2024-2025学年江苏省无锡市经开区八年级（上）期中数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年江苏省无锡市经开区八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列说法中正确的是（）A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．两个等边三角形是全等图形 C．两个全等图形的面积一定相等 D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形3．（3分）下列图形中一定是轴对称图形的是（）A．梯形 B．直角三角形 C．角 D．平行四边形4．（3分）4的平方根为（）A．2 B．±2 C．4 D．±45．（3分）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为（）A．90° B．100° C．110° D．120°6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝7，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，DE＝2，则△ABD的面积为（）A．14 B．12 C．10 D．77．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F．若AB＝12，AC＝8，则△AEF的周长是（）A．15 B．18 C．20 D．228．（3分）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）A．35 B．40 C．50 D．609．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③10．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝60°，点D在AB上，CD＝14，∠BDC＝60°，延长CB至点E，使CE＝AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若5DG＝3AD，则DF的值是（）A．1413 B．1913 C．2013二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（3分）新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如图案，请问他的学号为．12．（3分）已知一个正数的平方根是a﹣2和7﹣2a，则a＝．13．（3分）如图，四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，则∠A的度数是°．14．（3分）如图，△ABC≌△DBE，BD⊥AB，∠C＝40°，∠D＝20°，AC、DE交于点F，则∠AFE的度数是°．15．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为°．16．（3分）如图，小文在一个周长为22cm的△ABC中，截出了一个周长为14cm的△ADC，发现点D刚好落在AB的垂直平分线上，请问AB的长是cm．17．（3分）如图，在以AB为斜边的两个直角△ABD和△ABC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，CD＝m，AB＝2m，则∠AEB＝．18．（3分）如图，AD为等边△ABC的高，M、N分别为线段AD、AB上的动点，且AM＝BN，当BM+CN取得最小值时，∠ANC＝．三、解答题（本大题共8小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）求出下列各式中的x：（1）13(x−1)2=1220．（8分）计算：（1）81+(π−321．（8分）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．求证：BE＝CF．22．（8分）如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点在格点上．（1）画出△ABC关于直线DE的轴对称图形△A1B1C1；（2）若正方形网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积．23．（8分）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，两两乘积的算术平方根分别为整数6，3，2，所以这三个数称为“完美组合数”．（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为9，求m的值．24．（8分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图①，当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．25．（8分）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．（1）当点C在线段BD上时，①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为；②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．26．（10分）定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如图1，若点O是等边△ABC的费马点，且OA+OB+OC＝18，则这个等边三角形的高的长度为；（2）如图2，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：点P是△ABC的费马点；（3）应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求．

