17.2 用公式法分解因式 课件 2025-2026学年人教版数学八年级上册

完全平方公式分解因式学习目标1.理解完全平方公式的特点．2.能较熟练地运用完全平方公式分解因式．3.能综合运用提公因式、完全平方公式分解因式这两种方法进行求值和证明．感悟新知

我们把a²+2ab+b²和a²–2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征？

a2+2ab+b2

a2–2ab+b2观察这两个多项式：(1)每个多项式有几项？(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？三项.这两项都是数或式的平方，并且符号相同.是第一项和第三项底数的积的±2倍.感悟新知把整式乘法的完全平方公式（a+b）2=a2＋2ab＋b2，（a-b）2=a2－2ab＋b2的等号两边互换，我们能得到什么呢？a2＋2ab＋b2=（a+b）2a2－2ab＋b2=（a-b）2.

两个数的平方和，加上(或减去)这两数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方针对训练1.下列各式是不是完全平方式？如果是，请分解因式.(1)a2–4a+4;(2)1+4a²;(3)4b2+4b–1;(4)a2+ab+b2;(5)x2+x+0.25.是，(a-2)2只有两项；不是4b²与–1的符号不统一；不是不是是，(x+0.5)2ab不是a与b的积的2倍.典例解析例1分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2(3)(a+b)2-12(a+b)+36.解：

(1)16x2+24x+9=(4x+3)2；=(4x)2+2·4x·3+32(2)–x2+4xy–4y2

=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.(3)(a+b)2-12(a+b)+36.

=(a+b)2+2∙(a+b)∙(-6)+(-6)2=[(a+b)–6]2=(a+b-6)2针对训练2.把下列各式分解因式.(1)-m2-4+4m;(2)4x2-20x+25; (3)4a2+4ab+b2;(4)(x-1)2+6(1-x)+9;(5)(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2.解:原式=-(m-2)2.解:原式=(2x-5)2.解:原式=(2a+b)2.解:原式=(x-4)2.解:原式=4y2.典例解析例2如果x2–6x+N是一个完全平方式，那么N是(

)A.11B.9C.–11D.–9B3.如果x2–mx+16是一个完全平方式，那么m的值为___.针对训练±8针对训练4.已知x,y为实数,求下列式子的最小值:2x2+4xy+5y2-4x+2y+13.解:原式=(x2+4xy+4y2)+(x2-4x+4)+(y2+2y+1)+8=(x+2y)2+(x-2)2+(y+1)2+8.∵(x+2y)2≥0,(x-2)2≥0,(y+1)2≥0,∴当x=2,y=-1时,原式有最小值,且最小值为8.针对训练5.利用因式分解简便运算:(1)10012-202202+1012=

;

(2)992+198+1=

;

(3)662+652-130×66=

.

810000100001针对训练6.已知△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2+c2-6a-6b-10c+43=0,试判断△ABC的形状.解:∵a2+b2+c2-6a-6b-10c+43=a2-6a+9+b2-6b+9+c2-10c+25=(a-3)2+(b-3)2+(c-5)2=0,∴a-3=0,b-3=0,c-5=0,∴a=3,b=3,c=5,∴△ABC为等腰三角形.典例解析例3因式分解：(1)–3a2x2＋24a2x–48a2；(2)(a2＋4)2–16a2.解：(1)原式＝–3a2(x2–8x＋16)＝–3a2(x–4)2；＝(a2＋4＋4a)(a2＋4–4a)(2)原式＝(a2＋4)2–(4a)2＝(a＋2)2(a–2)2.有公因式要先提公因式.要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解．针对训练

小聪:小明:7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)

小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.x2–2x＋3.(2)原式＝

(x2–6x＋9)＝(x–3)2.解:(1)原式＝(2x)2＋2×2x·1＋1＝(2x+1)2.××针对训练8.(1)已知a–b＝3，求a(a–2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．解：(1)原式＝a2–2ab＋b2＝(a–b)2.当a–b＝3时，原式＝32＝9.(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.原式＝2×52＝50.当ab＝2，a＋b＝5时，=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b);=x2+2xy+y2-1=(x+y)2-1=(x+y+1)(x+y-1).针对训练9.理解分组分解法:①am+an+bm+bn③2xy+y2-1+x2②a2-2ab+b2+a-b=(a2-2ab+b2)+(a-b)=(