足为

则M为CD的中点，则AM=32CD，

解得CD=2故答案为：(x−5)2+y【分析】设Px,y，再根据PAPB=217．【答案】（1）证明：因为an+1=2a∴{an2n}∴an2n（2）解：因为Sn所以2Sn∴−Sn∴S【解析】【分析】（1）利用已知条件和递推关系变形，结合等差数列的定义证出数列{an2（2）利用已知条件和错位相减法，从而可求出Sn（1）因为an+1=2∴{an2n}∴an2（2）Sn2Sn=∴−Sn∴S18．【答案】（1）解：以{AB,AC

则A(0,0,0),B(1,0,0),B1AB所以cos<所以，直线AB1，（2）解：设m=(x,y,z)为平面B1则m⋅令x=1,同理AD=(则n⋅可取平面ADC1的一个法向量为则cos<由图可知二面角B1所以二面角B1−AD−C【解析】【分析】(1)利用已知条件，建立空间直角坐标系，从而求出相关各点的坐标，则求出AB1,(2)利用已知条件和两向量垂直数量积为0的等价关系，利用数量积的坐标表示求出平面B1AD和平面ADC1的一个法向量，再结合数量积求向量夹角公式和二面角（1）以{AB,AC则A(0,0,0),B(1,0,0),BAB所以cos<所以直线AB1，（2）设m=(x,y,z)为平面B1AD则m⋅令x=1,同理AD=(则n⋅可取平面ADC1的一个法向量为则cos<由图可知二面角B1所以二面角B1−AD−C19．【答案】（1）解：∵椭圆C:x2a2+则a=21a2+所以，椭圆C的方程为：x2​​​（2）解：设直线l的方程为：y=kx+m(k>0)，∵l与圆x2∴m设点A(x1,∴（则Δ>0∵S∴AB∴1+∴1+又因为2m2=1+k2，∴5k4−4故m2所以，直线l的方程为：y=x±1.【解析】【分析】(1)将点M、N的坐标代入椭圆方程，从而建立a，b的方程组，再解方程组得出a，b的值，从而得出椭圆C的方程.(2)设直线l的方程为：y=kx+m(k>0)，A(x1,y1)，B(x（1）∵椭圆C:x2a2+则a=21a∴（2）设l的方程为：y=kx+m(k>0)∵l与圆x2∴设点A(x1∴（则Δ>0∵S∴AB∴1+∴1+又2m2∴k2=1，∵k>0故m2∴l20．【答案】（1）解：​​​​​​分别取AB，BC中点M，N，则OM⊥ON，又因为SO⊥平面ABCD，则SO,OM,ON以{OM,ON则A(2,−1,0),D(−2,−1,0)，S(0,0,所以EF=(0,设平面SCD的一个法向量为m=(x,y,z)则m⃑⋅SC令x=则cos<∵<m所以，直线EF与平面SBC所成角的正弦值为77（2）解：假设存在点M，使得平面MEF⊥平面SCD，设SM=λSC设平面MEF的一个法向量n=(x,y,z)则n令y=1，则z=3∵平面MEF⊥平面SCD，∴m∴λ=0，∴存在点M,使得平面【解析】【分析】（1）分别取AB，BC中点M，N，易证SO,OM,ON两两互相垂直，以{OM（2）假设存在点M，使得平面MEF⊥平面SCD，利用向量共线的坐标表示和三角形法则以及向量加法的运算法则，从而表示出EM⃑，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求得平面MEF的一个法向量，结合面面垂直得出线线垂直，再根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出直线SC上存在点M，使得平面MEF⊥（1）解：分别取AB，BC中点M，N，则OM⊥ON，又SO⊥平面ABCD，则SO,OM,ON以{OM,ON则A(2,−1,0),D(−2,−1,0)所以EF=(0,设平面SCD的一个法向量为m=(x,y,z)则m⋅SC令则cos<∵<m直线EF与平面SBC所成角的正弦值为77（2）假设存在点M，使得平面MEF⊥平面SCD，设SM则EM设平面MEF的一个法向量n=(x,y,z)则n令y=1，则z=3∵平面MEF⊥平面SCD，∴m∴λ=0，∴存在点M,使得平面21．【答案】（1）证明：因为Sn−n3当n=1时，a1=S当n≥2时，Sn−1由①-②得an=3则an−1=3a所以数列an则an−1=3（2）解：因为an=3所以，数列an的前2n项和为：2n+所以，数列(−1)nn−1的前2n项和为：=−0+1∴T所以，数列T2n单调递增，

T6所以，使得T2n>2024最小正整数【解析】【分析】（1）利用已知条件和Sn与an的关系式，从而得出an=3a（2）利用（1）中数列an的通项公式得出数列bn的通项公式，结合分组求和可得T2n，再判断出数列T2n的单调性，则由数列的单调性得出满足（1）因为Sn−n3当n=1时，a1=S当n≥2时，Sn−1①-②得an=3则an−1=3a所以数列an则an−1=3（2）an=3an的前2n项和(−1)nn−1的前2n=∴T2n单调递增且T6所以使得T2n>2024最小正整数22．【答案】（1）解：​​由题意得ba=3，则b=3a①，

将点P3，6故Γ的方程为x2（2）解：①由已知可知直线l1，l2的斜率均存在且不为0，

设A(x1,y1),B(x2'y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，

再设l1的方程为y=kx，则l2的方程为y=−1kx，

联立y=kxx2−y23=1，消y整理得3−k2x2−3=0，

因为直线l1与双曲线Γ交于两点，故3−k2≠0且Δ=123−k2>0，则k2<3

则x1+x2=0,x1x2=−33−k2，

则AB=1+k2x1+x2−4x1x2=231+k23−k2，

联立y=−1kxx2−y23=1，消y整理得3k2−1x2−3k2=0，

因为直线l2与双曲线Γ交于两点，

故3k