2024-2025学年江苏省无锡市经开区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案CCCBBDCCBD一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）1．（3分）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．【解答】解：A、两个图形不能够完全重合，不是全等图形，不符合题意；B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；C、两个图形可以完全重合，是全等图形，符合题意；D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．2．（3分）下列说法中正确的是（）A．两个面积相等的图形，一定是全等图形 B．两个等边三角形是全等图形 C．两个全等图形的面积一定相等 D．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可．【解答】解：全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等．故选：C．【点评】本题主要考查的是全等图形的性质，掌握全等图形的性质是解题的关键．3．（3分）下列图形中一定是轴对称图形的是（）A．梯形 B．直角三角形 C．角 D．平行四边形【分析】如果一个图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断．【解答】解：根据轴对称图形的定义：A、梯形不一定是轴对称图形，故此选项错误；B、直角三角形，不一定是轴对称图形，故此选项错误；C、角的角平分线所在直线可以作为一条对称轴，故是轴对称图形，故此选项正确；D、平行四边形不是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．【点评】本题考查轴对称的定义，难度不大，掌握轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．（3分）4的平方根为（）A．2 B．±2 C．4 D．±4【分析】当a≥0时，a的平方根是±a，代入求出即可．【解答】解：4的平方根是±4故选：B．【点评】本题考查了对平方根定义的应用，注意：当a≥0时，a的平方根是±a．5．（3分）如图，△ABC≌△CDE，若∠D＝35°，∠ACB＝45°，则∠DCE的度数为（）A．90° B．100° C．110° D．120°【分析】先由全等三角形对应角相等得到∠CED＝∠ACB＝45°，再根据三角形内角和定理可得答案．【解答】解：∵△ABC≌△CDE，∠ACB＝45°，∴∠CED＝∠ACB＝45°，∵∠D＝35°，∴∠DCE＝180°﹣∠CED﹣∠D＝35°＝100°，故选：B．【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝7，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，DE＝2，则△ABD的面积为（）A．14 B．12 C．10 D．7【分析】过D点作DF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到DF＝DE＝2，然后利用三角形面积公式进行计算．【解答】解：过D点作DF⊥AB于F，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DF＝DE＝2，∴S△ABD故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．7．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F．若AB＝12，AC＝8，则△AEF的周长是（）A．15 B．18 C．20 D．22【分析】根据BD是∠ABC的平分线，EF∥BC得∠EBD＝∠CBD＝∠EDB，进而得EB＝ED，同理FC＝FD，则AE+ED＝12，AF+FD＝8，由此即可得出△AEF的周长．【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠EBD＝∠CBD，∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴EB＝ED，同理：FC＝FD，∵AB＝12，AC＝8，∴AE+ED＝AE+EB＝AB＝12，AF+FD＝AF+FC＝AC＝8，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AB+AC＝20．故选：C．【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，理解角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解决问题的关键．8．（3分）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝15，点P、Q分别为AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝20，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小值为（）A．35 B．40 C．50 D．60【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+PQ＝PE+EQ′＝PQ′．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴BA＝BC，∵BD⊥AC，AQ＝20，QD＝15，∴AD＝DC＝AQ+QD＝35，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，∵AQ＝20，AD＝DC＝35，∴QD＝DQ′＝15，∴CQ′＝BP＝20，∴AP＝AQ′＝50，∵∠A＝60°，∴△APQ′是等边三角形，∴PQ′＝PA＝50，∴PE+QE的最小值为50．故选：C．【点评】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．9．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC于点F，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：①∠AOB＝90°+∠C；②若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab；③当∠C＝60°时，AF+BE＝AB．其中正确的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【分析】①由三角形内角和定理得∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，由角平分线定义得∠OAB+∠OBA=12（∠BAC+∠ABC）＝90°−12∠C，再由三角形内角和定理得∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝90°+1②过点O作OH⊥AB于点H，OP⊥AC于点P，连接OC，由角平分线性质得OH＝OP＝OD＝a，由三角形面积公式得S△OAB=a2•AB，S△OBC=a2•BC，S△OCA=a2•CA，则S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OCA=a2•（AB+③在AB上截取AM＝AF，连接OM，先求出∠AOB＝120°，∠BOE＝∠AOF＝60°，证明△AOM和△AOF全等得∠AOM＝∠AOF＝60°，则∠BOM＝∠BOE＝60°，进而再证明△BOM和△BOE全等得BM＝BE，则AF+BE＝AM+BM＝AB，据此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案．