第1课时等比数列的前n项和公式课件2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式及公式推导思路.(难点)2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.(重点)3.能由等比数列前n项和公式特点判断等比数列.l

国际象棋起源于古印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.l

导语

思考：这个故事蕴含着一个怎样的数学问题呢？

一般化2631212223

l

①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别去减②的两边，就可以消去

这些相同的项.

错

位

相

减①-②作差，得到：

①②消除相同项乘公比证明公式错位相减法

新知探究

古埃及

提取公因式法欧几里德法(Euclid)拉克洛瓦(Lacroix)新知探究

1.乘公比，错位减；

证明公式新知探究分析公式请同学们小组合作探究：除了乘以𝑞，还可以乘以其它数吗？同乘

向前错位作差消项新知探究请同学们小组合作探究：除了乘以𝑞，还可以乘以其它数吗？同乘:

向后错两位分析公式新知探究已知量求和公式首项a1、公比q（q≠1）与项数n首项a1、末项an与公比q（q≠1）首项a1、公比q＝1

Sn＝na1如何选择公式能让运算过程更简便呢？

+++++学习笔记27页

知识梳理学习笔记29页Aqn-Ana1当公比q≠1时，等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数.回归故事情境，总共要多少粒麦粒？

应用公式回归情境

据已有资料，1000粒麦子的质量为40克，麦粒的总质量超过7000亿吨；

按2023年世界小麦年产量7.9亿吨计算，是连续880多年的产量总和.

假想凑齐小麦，则可装满一个长10米、宽8米、高从地球到太阳距离大小的“巨仓”.（地球到太阳的距离大约1.5亿千米）粮食凑不够棋盘放不下指数爆炸式增长的“威力”！国王做不到典例分析

跟踪训练

(2)若S4=1，S8=17，求an；

方法一

S100=a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=2(a2+a4+…+a100)+a2+a4+…+a100=3(a2+a4+…+a100)=150，∴a2+a4+a6+…+a100=50.

解法一：不符合题意。典例分析解法二：

(2)若a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求公比q.

证明：当

证明：当

等比数列的性质：知识梳理

跟踪训练

典例分析学习笔记29页例2

数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式，并判断{an}是不是等比数列.

延伸探究1

若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=3n+1-2k，则实数k=

.

典例分析反思感悟

跟踪训练2

若数列{an}的前n项和Sn=tn-1(t∈R)，则此数列是A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上说法均不对√当n=1时，a1=S1=t-1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=tn-tn-1=tn-1(t-1)，当t=1时，an=0，所以{an}是等差数列；当t=0时，{an}为非等差数列，非等比数列；当t≠1，且t≠0时，an=tn-1(t-1)，所以{an}是等比数列.

已知量求和公式首项、公比与项数首项、公比与末项

课堂小结等比数列{an}前n项和Sn公式具的函数特性令

分析：根据已知条件选择合适的求和公式计算即可.

课堂练习

由题意得解：解：问题解决练习4.我国明代数学家程大位撰写的《算法统宗》中这样一个问题:

三百七十八里关，初行健步不为难，

次日脚痛减一半，六朝才得到其关，

要见次日行里数，请公仔细算相还。

全程378里路翻译：一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达目的地，这个人第二天走的里程数是多少？已知等比数列{an}中，Sn=378，

，

，求a2.实际问题数学问题解得：注意：Sn,q,n,a1,an知三求二

解法1：

练习5.已知等比数列(1)(2)(3)解法2：成等比数列

随堂演练

√

2.数列{an}中，a1=2，an+1=2an，若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25，则k等于A.2 B.3 C.4

D.5√

随堂演练3.(多选)数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn(n∈N*)，则有A.Sn=3n-1 B.{an}为等比数列C.an=2·8n D.{Sn}为等比数列√√

4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S