【解答】解：①在△ABC中，∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C，∴∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，∴∠OAB=12∠BAC，∠OBA=1∴∠OAB+∠OBA=12（∠BAC+∠ABC）=12（180°﹣∠C）＝90°在Rt△OAB中，∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣（90°−12∠C）＝90°+1故结论①不正确；②过点O作OH⊥AB于点H，OP⊥AC于点P，连接OC，如图1所示：∴∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，OD⊥BC，OD＝a，∴OH＝OD＝a，OP＝OH＝a，∴OH＝OP＝OD＝a，由三角形的面积公式得：S△OAB=12AB•OH=a2•AB，S△OBC=12BC•OD=a2•BC，S△OCA∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OCA=a2•（AB+BC+∵AB+BC+CA＝2b，∴S△ABC=a2×2b故结论②正确；③在AB上截取AM＝AF，连接OM，如图2所示：∵∠C＝60°由①得：∠AOB＝90°+12∠∴∠BOE＝∠AOF＝180°﹣∠AOB＝60°，∵AO平分∠BAC，∴∠MAO＝∠FAO，在△AOM和△AOF中，AM=AF∠MAO=∠FAO∴△AOM≌△AOF（SAS），∴∠AOM＝∠AOF＝60°，∴∠BOM＝∠AOB﹣∠AOM＝60°，∴∠BOM＝∠BOE＝60°，∵OB平分∠ABC，∴∠MBO＝∠EBO，在△BOM和△BOE中，∠BOM=∠BOEOB=OB∴△BOM≌△BOE（ASA），∴BM＝BE，∴AF+BE＝AM+BM＝AB，故结论③正确，综上所述：正确的结论是②③．故选：B．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，理解角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积公式是解决问题的关键．10．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝60°，点D在AB上，CD＝14，∠BDC＝60°，延长CB至点E，使CE＝AC，过点E作EF⊥CD于点F，交AB于点G，若5DG＝3AD，则DF的值是（）A．1413 B．1913 C．2013【分析】由“AAS”可证△AHC≌△CFE，可得CF＝AH，由直角三角形的性质可得DH=12CD＝7，DG＝2【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于H，∵∠ACB＝60°＝∠BDC，∠BDC＝∠A+∠ACD，∠ACB＝∠ACD+∠BCD，∴∠A＝∠BCD，在△AHC和△CFE中，∠A=∠BCD∠AHC=∠EFC=90°∴△AHC≌△CFE（AAS），∴CF＝AH，∵∠BDC＝60°，EF⊥CD，CH⊥AB，∴∠DGF＝∠DCH＝30°，∴DH=12CD=12×∵5DG＝3AD，∴AD=103∵AH＝CF，∴103DF+7＝14﹣DF∴DF=21故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）11．（3分）新解放学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如图案，请问他的学号为20231425．【分析】易得所求的数字与看到的数字关于竖直的一条直线成轴对称，作出相应图形即可求解．【解答】解：做轴对称图形得：|20231425，故答案为：20231425．【点评】本题考查镜面对称，解题的关键是理解镜面对称的性质．12．（3分）已知一个正数的平方根是a﹣2和7﹣2a，则a＝5．【分析】一个正数有两个平方根，它们互为相反数．一个正数的平方根有两个且互为相反数，所以a﹣2+7﹣2a＝0，求出a的值即可．【解答】解：由题意得：a﹣2+7﹣2a＝0，解得：a＝5，故答案为：5．【点评】本题主要考查了平方根的概念，熟练掌握平方根的概念是解题的关键．13．（3分）如图，四边形ABCD≌四边形A'B'C'D'，则∠A的度数是95°．【分析】利用相似多边形对应角相等即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，∴∠D＝∠D′＝130°，∴∠A＝360°﹣130°﹣60°﹣75°＝95°，故答案为：95．【点评】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是知道相似多边形的对应边的比相等，对应角相等．14．（3分）如图，△ABC≌△DBE，BD⊥AB，∠C＝40°，∠D＝20°，AC、DE交于点F，则∠AFE的度数是50°．【分析】由全等三角形的性质推出∠E＝∠C＝40°，∠ABC＝∠DBE，求出∠DBE＝180°﹣20°﹣40°＝120°，得到∠ABC＝120°，求出∠ABE＝∠DBE﹣∠ABD＝30°，得到∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝150°，求出∠EFC＝360°﹣40°﹣40°﹣150°＝130°，由邻补角的性质得到∠AFE＝180°﹣∠EFC＝50°．【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∴∠E＝∠C＝40°，∠ABC＝∠DBE，∵∠D＝20°，∴∠DBE＝180°﹣20°﹣40°＝120°，∴∠ABC＝120°，∵AB⊥DB，∴∠ABD＝90°，∴∠ABE＝∠DBE﹣∠ABD＝30°，∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE＝120°+30°＝150°，∴∠EFC＝360°﹣40°﹣40°﹣150°＝130°，∴∠AFE＝180°﹣∠EFC＝50°．故答案为：50．【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是由全等三角形的性质推出∠E＝∠C＝40°，∠ABC＝∠DBE，求出∠CBE的度数．15．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中AB＝AC．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为72°．【分析】设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形内角和定理构建方程即可解决问题．【解答】解：设∠A＝x，根据翻折不变性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠ABC＝72°故答案为72【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．16．（3分）如图，小文在一个周长为22cm的△ABC中，截出了一个周长为14cm的△ADC，发现点D刚好落在AB的垂直平分线上，请问AB的长是8cm．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出BD＝AD，根据三角形的周长的公式解答即可．【解答】解：∵点D刚好落在AB的垂直平分线上，∴BD＝AD，∵△ABC的周长＝AB+AC+BD+DC＝22cm，△ADC的周长＝AD+AC+DC＝BD+AC+DC＝14cm，∴AB＝22﹣14＝8（cm），故答案为：8．【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质得出BD＝AD解答．17．（3分）如图，在以AB为斜边的两个直角△ABD和△ABC中，∠ACB＝∠ADB＝90°，CD＝m，AB＝2m，则∠AEB＝120°．【分析】取AB的中点F，连接CF，DF，依据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得出∠CFD＝60°，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，即可得到∠AEB的度数．【解答】解：如图所示，取AB的中点F，连接CF，DF，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，∴CF=12AB＝又∵CD＝m，AB＝2m，∴CD=12∴CF＝DF＝CD，∴△CDF是等边三角形，∴∠CFD＝60°，∴∠AFC+∠BFD＝120°，∵CF＝BF，AF＝DF，∴∠AFC＝2∠ABE，∠BFD＝2∠BAE，即∠ABE=12∠AFC，∠BAE=1∴∠ABE+∠BAE=12∠BFD+12∠AFC=12（∠∴△ABE中，∠AEB＝180°﹣60°＝120°，故答案为：120°．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．解决问题的关键是利用三角形外角性质得到∠ABE=12∠AFC，∠BAE=118．（3分）如图，AD为等边△ABC的高，M、N分别为线段AD、AB上的动点，且AM＝BN，当BM+CN取得最小值时，∠ANC＝105°．．【分析】作BE⊥BC，使BE＝AB，连接CE交AB于点F，连接NE，由△ABC是等边三角形，且AD为△ABC的高，得∠ABC＝60°，AB＝BC，AD⊥BC，则BE∥AD，BE＝BC，所以∠EBN＝∠BAM，∠BCE＝∠BEC＝45°，再证明△EBN≌△BAM，得EN＝BM，则EN+CN＝BM+CN，可知当点N与点F重合时，CE+CN的值最小，因此BM+CN的值也最小，即可求得∠ANC＝∠AFC＝∠ABC+∠BCE＝105°．【解答】解：∵如图，作BE⊥BC，使BE＝AB，连接CE交AB于点F，连接NE，∵△ABC是等边三角形，且AD为△ABC的高，∴∠ABC＝60°，AB＝BC，AD⊥BC，∴BE∥AD，BE＝BC，∴∠EBN＝∠BAM，∵∠CBE＝90°，∴∠BCE＝∠BEC＝45°，在△EBN和△BAM中，BE=AB∠EBN=∠BAM∴△EBN≌△BAM（SAS），∴EN＝BM，∴EN+CN＝BM+CN，∵EN+CN≥CE，∴当点N与点F重合时，EN+CN＝CE，此时CE+CN的值最小，∴此时BM+CN的值也最小，∴∠ANC＝∠AFC＝∠ABC+∠BCE＝105°，∴当BM+CN取得最小值时，∠ANC＝105°，故答案为：105°．【点评】此题重点考查等边三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共66分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）求出下列各式中的x：（1）13（2）5（x+1）3+625＝0．【分析】（1）将原方程整理后利用平方根的定义解方程即可；（2）将原方程整理后利用立方根的定义解方程即可．【解答】解：（1）原方程整理得：（x﹣1）2＝36，则x﹣1＝±6，解得：x＝7或x＝﹣5；（2）原方程整理得：（x+1）3＝﹣125，则x+1＝﹣5，解得：x＝﹣6．【点评】本题考查立方根，平方根，熟练掌握其定义是解题的关键．20．（8分）计算：（1）81+（2）−1【分析】（1）根据二次根式的混合运算、立方根、绝对值、算术平方根运算法则即可求解；（2）根据乘方、立方根、算术平方根运算法则即可求解．【解答】解：（1）原式=9+1−＝8；（2）原式=−1+2−2×(−＝﹣1+2+3+2＝6．【点评】本题考查了二次根式的混合运算、立方根、乘方、绝对值、实数的混合运算；熟练掌握其运算法则是解题的关键．21．（8分）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF．求证：BE＝CF．【分析】欲证BE＝CF，则证明两三角形全等，已经有两个条件，只要再有一个条件就可以了，而AC∥DF可以得出∠ACB＝∠F，条件找到，全等可证．根据全等三角形对应边相等可得BC＝EF，都减去一段EC即可得证．本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．【解答】证明：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠F，在△ABC和△DEF中，∠ACB=∠F∠A=∠D∴△ABC≌△DEF（AAS）；∴BC＝EF，∴BC﹣CE＝EF﹣CE，即BE＝CF．【点评】本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形的对应边相等；要牢固掌握并灵活运用这些知识．22．（8分）如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点在格点上．（1）画出△ABC关于直线DE的轴对称图形△A1B1C1；（2）若正方形网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积．【分析】（1）利用网格特点和对称轴的性质，分别画出点A、B、C关于直线DE的对称点A1、B1、C1即可；（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）△ABC的面积＝3×3−12×2×1−【点评】本题考查了轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．23．（8分）三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：﹣9，﹣4，﹣1这三个数，两两乘积的算术平方根分别为整数6，3，2，所以这三个数称为“完美组合数”．（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由；（2）若三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为9，求m的值．【分析】（1）分别将两个数相乘并求得它的算术平方根，然后根据题意进行判断即可；（2）根据题意分情况列得关于m的方程，解得m的值并判断是否符合题意即可．【解答】解：（1）﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”，理由如下：﹣18×（﹣8）＝144，其算术平方根为12，﹣18×（﹣2）＝36，其算术平方根为6，﹣2×（﹣8）＝16，其算术平方根为4，那么﹣18，﹣8，﹣2这三个互不相等的负整数中两两乘积的算术平方根都是整数，因此﹣18，﹣8，﹣2这三个数是“完美组合数”；（2）∵三个数﹣3，m，﹣12是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为9，∴①﹣3m＝81，解得：m＝﹣27，此时﹣27×（﹣12）＝324，其算术平方根为18，符合题意，②﹣12m＝81，解得：m＝﹣6.75，不是负整数，不符合题意，综上，m＝﹣27．【点评】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式及方程是解题的关键．24．（8分）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图①，当t＝112或192时，△APC的面积等于△（2）如图②，在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可；（2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P在AC上，AP＝4，AQ＝5，②当点P在AB上，AP＝4，AQ＝5，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度．【解答】解：（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP=12BC=此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+9移动的时间为：332÷3②当点P在BA上时，如图①﹣2若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD=12AB，即点P为此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+152移动的时间为：572÷3故答案为：112或19（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；①当点P在AC上，如图②﹣1所示：此时，AP＝4，AQ＝5，∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）=154cm/②当点P在AB上，如图②﹣2所示：此时，AP＝4，AQ＝5，即点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）=9332cm/综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速度为154cm/s或9332cm/【点评】考查直角三角形的性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答的关键．25．（8分）在△DEF中，DE＝DF，点B在EF边上，且∠EBD＝60°，C是射线BD上的一个动点（不与点B重合，且BC≠BE），在射线BE上截取BA＝BC，连接AC．（1）当点C在线段BD上时，①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段AE与BF的数量关系为AE＝BF；②如图2，若点C不与点D重合，请证明AE＝BF+CD；（2）当点C在线段BD的延长线上时，用等式表示线段AE，BF，CD之间的数量关系（直接写出结果，不需要证明）．【分析】（1）①如图1，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，由等边三角形的性质得到AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，由邻补角的性质得到∠EAD＝∠FBD＝120°，推出△ADE≌△BDF，根据全等三角形的性质即可得到结论；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，得到△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．求得AG＝CD，通过△DGE≌△DBF，得到GE＝BF，根据线段的和差即可得到结论；（2）如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．【解答】解：（1）①如图1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，∴∠EAD＝∠FBD＝120°，∵DE＝DF，∴∠E＝∠F，在△AEC与△BCF中，∠E=∠F∠EAD=∠FBD∴△ADE≌△BDF（AAS），∴AE＝BF；故答案为：AE＝BF；②证明：在BE上截取BG＝BD，连接DG，∵∠EBD＝60°，BG＝BD，∴△GBD是等边三角形．同理，△ABC也是等边三角形．∴AG＝CD，∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，∴∠DGE＝∠DBF＝120°，在△DGE与△DBF中，∠E=∠F∠EGD=∠FBD∴△DGE≌△DBF（AAS），∴GE＝BF，∴AE＝BF+CD；（2）如图3，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝EG﹣AG；∴AE＝BF﹣CD，如图4，连接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝AG﹣EG；∴AE＝CD﹣BF．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．26．（10分）定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC的费马点．（1）如图1，若点O是等边△ABC的费马点，且OA+O